2.6 Aufgaben |
71 |
2.6 Aufgaben
Verständnisaufgaben
Aufgabe 2.1
Bestimmen Sie die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems rechnerisch und grafisch.
x |
− |
y |
= |
1 |
3 x |
3 y |
−7 |
||
|
+ |
|
= |
|
Aufgabe 2.2
Bestimmen Sie die Lösungen der linearen Gleichungssysteme rechnerisch und grafisch.
a) 2 x |
− |
3 y |
= |
6 |
b) |
x |
− |
3 y |
= |
9 |
3 x |
y |
3 |
|
2 x |
2 y |
4 |
||||
4 x |
+ |
4 y |
= |
3 |
|
x |
+ |
5 y |
= |
5 |
|
+ |
|
= |
|
|
|
− |
|
= |
|
Rechenaufgaben
Aufgabe 2.3
Für welche Werte des reellen Parameters b besitzt das lineare Gleichungssystem
− |
9 x |
− |
6 y |
= |
b |
6 x |
4 y |
2 |
|||
|
+ |
|
= |
|
Lösungen? Bestimmen Sie in diesem Fall die Lösungsmenge.
Aufgabe 2.4
Berechnen Sie die Lösungen der linearen Gleichungssysteme:
a) x1 |
− |
x2 |
+ |
x3 |
= |
2 |
b) 3 x1 |
− |
4 x2 |
+ |
5 x3 |
= |
1 |
x1 |
x2 |
3 x3 |
3 |
x1 |
3 x2 |
2 x3 |
1 |
||||||
x1 |
− |
x2 |
+ |
2 x3 |
= |
0 |
2 x1 |
− |
2 x2 |
+ |
x3 |
= |
1 |
|
+ |
|
− |
|
= |
|
|
+ |
|
+ |
|
= |
|
Aufgabe 2.5
Für welche Parameterwerte p haben die linearen Gleichungssysteme genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung?
a) p x1 |
− |
x2 |
+ |
2 x3 |
= |
0 |
b) x1 |
+ |
x2 |
+ |
p x3 |
= |
1 |
2 x1 |
p x2 |
x3 |
3 |
x1 |
p x2 |
x3 |
p2 |
||||||
|
+ |
p x2 |
− |
x3 |
= |
1 |
p x1 |
+ |
x2 |
+ |
x3 |
= |
p |
|
|
|
+ |
|
= |
|
|
+ |
|
+ |
|
= |
|
Aufgabe 2.6
Unter welchen Bedingungen ist das folgende lineare Gleichungssystem lösbar?
2 x1 |
− |
x2 |
+ |
3 x3 |
= |
p |
x1 |
2 x2 |
2 x3 |
q |
|||
−x1 |
+ |
4 x2 |
− |
|
= |
r |
|
+ |
|
|
|
= |
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Lineare Gleichungssysteme |
||||
Aufgabe 2.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
Berechnen Sie die Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems: |
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|
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|||||||||||||
|
|
x1 |
− |
|
x2 |
+ |
x3 |
+ |
x4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 x1 |
|
x2 |
2 x3 |
x4 |
|
= −1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x1 |
+ |
2 x2 |
− |
x3 |
− |
2 x4 |
|
= |
3 |
|
|
|
|
|
|
Aufgabe |
− |
x1 |
− |
|
x2 |
+ |
|
− |
x4 |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||
|
2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Berechnen Sie die Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems: |
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|
|
|
|||||||||||||
|
2 x1 |
+ |
3 x2 |
+ |
7 x3 |
+ |
4 x4 |
|
= |
6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
x1 |
2 x2 |
4 x3 |
5 x4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
4 x1 |
− |
3 x2 |
− |
x3 |
+ |
2 x4 |
|
= −0 |
|
|
|
|
|
|||
|
6 x1 |
+ |
5 x2 |
− |
x3 |
− |
7 x4 |
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
||
Aufgabe 2.9 |
+ |
|
|
+ |
|
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||
Lösen Sie folgende homogene lineare Gleichungssysteme: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
a) x1 |
+ |
x2 |
= |
0 |
|
b) x1 |
+ |
x2 |
= |
0 |
c) x1 |
+ |
x2 |
= |
0 |
||
x2 |
x3 |
0 |
|
|
x2 |
x3 |
0 |
x2 |
x3 |
0 |
|||||||
x1 |
+ |
x3 |
= |
0 |
|
|
x3 |
+ |
x4 |
= |
0 |
x3 |
+ |
x4 |
= |
0 |
|
|
− |
|
= |
|
|
|
x1 |
+ |
x4 |
= |
0 |
x4 |
+ |
x5 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
= |
|
x1 |
+ |
x5 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
= |
|
Anwendungsaufgaben
Aufgabe 2.10
Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, kann man eine Parabel y = a x2 + b x + c legen. Bestimmen Sie a, b und c so, dass die Parabel durch die Punkte P1(−1 S 2), P2(1 S − 2) und P3(2 S − 1) geht und skizzieren Sie die Parabel.
Aufgabe 2.11
Vater und Sohn sind zusammen 62 Jahre alt. Vor sechs Jahren war der Vater viermal so alt wie damals der Sohn. Wie alt ist jeder?
Hinweis: Verwenden Sie für das Alter von Vater und Sohn zwei Unbekannte x und y und lösen Sie das Problem mithilfe eines linearen Gleichungssystems.
Aufgabe 2.12 |
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|
Die Temperatur am Rand einer quadratischen Metall- |
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|
platte beträgt am unteren Rand 20 ○C und an den an- |
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0 ◦C |
|
deren Rändern 0 ○C, siehe Abbildung. Zur näherungs- |
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|
|
weisen Bestimmung der Temperaturverteilung sind im |
|
|
|
Inneren der Platte außer den 12 Randpunkten 4 in- |
|
|
|
nere Messpunkte eingerichtet. Für jeden inneren Mess- |
0 ◦C |
|
0 ◦C |
punkt gilt, dass sein Temperaturwert gleich dem Mittel- |
|
|
|
wert der Temperaturwerte der 4 Nachbarpunkte links, |
|
|
|
rechts, unten und oben ist. Stellen Sie ein lineares Glei- |
|
|
|
chungssystem für die Temperaturwerte Tk der 4 inneren |
|
20 ◦C |
|
Punkte auf und lösen Sie es anschließend. |
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||
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|
|