4. Монотонды тізбектер

Анықтама. Егер әрбір n (n= 1, 2,...) үшін болса, онда {х_n} тізбегін өспелі, ал егер болса, онда {х_n} тізбегін кемімелі деп атайды.

Егер әрбір n (n=1, 2,...) үшін болса, онда {х_n} тізбегін кемімейтін, ал егер болса, онда {х_n} тізбегін өспейтін тізбек деп атайды.

Бұл тізбектердің әрқайсысын монотонды деп атайды. Өспелі және кемімелі тізбектерді қатаң монотонды деп те атайды.

3-теорема. Кез келген жоғарыдан (төменнен) шенелген өспелі (кемімелі) тізбектің ақырлы шегі бар.

Монотонды және шенелген тізбектің әрқашанда нақты мәнді шегі бар болады, өйткені онда жиынының супремумы мен инфимумы нақты сан болады.

Қатаң монотонды тізбектердің монотонды тізбектерге қарағанда ерекше қасиеттері бар. Мәселен, монотонды тізбектің мәндерінің бәрі де шегіне тең болуы мүмкін (мысалы, x_n ≡1 үшін), ал катаң монотонды тізбектің бірде-бір мәні шегіне тең бола алмайды.

саны

Ол шекті Л. Эйлер белгілегендей әрдайым әрпімен белгілейді..

Бұл санның ондық бөлшек арқылы жазылуының алғашқы он таңбасы келесідей болады:

5. Анықталмаған өрнектер

Нақты мәнді шегі бар (жинақталатын) екі тізбектің қосындысының, айырымының, көбейтіндісінің және бөліндісінің де шегі бар болып, алғашқы тізбектердің шектеріне сәйкес амал қолданғандағы нәтижесіне тең болады. Шектің мәні тек қана ақырлы нақты сан емес, немесеболуы мүмкін. Тізбектің шегін есептегенде келесі теңдіктердіескереміз:

1) егер оң нақты сан болса, онда,,;

2) егер оң нақты сан болса, онда;

3) егер теріс нақты сан болса, онда;

4) ,.

Сол сияқты берілген шамаларға арифметикалық амалдар қолдану нәтижесінде шекке көшкенде, ешбір мағынасы жоқ, т.б. анықталмаған өрнектер деп аталатын өрнектердің шығуы мүмкін. Анықталмаған өрнектердің шектерін табуды анықталмағандықты ашу деп атайды.

Мысалдар. 1. .

2. .

3. .

Осы мысалдардан, тізбек шегін есептегенде қажетті келесі формуланы жазуымызға болады:

Анықталмағандықтарды ашу үшін, көп жағдайда, жәнеформулалары қолданылады.

4. Беріген шек түріндегі анықталмағандық. қосындысына көбейсек және бөлсек, яғни тепе-тең түрлендіру жасасақ, онда

Функцияның шегi және үзіліссіздігі

1. Функция шегінің анықтамалары

Нақты сандар жиыны , сол жиынның нүктесі және осы нүктесінің маңайында анықталғанфункциясы берілсін. функциясының нүктесінде анықталған немесе анықталмағандығы талап етілмейді, яғни нүктесі маңайына тиісті болмауы дамүмкін.

Функция шегінің анықтамасын бермес бұрын «ойылған маңай» ұғымын анықтап алайық.

Анықтама. нүктесінің ойылған -маңайы деп, нүктесінің -маңайынан нүктесін алып тастағанда пайда болған маңайды атайды.

нүктесінің ойылған - маңайынсимволыменбелгілейді.

.

Функция шегінің екі анықтамасы бар.

1-анықтама (Функциялардың шегінің маңайлар тіліндегі анықтамасы). Егер кез келген оң саны бойыншасаны табылып,, теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық- тер үшін теңсіздігі орындалатын болса, онда санын функциясының нүктесіндегі ( - ге ұмтылғандағы) шегі деп атап, келесідей белгілейді:

.

Кванторлар тілінде шектің анықтамасын келесідей жазады:

Шектің анықтамасының геометриялық мағынасы жәнетүзулерін жүргізсек (олардытүзуіне қалауымызша жақын сызуға болады),жәнеинтервалдарына сәйкес функция графигінің бөлігі сол екі түзудің арасындажатады.

2-анықтама (Функция шегінің тізбектер тіліндегі анықтамасы).

Егер функциясы нүктесінің маңайында анықталып, бірде-бір мүшесі - ге тең емес, шегі болатын, яғни шарттарын қанағаттандыратын, әрбір тізбегі үшін оған сәйкес тізбегінің шегі бар және ол санына тең болса онда нақты санын функциясының нүктедегі шегі деп атайды.

функциясының тізбектер тіліндегі нүктесіндегі шегін (қысқаша т.-т.)

(т.-т.)

символымен белгілейді.

Шектің жоғарыда берілген маңайлар тіліндегі анықтамасын, тізбектер тіліндегі анықтамасын айыру үшін, функциясыныңнүктедегі шегінің «e-d» тіліндегі анықтамасы деп атап,

«e-d»

символымен белгілейді.

Кейде шектің «e-d» және тізбектер тіліндегі анықтамаларын оларды енгізген математиктердің есімдерімен атап, сәйкесінше шектің Коши және Гейне берген анықтамалары деп атайды.

Бұл екі анықтама эквивалентті анықтамалар.