2. Біржақты шектер

шегінің анықтамасында саны нүктесінің қай жағында орналасқаны туралы ештеңе айтылған жоқ. Ол нүкте үшін және теңсіздіктерінің әрқайсысы орындалуы мүмкін.

Мұндай шекті жай немесе екіжақты деп атайды.

Егер шектің анықтамасына қосымша немесе шартын енгізсек, онда сәйкес оң немесе сол жақты шектің анықтамасына келеміз.

Анықтама. функциясы интервалында анықталсын.

Егер кез келген саны бойыншасаны табылып,() теңсіздігін қанағаттандыратын барлық- тер үшінтеңсіздігі орындалса, онда санын функциясының нүктесіндегі сол жақты (оң жақты) шегі деп атайды.

Оң және сол жақты шектерді біржақты шектер деп атап,

,

символдарымен белгілейді.

Бұл анықтамаларды кванторлар тілінде келесідей жазады:

4-теорема. функциясының нүктесінде жай (екі жақты) шегі бар болуы үшін сол нүктеде оң және сол жақты шектер бар болып, олар өзара тең болуы қажетті жәнежеткілікті.

функциясы шегінің екі анықтамасындағы мен сандары ақырлы (нақты) сан да, символдары да болуы мүмкін.

Егер нақты сан болса, оны ақырлы шек деп атайды. Ал, егер шамасы символдарының біреуі болса, онда оны ақырсыз үлкен шек деп атайды.

Оларды былай белгілейді: , ,

Кванторлар тілінде келесідей жазады:

Сол сиякты, егер нақты сан болса, функцияның шегін нүктедегі шегі деп атайды. Ал, егерде шамасы символдарының бірі болса, онда шекті функцияның шексіздіктегі шегі деп атайды.

Бұл жағдайда функцияның шегін келесідей белгілейді:

, ,,.

Функцияның шегінің 36 жағдайы бар. Басқа жағдайдағы функцияның шегі жоғарыдағылар сияқты анықталады.

5-теорема.

1) егер функциясы үшін нүктесініңмаңайындатеңсіздігі орындалып, ал функциясы үшін болса, онда;

2) егер болса, онда.

Салдар. Егер болса, онда.

3. Шегі бар функциялардың қасиеттері

6- теорема. Егер функциясының нүктесінде нақты мәнді шегі бар болса,онда:

1) нүктесінің ойылған маңайындафункциясы шенелген;

2) егер болса, онда функцияның мәндері де нүктесінің ойылған маңайындаболады. Нақтырақ айтқанда, үшін егерболса, онда , ал егер болса, онда;

3) егер үшінжәне,болса, онда;

4) егер үшінжәне,болса, онда;

5) егер ,болса, онда;

6) егер ,болса, онда:

а) , б) , с) , d) егер с¹0 болса, онда болады.

Ескерту. а) мен с) теңдіктері екі функция үшін ғана емес, кез келген ақырлы қосынды мен көбейтінді үшін де орындалады.

4. Тамаша шектер. Бiрiншi тамаша шек

Екiншi тамаша шек немесе .

5. Функциялардың үзіліссіздігі мен үзілуі

Анықтама. Егер кез келген саны бойыншасаны табылып,, теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлықүшін теңсіздігі орындалатын болса, онда функциясын нүктесінде үзіліссіз деп атайды. Яғни,

(2).

Кванторлар тілінде функциясыныңнүктесінде үзіліссіздігібылай жазылады:

Жоғарыда берілген анықтамадан, функциясыныңнүктеде үзіліссіздігікелесі үш шарттың орындалуын білдіреді:

1) функциясы нүктесінде және оның қандай да бір маңайында анықталған;

2) функциясының нүктесінде шегі бар;

3) функциясының нүктесіндегі шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең.

болғандықтан, үзіліссіздіктің анықтамасындағы (2)-теңдікті былай да жазуғаболады.

Демек, үзіліссіздікті шек таңбасы «lim» пен функция белгісі - ті өзара орын ауыстыру мүмкіндігі деп те анықтауға болады.

(2) - теңдікті - ді теңдіктің сол жағына шек таңбасының астына көшіріп, болсаекендігінескеріп,

(3)

түрінде жаза аламыз. Мұндағы, айырымынаргументтің өсімшесі, ал айырымынфункцияның өсімшесі деп атайды.

Егер арқылы белгілесек, ондаболсаболатындықтан (3) - ті келесідей жаза аламыз:

(4)

«Өсімше» терминін қолданып, үзіліссіздіктің анықтамасын былай айтуға болады: егер тәуелсіз айнымалының нүктедегі өсімшесінөлге ұмтылғанда, оған сәйкес функциясының өсімшесі нөлге ұмтылса, ондафункциясыннүктесіндеүзіліссіз деп атайды.

Мысалы, функциясыүшін үзілліссіз.

Шынында да,

болғандықтан . Демек,функциясы кез-келгеннүктесіндеүзіліссіз.

Егер болса, онда функциясын нүктесіндеоң жақты үзіліссіз деп атайды;

егер болса, онда функциясын нүктесіндесол жақты үзіліссіз деп атайды.

Егер функциясының анықталу аралығысегменті болса, ондафункциясыныңнүктесінде тек қана оң жақты, алнүктесінде тек қана сол жақты үзіліссіздігі туралы айтуға болады.

Үзіліссіз функциялардың кейбір қасиеттері

7-теорема. Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, онданүктесінің қандай да бірмаңайында:

1) функциясы шенелген;

2) . Нақтырақ айтқанда, егер болса, онда , ал егер болса, онда ;

3) егер және функцияларынүктесінде үзіліссіз болса, онда және функциялары да сол нүктелердеүзіліссіз;

4) егер функциясы нүктесінде, алфункциясынүктесінде үзіліссіз болса, онда күрделіфункциясынүктесінде үзіліссізболады.

Анықтама. Егер функциясы нүктесінде анықталмаса немесе нүктесі анықталу жиынында жатып, сол нүктеде үзіліссіз болмаса, онда нүктесін -тің үзіліс нүктесі деп атап, -тінүктесінде үзіледі дейді.

Анықтама. Егер нүктесі функциясының үзіліс нүктесі болып, сол нүктеде біржақты ақырлы шектері

,

бар болса, онда функциясы нүктесінде жай немесе бірінші түрдегі үзілісті дейді.

санын функциясының нүктесіндегі секірмесі деп атайды.

Егер болса онда - ді жөнделетін үзіліс нүктесі деп атайды.

Егер функциясы нүктесінде үзілісті болып, бірақ үзілісі бірінші түрдегі үзіліс болмаса, дәлірек айтқанда, нүктесінде - тің кемінде бір біржақты ақырлы шегі болмаса, онда функциясын нүктесінде күрделі немесе екінші түрдегі үзілісті дейді.

Сонымен, функциясы нүктесінде үзіліссіз болуы үшін ,,сандарының мағыналы болып, олардың өзара тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни.

Мысалдар. 1. функциясын нүктесінде үзіліссіздіккезерттеңіз.

Шешуі. ,.

Функцияның нүктесіндегі біржақты шектері ақырлы, бірақ өзара тең емес. Демек,бірінші түрдегі үзіліс нүктесі.

2. функциянүктесінде анықталмаған. Осы нүктедегі үзілісті зерттеңіз.

Шешуі. ,болғандықтан,нүктесі екінші түрдегі үзіліс нүктесі.

Негізгі элементар функциялар өздерінің анықталу жиынында үзіліссіз.

Кесіндіде үзіліссіз функциялар

Анықтама. кесіндісінің әрбір нүктесінде үзіліссізфункциясын кесіндіде үзіліссіз функция дейді.

Басқа аралықтарда үзіліссіз функция да осы сияқты анықталады.

8-теорема (Вейерштрасстың бірінші теоремасы). Егер функциясыкесіндіде анықталған және үзіліссіз болса, онда оның мәндерінің жиыны шенелген жиын болады.

9-теорема (Вейерштрасстың екінші теоремасы). Егер функциясыкесіндіде анықталған және үзіліссіз болса, онда осы кесіндіде ол ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды.

10-теорема (Больцано-Коши). Егер функциясысегментінде үзіліссіз болып, сегменттің ұштарындағы мәндері,болса, онда мен- ның арасында жатқан кез келгенүшінтеңдігін қанағаттандыратын кемінде бірнүктесі табылады.

Мысалдар. 1. Берілген өрнек түріндегі анықталмағандық. болғанда алымы мен бөлімі нөлге тең болатындықтан, олар-ға бөлінеді. Сондықтан,

2. Берілген шекті есептеу үшін жәнеформулаларына сүйенеміз. Бөлшектің алымы мен бөлімінжәнеөрнектеріне көбейтіп, ортақ көбейткішке қысқартамыз. Сонда,

.

3. Берілген өрнек түріндегі анықталмағандық.қосындысына көбейтсек және бөлсек, онда

4. Берілген өрнектүріндегі анықталмағандық.деп белгілесек, онда. Бірінші тамаша шекті ескерсек, келесідей болады:

5. функциясыүшінүзілліссіз.

Шынында да, болғандықтан. Демек,функциясы кез-келгеннүктесіндеүзіліссіз.

6. tg x функциясы өзінің анықталу жиынында үзіліссіз, яғни барлық (n=0,±1, …) сандары үшін мына теңдік =дұрыс.

Әрине, әрбір есепті шығарғанда шығармашылық танытып әртүрлі әдістерді аралас қолдануға болады.