- •Дисциплина
- •Неопределенный, определенный, несобственный интегралы
- •Неопределенный интеграл
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •1.5. Метод подстановки (замена переменной)
- •1.6. Интегрирование по частям
- •1.7. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •1.8. Интегрирование рациональных функций
- •Определенный интеграл
- •2.3. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •2.5. Несобственные интегралы
- •2.5.1. Интегралы с бесконечными пределами
- •2.5.2. Интегралы от непрерывных функций
1.8. Интегрирование рациональных функций
Рассмотрим правильную рациональную дробь (,– многочлены, степеньменьше степени).
Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей.
Рассмотрим несколько случаев:
а) , тогда дробь представляют в виде:
,
где – коэффициенты, которые следует определить.
б) , тогда
,
где – коэффициенты, которые необходимо определить.
в) .
.
Последовательность разложения правильной рациональной дроби будет такой:
1) |
Знаменатель дроби раскладывают на множители. | |
2) |
Заданную дробь представляют в виде суммы простых дробей с неизвестными коэффициентами. | |
3) |
Приводят к общему знаменателю сумму простых дробей и приравнивают числители обеих частей равенства (две дроби равны тогда и только тогда, когда равны числители и равны знаменатели). | |
4) |
Определяют коэффициенты и переходят к интегрированию простых дробей. Чтобы найти коэффициенты а) задают конкретные значения (корни знаменателя); б) приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях и решают систему (два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях). Первый прием особенно удобен, когда знаменатель раскладывается на разные множители. | |
|
| |
Замечание. |
Если подынтегральная дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. |
Пример 1.8.1. Вычислить интеграл .
Решение. Разложим знаменатель подынтегральной дроби на множители . Следовательно,
.
Приравнивая числители , определим коэффициентыи. Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степеняхв левой и правой частях тождества и решим систему из двух уравнений с двумя неизвестными
откуда ,.
Следовательно, .
Пример 1.8.2. Вычислить интеграл .
Решение. Разложим знаменатель дроби на множители:
.
Корни трехчлена естьи 2, поэтому окончательно имеем
.
Напишем разложение
,
Теперь приведем это разложение к общему знаменателю
,
а затем, приравняв числители, получим
.
Из этого тождества определим коэффициенты ,,, приравняв коэффициенты при одинаковых степеняхслева и справа, и решив систему
откуда ,,. Окончательно имеем
.
Следовательно,
.
Пример 1.8.3. Вычислить интеграл .
Решение. Подынтегральная дробь неправильная. Надо сначала выделить целую часть; для этого путем деления многочлена на многочлен данную дробь представим в виде суммы целой рациональной функции и правильной дроби:
,
,
Дроби приводим к общему знаменателю
,
а затем, приравняв числители, получим
.
Теперь запишем и решим систему из трех уравнений с тремя неизвестными
откуда ,,. Окончательно имеем
.
Следовательно,
.
Пример 1.8.4. Вычислить интеграл .
Решение. Подынтегральная дробь неправильная. Выделим целую часть
.
Разложим знаменатель дроби на множители: и напишем разложение
,
откуда
.
Приравняем числители
.
Решим систему уравнений
откуда, ,,. Окончательно имеем
.
Следовательно,
Найдем
.
Окончательно имеем
.
1.9. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегралы вида
, |
(1) |
где – рациональная функция;– целые числа, находятся с помощью подстановки
, |
(2) |
где – наименьшее общее кратное чисел.
Рассмотрим два частных случая:
а) если в интеграле (1) , то он будет иметь вид
, |
(3) |
где ,.
б) если ,, то интеграл (1) примет вид
. |
(4) |
Интегралы вида (3) находятся с помощью подстановки
(5) |
Интегралы вида (4) упрощаются подстановкой
. |
(6) |
Пример 1.9.1. Вычислить интеграл .
Решение. Применим подстановку (6):
, откуда ,.
.
Пример 1.9.2. Вычислить интеграл .
Решение. Применим подстановку (5). Наименьшее кратное показателей корней подынтегрального выражения , следовательно,
, откуда ,,и
Пример 1.9.3. Вычислить интеграл .
Решение. Применим подстановку (2):
, откуда ,;
.
1.10. Интегрирование тригонометрических функций
1. Интегралы вида
; ;,
где , находятся с помощью формул:
; |
(7) |
; |
(8) |
. |
(9) |
2. Некоторые интегралы от выражений, содержащих тригонометрические функции, с помощью преобразований приводятся к интегралам вида
; ;
или ;или,
которые находятся соответственно с помощью подстановок:
, ; |
(10) |
, ; |
(11) |
, или,,; |
(12) |
, или,,; |
(13) |
3. Интегралы вида
,
где и– положительные четные числа, вычисляются с помощью формул:
, ,. |
(14) |
4. Случай нечетной степени одной функции
а) - выделяют один, остальную часть выражают черези проводят замену.
б) - выделяют один, остальную часть выражают черези проводят замену.
5. Интегралы вида
,
где – рациональная функция, можно найти с помощью универсальной подстановки
, |
(15) |
откуда
, ,,.
Следовательно, интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной .
Пример 1.10.1. Вычислить интеграл .
Решение. Воспользуемся формулой (7).
.
Пример 1.10.2. Вычислить интеграл .
Решение. Воспользуемся формулой (8).
.
Пример 1.10.3. Вычислить интеграл .
Решение. Воспользуемся формулой (9).
.
Пример 1.10.4. Вычислить интеграл .
Решение. Воспользуемся подстановкой (10):
.
Пример 1.10.5. Вычислить интеграл .
Решение. Применим подстановку (11):
.
Пример 1.10.6. Вычислить интеграл .
Решение. Применим подстановку (12):
.
Пример 1.10.7. Вычислить интеграл .
Решение. Воспользуемся подстановкой (13):
.
Пример 1.10.8. Вычислить интеграл .
Решение. Применим формулы (14):
.
Пример 1.10.9.Вычислить интеграл.
Решение.
.
Пример 1.10.10.Вычислить интеграл.
Решение.Для вычисления данного интеграла воспользуемся универсальной подстановкой,, откуда;
.