26. Матричные вычисления в MathCad

Матричные вычисления в MathCad

Маткад позволяет оперировать не только скалярными величинами но и векторами и матрицами.

Вектор – одномерный массив. Матрица – двумерный. Нумерация задается значением системной переменной ORIGIN. V₀ – первый элемент вектора V, М_0,0 – первый элемент матрицы М.

Элементами матрицы могут быть числа, константы, переменные и математические выражения. Соответственно матрицы могут быть численными и символьными.

Матрицу или вектор можно задать с помощью команды Insert–Matrix. Или жмякнув левой педалькой мыши по соответствующей кнопке на тулбаре Vector and Matrix, или просто жмякнув Ctrl+M. Появляется диалоговое окно, в котором вводится количество строк и столбцов (колонок) матрицы. Далее появляется шаблон матрицы, в ячейки которого водятся необходимые значения.

Операции с матрицами можно набирать с клавиатуры или жмякая на соответствующие кнопки на тулбаре Vector and Matrix:

- Определение размеров матрицы;

- Вычисление определителя матрицы;

- Поэлементные операции с матрицами;

- Вычисление скалярного и векторного произведения векторов;

- Вычисление суммы компонент вектора;

- Определение столбца матрицы;

- Транспонирование матрицы.

Кроме того в система содержится ряд функций, наиболее частые:

- matrix(m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерностью m x n, элемент которой, расположенный в i-той строке, j-м столбце, равен значению f(i,j) функции f(x,y) $

- diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

- indentity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

- augment(A,B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних – матрица В;

- stack(A, B,) – формирует матрицу, в первых строках которой матрица А, а в последних – матрица В;

- rows(A) – Вычисление числа строк в матрице А;

- cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице А;

- max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице А;

- rank(A) – вычисление ранга матрицы А

Матричные вычисления в MATLAB

В системе MatLab основной единицей данных является матрица, поэтому система имеет обширный набор стандартных функций и операций по обработке матриц, который позволяет:

- формировать новые матрицы стандартного вида;

- выполнять матричные арифметические операции;

- вычислять матричные характеристики и математические функции.

Для формирования новых матриц стандартного вида применяются следующие системные функции:

rand(M,N) – формирует прямоугольную матрицу размерностью M×N, элементами которой являются случайные числа в интервале (0.0; 1.0), функция rand без параметров формирует одно случайное число в том же интервале.

ones(M,N) формирует единичную матрицу размерностью M×N.

zeros(M,N) формирует матрицу размерностью M×N, состоящую из нулей.

diag(V) создает диагональную матрицу, в которой элементы вектора V являются элементами главной диагонали.

Матричные арифметические операции представлены следующими:

A+B , A-B матричное сложение и вычитание. Оба операнда этой операции должны иметь одинаковую размерность, если они являются матрицами. Один из операндов может выть скалярной величиной.

A*B матричное умножение. Операция выполняется по правилам матричного умножения, число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B.

A \ B левое деление матриц. Осуществляет решение системы линейных алгебраических уравнений A*X=B. Число столбцов А должно быть равно числу строк В.

A / B правое деление матриц. Осуществляет решение системы линейных алгебраических уравнений X*A=B.

Х ^ Р возведение матрицы в степень. Эта операция при скалярном значении Р возводит квадратную матрицу Х в степень Р. Если Х – скалярная величина, а Р – квадратная матрица, то Х^Р возводит Х в матричную степень Р. Эта операция является ошибочной, если оба операнда – матрицы.

В MatLab существуют матричные операции, которые выполняются над каждым элементом матрицы, это такие операции, как:

.* поэлементное матричное умножение.

.\ поэлементное левое деление матриц.

. / поэлементное правое деление матриц.

.^ поэлементное возведение матрицы в степень.

Оба операнда этих операций должны иметь одинаковую размерность, или один из них должен являться скалярной величиной.

Операция «апостраф» ′ вычисляет комплексно сопряженную транспонированную матрицу.

Операция «точка апостраф» .′ вычисляет транспонированную матрицу.

Система содержит стандартные функции, позволяющие вычислять различные характеристики матриц:

det(A) вычисляет определитель матрицы;

trace(A) вычисление следа матрицы;

rank(A) вычисление ранга матрицы;

inv(A) вычисление обратной матрицы.