- •Розділ 1. Предмет, особливості та сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач
- •1.1. Предмет курсу «математичне програмування»
- •1.2. Найпростіша класифікація задач математичного програмування
- •1.3. Програма дисципліни «Оптимізаційні методи та моделі»
- •Тема 9. Задачі динамічного програмування
- •Тема 10. Моделі та методи стохастичного програмування
- •Тема 11. Елементи теорії ігор
- •Розділ 2. Загальна задача лінійного програмування та методи її розв’язування
- •2.1. Загальна математична модель лінійного програмування
- •2.2. Форми запису задач лп
- •2.3. Геометрична інтерпретація злп
- •2.4. Основні аналітичні властивості розв’язків задач лінійного програмування
- •2.5. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •2.5.1. Основи графічного методу
- •2.5.2. Навчальні завдання. Розв’язування задач графічним методом
- •2.6. Симплексний метод розв’язування задач лп
- •2.6.1. Теоретичні відомості
- •2.6.2. Навчальні завдання розв’язування задач симплекс-методом
- •Розділ 3. Двоїстість у лінійному програмуванні
- •3.1. Поняття двоїстості. Правила побудови двоїстих задач
- •3.2. Теорема двоїстості
- •3.3. Навчальні завдання
- •Розділ 4. Економічна інтерпретація двоїстих задач. Аналіз оптимальних планів лінійних економіко-математичних моделей
- •4.1. Економічна інтерпретація двоїстої задачі
- •4.2. Навчальні завдання
- •Розділ 5. Транспортна задача
- •5.1. Постановка транспортної задачі
- •5.2. Метод потенціалів
- •5.3. Навчальні завдання
- •Розділ 6. Вибрані розділи математичного програмування
- •6.1. Цілочислове програмування
- •6.1.1. Постановка задачі
- •6.1.2. Метод Гоморі
- •6.1.3. Метод «віток і меж»
- •6.1.4. Приклади цілочислових економічних задач
- •6.2. Дробово-лінійне програмування
- •6.2.1. Постановка задачі та алгоритм розв’язування
- •6.2.2. Приклади дробово-лінійних задач
- •6.3. Нелінійне програмування
- •6.3.1. Постановка задачі
- •6.3.2. Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •6.3.3. Метод множників Лагранжа
- •6.3.4. Приклади задач нелінійного програмування
- •6.4. Динамічне програмування
- •6.4.1. Сутність динамічного програмування. Принципи оптимальності
- •6.4.2.Методикарозв’язування динамічних задач
- •6.4.3. Приклади розв’язування динамічних задач
- •6.5 Теорія ігор
- •6.5.1. Основні поняття теорії ігор
- •6.5.2. Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування
- •6.6. Стохастичне програмування
- •6.6.1 Постановка задач і методи розв’язування
- •6.6.2. Приклади стохастичних економічних задач
6.5.2. Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування
Якщо матрична гра не має сідлової точки, то знаходження її розв’язку, особливо за великої кількості стратегій, — доволі складна задача, яку можна ефективно розв’язати методами лінійного програмування.
Задача розглядається в такому формулюванні: знайти вектори ймовірностей із метою визначення оптимального значення ціни гри та оптимальних стратегій.
Зауважимо, що доведено основну теорему теорії ігор: кожна скінчена гра має принаймні один розв’язок, який можливий в області змішаних стратегій.
Отже, нехай маємо скінченну матричну гру з платіжною матрицею
.
Оскільки оптимальні стратегії гравців А і В дозволяють отримати виграш
,
то використання оптимальної змішаної стратегії гравцем А має забезпечувати виграш не менший за ціну гри в разі вибору гравцем В будь-яких стратегій. Математично ця умова записується так:
. (6.23)
Відповідно використання оптимальної змішаної стратегії гравцем В має за будь-яких стратегій гравця А забезпечувати програш В, що не перевищує ціни гри :
. (6.24)
Ці два співвідношення застосовують для знаходження розв’язку гри.
Отже, потрібно знайти , щоб
за умов
,
,
.
Зауважимо, що ціна гри невідома і має бути визначена під час розв’язування задачі.
Модель ігрової задачі може бути спрощена.
З (6.23) маємо:
Поділивши всі обмеження на , дістанемо:
Нехай , тоді
Згідно з умовою , звідки.
Отже, цільова функція початкової задачі набирає такого вигляду:
.
У результаті задача лінійного програмування:
(6.25)
за умов
(6.26)
. (6.27)
Розв’язавши цю задачу симплексним методом, знайдемо значення , а такожі, тобто визначимо змішану оптимальну стратегію для гравця А.
За аналогією запишемо задачу лінійного програмування для визначення оптимальної стратегії гравця В. Нехай
.
Тоді маємо таку лінійну модель:
за умов
.
Очевидно, що задача лінійного програмування для гравця В є двоїстою до задачі гравця А, а тому оптимальний розв’язок однієї з них визначає оптимальний розв’язок спряженої.
Розглянемо приклад на застосування методів лінійного програмування до знаходження оптимального розв’язку гри.
Задача 6.35.
Варіант бізнес-плану |
Зовнішні ситуації | ||||
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 | |
Прибутки тис. грн. | |||||
А1 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,7 |
3,2 |
А2 |
1,2 |
1,4 |
2,5 |
2,9 |
3,1 |
А3 |
1,3 |
1,6 |
2,4 |
2,8 |
2,1 |
А4 |
2,1 |
2,4 |
3,0 |
2,7 |
1,8 |
А5 |
2,4 |
2,9 |
3,4 |
1,9 |
1,5 |
А6 |
2,6 |
2,7 |
3,1 |
2,3 |
2,0 |
Потрібно вибрати варіант бізнес-плану або комбінацію з розроблених планів.
Розв’язування.Маємо гру, платіжною матрицею якої є відповідні елементи наведеної таблиці. Легко переконатися, що домінуючих стратегій у цій грі немає.
Далі визначаємо:
;
;
,
а також
;
;
.
Отже, , тобто сідлової точки немає, а це означає, що потрібно скористатися моделлю (6.25)—(6.27):
за умов
.
Розв’язуємо цю задачу симплексним методом.