6.6.2. Приклади стохастичних економічних задач

Задача 6.37.

Нехай потрібно зробити запас з товарів у кількості, на які є випадковий попит. Нестача одиниціj-го товару карається штрафом с_j, тобто , а витрати на зберігання одиниці відповідної продукції, яку не вдалося збути, задаються вектором.

Розв’язування. Функція збитків, що відповідає розв’язку х, має вигляд:

.

Тут — штраф за не задоволення попиту щодоj-го виду продукції; — витрати на зберіганняj-ї продукції. Для знаходження оптимального розв’язку цієї задачі необхідно знати функцію розподілу випадкової величини . Коли така функція розподілу невідома і знайти її неможливо, вважають, що випадкова величина розподілена рівномірно. При цьому необхідно пам’ятати, що саме таке припущення може призвести до неправильного прийняття рішення.

Задача 6.38.

Будь-які особи можуть тримати своє багатство у вигляді грошей та облігацій. Гроші — це актив, що використовується як засіб обігу, не приносячи процентів. Облігації — цінні папери, що дають певний процент. Логічно, здавалося б, що таким особам вигідно повинні зберігати своє багатство у вигляді облігацій. Проте це не так, оскільки процент і ринкова вартість облігацій наперед точно не відомі, тобто існує невизначеність.

Розв’язування. Нехай S — розмір активу, а x і y — розміри активів, які зберігаються відповідно у формі грошей та облігацій. Вважаємо, що через рік активи, вкладені в облігації, змінюються. За решти однакових умов облігацію, яка приносить більший процент прибутку на ринках цінних паперів, можна збути за більшу суму, ніж облігацію з меншим процентом. Позначимо тарозміри активів, які реалізуються через рік на одиницю активів, збережених відповідно у формі грошей та вкладених в облігації. Значення, ає випадковою величиною. Економіко-математична модель найбільш пріоритетного розподілу активу на гроші та облігації полягає в максимізації сподіваної корисності:

за умов

,

.

Звідси випливає, що коли , то активи потрібно вкладати в облігації та навпаки. Отже, питання щодо розподілу активу між грішми та облігаціями повністю вирішується на користь одного з цих видів заощаджень. Якщо, то однаково, який спосіб заощадження буде використано.

Задача 6.39.

Відомо, що в комерційних банках нараховується більший процент на вкладені суми порівняно з ощадним, але повернення внеску не гарантується. Перед кожним вкладником постає дилема: мати меншу, але гарантовану суму, або більшу, проте з ризиком втрати внеску. З ризиком невикористаних можливостей пов’язаний внесок до ощадного банку.

Розв’язування. Нехай S — загальна сума грошових коштів певного власника; x — обсяг внеску до ощадного банку, y — до комерційного; a, b —процент нарахування відповідно в ощадному та комерційному банку; (1 – p) — імовірність ліквідації (банкрутства) комерційного банку. Джерелом невизначеності є повернення вкладу з комерційного банку.

За певного розподілу S на x і y можливі такі дві ситуації щодо отримання дивідендів:

—за умов успішного функціонування комерційного банку;

—у противному разі.

Економіко-математична модель набирає вигляду:

за умов

,

.

Задача 6.40.

Оцінити доцільність страхування, коли особа (клієнт) бажає застрахувати певну частину свого активу і сплачує для цього певний внесок страховій компанії, а у разі втрати активу одержує від неї страхову винагороду. Визначити частку активу, яку доцільно застрахувати.

Розв’язування. Нехай S — актив (капітал, майно тощо), власником якого є певна особа. Частку, що її бажано застрахувати, позначимо х. Страховий внесок, який сплачується страховій компанії, дорівнює rx, а в разі втрати активу клієнт одержує винагороду qx. Коли відома ймовірність p недоторканості активу клієнта, то економіко-математична модель визначення частки страхового активу набирає вигляду:

,

.

Тут легко врахувати також обсяги дивідендів.

Така модель може бути корисною для страхових компаній у разі визначення доцільних розмірів страхових внесків та страхових винагород, які зацікавили б клієнтів і були вигідними самій компанії.

Задача 6.41.

У буряко-цукровому комплексі мають S коштів, які необхідно розподілити між розширенням сировинної бази і збільшенням потужностей з її переробки. Потрібно так спланувати розподіл коштів, щоб отримати найбільшу кількість цукру. При цьому урожайність цукрових буряків вважається випадковою величиною .

Розв’язування. Нехай q₁ — питомі витрати коштів на вирощування цукрового буряку на одному гектарі; q₂ — питомі приведенні витрати на створення одиниці потужності; d — частка виходу цукру з одиниці сировини; х — планова площа під цукровим буряком; y — планова потужність цукрового заводу.

Потрібно максимізувати приріст обсягу виробництва цукру за обмежених коштів. Економіко-математична модель набирає вигляду:

за умов

,

.

Задача 6.42.

Фермер має можливість купити три види зерна, щоб готувати з них різні суміші для відгодівлі свиней.

Дані про поживність зерна, його вартість і мінімальні та максимальні потреби в поживних речовинах відбиває таблиця:

№п/п	Зерно	Поживні речовини				Ціна, грн.
		Кормових одиниць, ц	Перетравний протеїн, кг	Лізин, кг	Кальцій, кг
1	Ячмінь, ц	1,15	8,5	0,41	45	45
2	Кукурудза, ц	1,33	7,3	0,21	40	40
3	Горох, ц	1,18	19,2	1,42	0,2	50
4	Потреба в поживних речовинах, кг:
	а) максимальна	106	890	45	12
	б) мінімальна	95,4	801	41	9

Потреба в поживних речовинах розподілена рівномірно.

Розробити економіко-математичну модель і знайти оптимальний розв’язок, який забезпечував би мінімальні витрати на закупівлю зерна і задовольняв мінімально допустимі потреби в усіх поживних речовинах з імовірністю .

Розв’язування. Нехай х₁, х₂, х₃ — кількість, кг, ячменю, кукурудзи та гороху, які необхідно закупити.

Критерій оптимальності

за умов

,

,

,

,

де a, b, c, d — випадкові рівномірно розподілені величини.

Цю систему ймовірнісних обмежень запишемо детермінованими еквівалентами:

,

,

,

,

де a₁, b₁, c₁, d₁ — значення випадкових величин, що задовольняють відповідно умови:

і ;

і .

Визначимо параметри a₁, b₁, c₁, d₁. Із теорії ймовірностей відомо, що

.

Отже, маємо, або;,.

Звідси знаходимо: ;і.

Запишемо детермінований варіант економіко-математичної моделі купівлі фермером зерна, яке використовуватиметься для відгодівлі свиней:

за умов

,

,

,

,

, ,.

Розв’язавши цю задачу симплексним методом, дістанемо ;;. Оптимальні витрати становлять 3749 грн.

Задача 6.43.

Фермер планує вирощувати озиму пшеницю, цукровий буряк, кормові культури і виробляти молоко. Потрібно оптимізувати структуру виробництва, якщо під ці види діяльності виділено 30 га ріллі. Середні техніко-економічні показники вміщено в таблиці:

№п/п	Сфера діяльності	Урожайність, ц/га	Витрати кормів, корм. од.	Ціна,грн.	Собівартість,грн.
1 2 3	Землеробство: вирощування озимої пшениці, га цукрових буряків, га кормових культур, га	50 400 60	— — —	70 2 —	40 1,4 —
4	Тваринництво — вирощування корів, голів	4000	48	100	—

Розв’язування. Відомо, що результати діяльності сільськогосподарських підприємств значною мірою залежать від погодних умов, попиту і пропозиції щодо їхньої продукції і т. ін.

Отже, сільськогосподарські підприємства функціонують і розвиваються в умовах невизначеності. Функції розподілу параметрів (урожайності сільськогосподарських культур, собівартості і цін на продукцію тощо) невідомі. Однак з доволі високою точністю можна визначити ці параметри для відповідних ситуацій. Виокремимо станів погоди. Для кожного з них на підставі статистичної інформації або експертними методами визначають відповідні техніко-економічні показники.

Нехай ₁ — стан погоди, коли врожайність сільськогосподарських культур найнижча. Відповідно маємо: ₂ — урожайність, вища за низьку, але нижча від середньої; ₃ — середня врожайність; ₄ — урожайність, вища від середньої, але нижча за найвищу; ₅ — найвища врожайність. Згідно з цими даними маємо техніко-економічні показники, які наведено у поданій далі таблиці:

Позначимо х₁₁, х₁₂, х₁₃, х₁₄, х₁₅ площу посіву, га, озимої пшениці за станів погоди відповідно ₁, ₂, ₃, ₄, ₅. Аналогічно:

х₂₁, х₂₂, х₂₃, х₂₄, х₂₅ — те саме щодо цукрового буряка, га;

х₃₁, х₃₂, х₃₃, х₃₄, х₃₅ — те саме щодо кормових культур, га;

х₄₁, х₄₂, х₄₃, х₄₄, х₄₅ — поголів’я корів залежно від зазначених станів погоди.

За критерій оптимальності візьмемо максимізацію прибутку.

Запишемо економіко-математичну модель з урахуванням розглянутих далі обмежень.

№ п/п		Сфера діяльності			Погодні
					Урожайність, ц/га		Витрати кормів, корм. од.		Ціна, грн.		Собівартість, грн.		Урожайність, ц/га			Витрати кормів, корм. од.		Ціна, грн.		Собівартість, грн.
1		Вирощування озимої пшениці, га			30		—		80		50		35			—		75		45
2		Виробництво побічної продукції з пшениці на корм, корм. од.			6		—		—		16		7			—		—		15
3		Вирощування цукрового буряка, га			200		—		5		4		250			—		4,75		3,75
4		Виробництво побічної продукції з кормового буряка, корм. од.			20		—		—		14		22			—		—		13
5		Вирощування кормових культур, га			50		—		—		28		55			—		—		26
6		Вирощування корів, голів			40		45		80		45^1		40			45		75		43
стани
Урожайність, ц/га	Витрати кормів, корм. од.		Ціна, грн.	Собівартість, грн.		Урожайність, ц/га		Витрати кормів, корм. од.		Ціна, грн.		Собівартість, грн.		Урожайність, ц/га			Витрати кормів, корм. од.		Ціна, грн.		Собівартість, грн.
40	—		70	40		45		—		65		35		50			—		60		30
8	—		—	14		9		—		—		13		10			—		—		12
300	—		4,5	3,5		350		—		4,25		3,25		400			—		4		3
24	—		—	12		26		—		—		11		28			—		—		10
60	—		—	24		65		—		—		22		70			—		—		20
40	45		70	41		40		45		65		39		40			45		60		37

1. Щодо використання ріллі для кожного -го стану погоди:

,

,

,

2. За сівозмінами (площа під кормовими культурами має бути не меншою, ніж під озимою пшеницею, а остання площа — не меншою, ніж під цукровим буряком).

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

3. Щодо забезпечення корів кормами:

,

,

,

,

.

4. За інерційністю посівних площ і кількістю корів. Ці показники мають бути стабільними для всіх станів погоди:

,

,

,

.

5. Змінні економіко-математичної моделі мають бути невід’ємними:

Запишемо критерій оптимальності. Прибуток обчислюється з урахуванням імовірності певного стану погоди. Наприклад, прибуток, отриманий від вирощування цукрового буряка в разі ситуації ₄, буде такий:

Аналогічно обчислюємо решту коефіцієнтів цільової функції. Отримаємо:

.

Реалізувавши на ЕОМ цю економіко-математичну модель структури (поєднання) галузей, дістанемо стратегічний план. Залежно від погодних умов буде знайдено результати діяльності фермера. Після цього розробляється економіко-математична модель для оптимізації тактичного плану, тобто раціонального використання отриманих кормів, сільськогосподарської сировини тощо. Тактичний план може й значно відрізнятися від стратегічного, але стратегію змінювати не слід. Стратегічний план, як уже зазначалося, можна змінювати лише тоді, коли суттєво змінилися зовнішні або внутрішні умови (поліпшилася технологія виробництва, виникли нові перспективні види діяльності, змінилися ціни на ресурси чи продукцію тощо).

Отже, задача є багатоетапною. Перехід до дискретного варіанта дає змогу дістати умовно оптимальний (раціональний) план.

1 Без вартості кормів.

171