ZbLAAG_Diskant_1

Із n чисел 1, 2, ..., n можна скласти n! перестановок.

Означення 1.7. Нехай є перестановка (x1, x2, ..., xn) чисел 1, 2, 3, ..., n. Два числа, що входять в цю перестановку, утворюють інверсію, якщо більше із цієї пари передує меншому. Число пар, що утворюють інверсію, називається числом інверсій перестановки.

Означення 1.8. Перестановка називається парною, якщо вона має парне число інверсій, і непарною в протилежному випадку.

Розглянемо квадратну матрицю n-го порядку

a11	a12	...	a1n
a21	a22	...	a2n
A= .	.	.	.	.
	an2
an1		...	ann

Означення 1.9. Детермінантом n-го порядку, складеним із елементів матриці А, називається алгебраїчна сума n! членів, кожний з яких є добутком n елементів aik, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця, при цьому член суми береться з знаком плюс, якщо другі індекси його елементів утворюють парну перестановку, і з знаком мінус, якщо ця перестановка непарна, тоді як перші індекси утворюють натуральну перестановку. Детермінант n-го порядку позначають

a11	a12	...	a1n
|A|= a21	a22	...	a2n .
.	.	.	.
an1	an2	...	ann

Для детермінантів n-го порядку залишаються в силі означення мінора і алгебраїчного доповнення елемента детермінанта. Детермінанти n-го порядку мають ті ж властивості, що і детермінанти другого і третього порядку. Зокрема, для детермінантів n-го порядку справедлива властивість 6, яку можна сформулювати так: детермінант n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення, тобто для будь-якого i=1, 2, 3, ..., n має місце рівність

|A|= ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin,

яка називається розкладом детермінанта |A| за елементами i-го рядка. Аналогічно для будь-якого k=1,2,3,..., n має місце розклад детермінанта |A| за елементами k-го стовпця

|A|=a1kA1k+a2kA2k+...+ankAnk.

Властивість 6 дозволяє звести обчислення детермінанта n-го порядку до обчислення n детермінантів (n-1)-го порядку. Для спрощення обчислень доцільно спочатку перетворити детермінант так, щоб в одному з його рядків (стовпців) всі елементи, крім одного, перетворилися в нуль. Тоді

17

обчислення даного детермінанта зведеться до обчислення одного детермінанта нижчого порядку. Таке перетворення детермінанта можна виконати, спираючись на його властивості, зокрема на наслідок властивості 5.

Задачі з розв'язком Задача 1. Обчислити детермінант

	2	1	1	1
	a	b	c	d
	1	1	2	1 .
	1	1	1	2

Розв'язок. Розкладемо його за елементами другого рядка

1 1		1	2	1	1	2	1 1
1 2 1a 1	2	1 1 2 2b 1		2	1 1 2 3c 1		1	1
1 1		2	1 1		2	1 1		2
2	1	1
1 2 4 d 1	1	2 9a 12b 9c 3d.
1	1	1

Задача 2. Обчислити детермінант

x	1	0	1
1	x	0	1
1	1	0	x .
1	2	3	4

Розв'язок. В даному випадку для розкладу зручно вибрати третій стовпець, так як наявність нульових елементів дає можливість не обчислювати відповідних їм алгебраїчних доповнень (добуток нуля на відповідне число дорівнює нулю). Тобто

0A13 0A23 0A33 3A43 3A43 3 43

x	1	1
3 1	x	1 3x3 9x.
1	1	x

Задача 3. Обчислити детермінант

1	2	3	4
1	3	4	5
2	1	7	4 .
1	2	5	9

18

Розв'язок. За наслідком властивості 5 величина детермінанта не зміниться, якщо до елементів рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на один і той же множник.

Помножимо елементи першого рядка на (-1) і додамо їх до відповідних елементів другого і четвертого рядків.

Одержимо

	1	2	3	4
	0	1	1	1
	2	1	7	4 .
	0	4	2	5

В одержаному детермінанті елементи першого рядка помножимо на (-2) і додамо їх до відповідних елементів третього рядка.

Одержимо

	1	2	3	4
	0	1	1	1
	0	5	1	4 .
	0	4	2	5

Розкладемо цей детермінант за елементами першого стовпця. Одержимо

1	1	1
1A 11 0A 21 0A 31 0A 41 5	1	4 .
4	2	5

Перетворимо останній детермінант, додаючи до елементів другого рядка відповідні елементи першого рядка, помножені на (-1) і до елементів третього рядка відповідні елементи першого рядка, помножені на (-2).

Одержимо

1	1	1	1	1	1	1 3 6	5
5	1	4	6	0	5			( 48) 48.
4	2	5	6	0	3	6	3

19

Задачі для розв'язування

61. Визначити з яким знаком входить в детермінант 7-го порядку

добуток a33a16a72a27a55a61a44.

62.Підібрати значення i і j так, щоб добуток a47a63a1ja55a7ia24a31 був членом детермінанта (якого порядку?) і входив до нього зі знаком плюс.

Взадачах №№ 63-65 використовуючи властивості детермінантів,

показати що такі детермінанти рівні нулю:

a	b	c	1	sin2			cos2	sin	cos	sin
b	c	a	1			1
										sin .
63. c	a	b	1. 64. sin2			1	cos2 .	65. sin	cos
b c	c a	a b	1	sin2		1	cos2	sin	cos	sin
2	2	2

В задачах №№ 66-112 обчислити детермінанти:

2 3

66.1 4 .

71.1 2

2 3

x1

75.x3

2

67. 1

2 3

1 2 .

1

x2 x 1.

1		sin	cos		a	c di		sin		cos
2 .	68. cos		sin .	69.	c di	b .	70.	sin		cos .
	tg	sin		2	6		1		logb a
72.	cos	cos2 . 73.		6	3.	74.	loga b		1 .
	2 sin cos		2 sin2 1 .				1 t2		2t
76.						77.	1 t2	1	t	22 .
	2 cos2 1		2 sin cos				2t	1	t
							1 t2	1	t2

	i			i					1									2		1		1
78.						79.				, де cos							80. 3					2 .
	i		i .					1					3	i sin		3 .					4
																		3		2		4
	4 1			1				2 4 1					2 1 4					1		1 1
81.	11	4		2 .		82.		3	11	2 .		83.	3	4		11.	84.	1		0		1.
	11 2 4							3 11 4					3 2			11		1		1 0
	0	1 1			a		a	a			1	i 1 i				1 1 1					1 1 1
85.	1	0	1.	86.	a		a	x .	87.		i	1	0 . 88. 1				2 3.	89.			0	3 4 .
	1	1 0			a	a x				1 i 0 1						1 3 6					5 6 1
	1	5 7				4 3 2					5 6 3				a x x					5 6 3
90.	0	4	3.	91.		5	4	3.	92.		0	1 0.		93.	x	b	x .	94.		0	1	0.
	2	5 6				6 5 4					7 4 5				x x c					8 4 6
	1 5 25				1 2 3					a x		x		x			2 1
95.	1	7	49 . 96.		4	5	6 . 97.			x		b x		x	.	98.			2	1		.
	1 8 64				7 8 9					x		x		c x								2 1

20

	cos		sin cos						sin sin							sin				cos			1				3			5	7	2
																											1			2	3	4
99.	sin		cos cos						cos sin .					100.		sin				cos			1.	101.
																											2			3	3	2 .
	0			sin						cos							sin			cos			1				1			3	5	4
	1 2 0 0 0										2		0 1 3 4											1		2				3	4
	3	2	3	0		0					0		1		0		2		1
																							104. 2				1			4	3 .
102.	0	4	3	4		0.		103. 1					0		1		5		3.
	0 0 5 4 5										3		1 2 0 2											3		4				1	3
																								4		3				2	1
	0 0 0 6 5										4 1 2 5 1
	10	2		0		0		0				1	2		3			4	5					1			1			2	3
												2	3		7			10	13
	12	10		2		0		0																1	2 x			2		2	3 .
105.										106.		3	5		11			16	21.				107.
	0	12	10			2		0 .
												2	7		7			7	2					2			3			1	5
	0 0 12 10 2																							2			3			1 9 x2
												1	4		5			3	10
	0	0		0	12			10
	0	a			b			c				1		2		3 ...				n				1	1					0	0
												1		0		3 ...				n
	a		0	d				c .																x1	x2			cos			sin .
108.									109.			1	2			0 ...				n .		110.
	b	d			0			f																y	y	2		cos			sin
												.		.		.			. .					1
	c		e	f				0																z1	z2			cos			sin
												1	2		3 ...					0
	1	2	3	4					1	1		1	1
111.	0	1	3	5			112.		1	2		1	0
	0	0	1	6	.				3	4		0	0.
	0	0	0	8					5	0		0	0
	В задачах №№ 113-122 довести тотожності:
	a1	b1		a1x b1 y c1						a1		b1		c1						1 a bc
113.	a2	b2	a2 x b2 y c2							a2		b2		c2 .				114.		1		b	ca (b a )(c a )(c b ).
	a3	b3		a3 x b3 y c3						a3		b3		c3						1 c ab
	cos			sin						cos
		2						2				2
														1
115.	cos	2			sin			2		cos		2		2(sin( )						sin( ) sin( )).
	cos			sin						cos
		2						2				2
	1 a bc 1 a a2															a b x				a b x c							a b c
																	1		1		1		1	1					1	1	1
116. 1 b			ca 1				b	b2 .					117. a				2	b x		a	2	b x		c	2x a				2	b	c .
																			2				2	2						2	2
	1 c ab 1 c c2															a	3	b x		a	3	b x c					a		b c
																			3				3	3					3	3	3

21

	( a b )2			c2			c2
118.		a2		(b c )2			a2	2abc( a b c )3 .
		b2		b2			( c a )2
	sin2		sin cos			cos2
119.	sin2		sin cos			cos2 sin( )cos cos sin( )cos cos sin( )cos cos .
	sin2		sin cos			cos2
	a		b	c		d
120.	b		a	d	c		(a2	b2 c2 d 2 )2 .
	c		d	a		b
	d		c	b		a
	0	1	1	a
121.	1	0	1	b a2		b2 c2		2ab 2bc 2ac 2d.
	1	1	0	c
	a	b	c	d

122. При якій умові справедлива рівність:

1	cos	cos	0	cos	cos
cos	1	cos	cos	0	cos .
cos	cos	1	cos	cos	0

1.3. Обернена матриця. Розв’язування матричних рівнянь

Нехай А - квадратна матриця порядку n.

Означення 1.10. Квадратна матриця С порядку n називається оберненою до матриці А, якщо АС =СА =Е, де Е - одинична матриця порядку n.

Матриця, обернена до матриці А, позначається через А-1. Означення 1.11. Квадратна матриця А порядку n називається

особливою, якщо її детермінант дорівнює нулю. Якщо |A| 0, то А називається неособливою.

Теорема 1.1. Особливі матриці обернених матриць не мають. Кожна неособлива матриця має єдину обернену матрицю.

Якщо |A| 0, то обернена матриця А-1 має вигляд

		A 11	A 21	...	A n1
А-1=	1	A 12	A 22	...	A n 2		,
	A	.	.	.	.
			A 2n
		A 1n		...	A nn

де Аij (i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., n) - алгебраїчне доповнення елемента aij матриці А.

22

Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:

a11 x1	a12 x2	... a1n xn		b1 ,
	a22 x2	... a2 n xn		b2 ,
a21 x1
	.	.	.
	an2 x2	... ann xn		bn .
an1 x1

Якщо

a11	a12
a21	a22
A= .	.
	an2
an1

...

...

.

...

			x1
a1n
			x2
a2n
			.
	.	,	X= .		,
a
			.
	nn
			xn

b1b2.

B= . ,b.n

то в матричній формі система має вигляд

АХ=В.

Якщо детермінант матриці А не дорівнює нулю, то розв’язок

системи має вигляд

Х=А-1В.

Задача з розв’язком Задача. Розв’язати систему

7x1 2x2 3x3 13,

9x1 3x2 4x3 15,

5x1 x2 3x3 14.

Розв’язок. Обчислимо детермінант матриці

	7	2	3
A=	9	3	4 .
		1
5			3
Маємо
	7	2	3
|A|= 9		3	4 3.
	5	1	3

Отже, матриця А неособлива.

Знаходимо матрицю А-1, обернену до А. Обчислюємо алгебраїчні доповнення елементів матриці А.

A11=(-1)1+1 3	4	5,	A21=(-1)2+1 2	3 3 ,		A31=(-1)3+1 2	3	1,
1	3		1	3		3	4
A12=(-1)1+2 9	4	7 ,	A22=(-1)2+2 7	3	6 ,	A32=(-1)3+2 7	3	1,
5	3		5	3		9	4

23

A13=(-1)1+3 9	3	6 ,	A23=(-1)2+3 7	2	3 ,	A33=(-1)3+3 7	2	3.
5	1		5	1		9	3

A

A-1= 1 A

A A

	A		A				1		5	3	1
11		21		31					7
12	A 22		A 32				3			6	1 .
	A 23		A 33							3
13								6			3

Розв’язок системи запишеться так:

x						5	3					6				2
	1
x	2		X A	1B 1		7	6	1	15	1		15				5 .
				3						3
x3					6		3	3 14				9				3

Звідки x1=2, x2=-5, x3=3.

Задачі для розв’язування

В задачах №№ 123-132 знайти матрицю, обернену до кожної з матриць:

	1		2								2		5							1 2 3									2	2 3
123.							124.									125.				0	1	3				126.				1
				.									.										.					1			0 .
	2			5						7			6							0	0								1	2
																						1									1
		1	1 3							1	2		1					1		1 1						1	3	5		7
127.		2	3		1	.	128.			2	1		1 .		129.			0		1		3 .	130.			0	1	2		3 .
																										0 0 1				2
	2		1 1						3 0				2				2			0 1						0	0	0
																														1
															1
		2	1		0	0							0	0			0
131.		3 2 0				0			132.				0 0			0 1
		1	1		3		.						1	0		0		.
						4											0
			1 2										0 1
	2					3										0 0
		В задачах №№ 133-136 знайти добуток матриць:
	1 1			1	2	5						1	2 3			1 0				3 1					1 1		1	1	1
133.																						135.
							.		134.			4	0	1		4	5			1 .					0 1		1		3 .
	0 1				1	3
											5		6 3 1 1							1				2 2			1		4
		1	1			3	1	1
136.		0		4		3
								1 .
				2
	1				2			1

24

В задачах №№ 137-147 знайти невідому матрицю X із рівнянь:

137.		2	5		4	6	138.	X	2	5		4	6
			X			.						2	.
	1		3	2		1		1		3			1

			1	1 1					1			1	3
139.	X		2	1	0				4			3
													2 .
				1								2
		1			1			1					5
			1	3	5					0		0	1
141.	X		2	7						9		3
						8							6 .
				3
		1			4			3				0 3
			2	2	1					5		1	1
143.	X		2	1		2
												3	.
				2						2			4
		1				2
		1	1	2						1
145.			3	1
	1				X				1 .
			1
	4			1				2

			1 2				3							1		3	0
140.			3			2										2
							4 X				10						7 .
					1
		2					0					10				7 8
					1		1	1				1 0				0
142. X					2		1					2		1
								1								0 .
							1							1
				1				2			1					2
					1		1	1			1				1	0
144. X					2		2	0
															1	.
							4				2					1
				3				5
146.		1		1		X		1	0				1		2	.
	2				1			2 3				3			4

		1	1	0		1 2		1			2	1	1
147.		1	2			0	1	3			1	0
				1 X									3 .
			0				3					1
	0			3	4			1		1			1

В задачах №№ 148-152 обчислити f(A), якщо ділення матриці на матрицю рівносильне множенню чисельника на матрицю, обернену до знаменника:

	2 x						1			2		1 x						1	1	2
148. f(x)=				,							149. f(x)=				,
	1	x				A				.		1	x	2		A		1	1	0 .
							2			1									1
	x2 2								1	1		1 x2					1			3
																		1	2	1
150. f(x)=					,	A					151. f(x)=				,	A		1	0
			x							.		x 1								1 .
								1		2									3
																	2			1
	x	2	1					2		1	3
152. f(x)=					,	A				4
	2 x							0			1 .
										1
								1			2

25

В задачах №№ 153-161 розв’язати системи лінійних рівнянь матричним методом:

x1 2x2	3x3 4x4	3,	x		x		x 36,	x x 2x 2,
2x1 x2	2x3 3x4	2,
				1		2	3		1	2	3

153.			2x2			x3 2x4 3,							154. x1				x2			x3 13,							155. x1		3x2			4x3					1,
	3x1														x x							x			7.			5x 3x							3x					1.
	4x 3x				2	2x			3	x	4	2.					1				2			3						1				2					3
		1
	x 2x			2	x		3	4,						2x 4x					2	9x			3	28,				x 2x				2		3x			3		5,
		1													1														1
156.	2x1		5x2			3x3				1, 157.				7x1		3x2				6x3				1,			158. x1 3x2						4x3						6,
			7x2			x3 8.										9x2				9x3 5.														x3 1.
	2x1													7x1														2x1 x2
	x 2x x 4,												x x x 2,															x1 x2 2x3 x4 3,
																													2x2 3x3 x4 4,
		1		2			3							1		2		3
159. 2x1			x2		x3			3,				160.	2x1 x2 2x3									9,				161.						x3 5x4 6,
			2x2			2x3 2.									4x2 3x3 5.													2x1
	3x1												4x1															x x		2	x		3	x		4		0.
																												1

26