З міст курсової роботи

1. Теоретичні відомості……………………………………………………..…………………...3

   1. Чисельні методи. Застосування. Основні принципи побудови…………….......................3

   2. Чисельне розв’язання трансцендентних рівнянь. Опис методів дихотомії (половинного ділення), хорд, дотичних, комбінованого методу хорд та дотич…....…………………………………………………..…..…………...4

   3. Чисельне інтегрування. Методи лівих, правих та середніх прямокутників. Методи трапецій та парабол…………………………...………………….……………...…11

   4. Використання системи Math Cad для розв’язання технічних завдань. Основні особливості та методи роботи із системою……………………….……..….……13

   5. Використання табличного процесору Excel для розв’язання технічних завдань. Основні особливості та методи роботи із системою…………………………………...….15

   6. Використання алгоритмічної мови Pascal для розв’язання технічних завдань. Основні особливості та методи роботи із оболонкою Turbo-Pascal………………….......17

2. Постановка задачі, із індивідуальним завданням………………………………...….…….20

   1. Завдання на практичну частину із використанням системи Math Cad……………....…..20

   2. Завдання на розрахункову частину із використанням системи Excel…….…………….20

   3. Завдання на алгоритмічну частину із використанням мови Pascal…….…..…………...21

3. Результати розрахунків за допомогою системи Math Cad……………………….………22

4. Розрахункова частина за допомогою табличного процесору Excel………………….….25

   1. Відокремлення коренів графічним методом…………………………..........................….25

   2. Уточнення коренів методом половинного ділення із точністю 0.00001………………..26

   3. Чисельне інтегрування……………………………………………….………….…26

4.3.1. Розрахунок за методом середніх прямокутників……………….………….…26

4.3.2. Розрахунок за методом трапецій…………………………………….….……..27

5. Результати алгоритмічної частини…………………………………………….…………28

6. Порівняння ефективності чисельних методів, згідно індивідуального завдання….….32

7. Оцінка збіжності результатів розрахунків за допомогою табличного процесору Excel із результатами, які були отримані за допомогою систем Math Cad та програм згідно індивідуального завдання…………………………...…………….…..…33

Висновки…………………………………………………………………………..….…….34

Перелік літератури……………………………………………………………….………..35

1.Теоретичні відомості.

1.1.Чисельні методи. Застосування. Основні принципи побудови.

Чисельні методи — методи наближеного або точного розв'язування задач чистої або прикладної математики, які ґрунтуються на побудові послідовності дій над скінченною множиною чисел. Основні вимоги до чисельних методів, щоб вони були стійкими та збіжними.

Чисельні методи називаються стійкими, якщо результати неперервно залежать від вхідних даних задачі або якщо похибка округлення, пов'язана з реалізацією чисельних методів на ЕОМ, залишається обмеженою при заданих межах зміни параметрів чисельних методів.

Чисельні методи називаються збіжними, якщо результати прямують до точного розв'язання задачі при прямуванні параметрів чисельних методів до певних граничних значень.

Основне питання теорії чисельних методів: отримання чисельних методів, які задовольняють вимогам високої точності, стійкості та економічності. Складання чисельних методів, що задовольняють цим вимогам, представляє собою складну задачу оптимізації чисельних методів.

Статистична обробка експериментальних даних зазвичай ґрунтується на граничних теоремах теорії ймовірностей та вимагає обчислення оцінок в порівнянні з простими формулами. Однак для підвищення якості оцінок необхідна велика кількість даних, і обсяг обчислень може виявитися дуже великим. Тому чисельні методи тут націлені на скорочення обсягу обчислень при збереженні якості результатів. Найбільш ефективними чисельними методами в цій області відносяться методи, які застосовують швидке перетворення Фур'є.

Для розв'язань задач апроксимації та обчислення функцій різних класів застосовують чисельні методи інтерполювання, найменших квадратів, ортогоналізації, врівноваження значень, умовної мінімізації та ін. Найбільш актуальним є методи кусково многочленної та раціональної сплайнової апроксимації, а також адаптивної апроксимації та нелінійної за параметром апроксимації.

Чисельне інтегрування та диференціювання відбувається із означення відповідних операцій, однак з урахуванням необхідності економії обсягу обчислень та з урахування некоректності задачі диференціювання з'являється велика кількість чисельних методів для різних класів функцій та різного роду вихідних даних.

Основою чисельних методів розв'язання багатьох класів рівнянь є дискретизація задачі з наступним зведенням отриманих, загалом кажучи, нелінійні рівняння до послідовності систем алгебраїчних рівнянь. В зв'язку з цим чисельні методи можна поділити за способом дискретизації на проекційні, скінченно-різницеві та проекційно-різницеві, а за способом розв'язання лінійної системи — на прямі методи, ітераційні методи та комбіновані.

Розв'язання різних класів рівнянь та багатьох інших задач зводяться до задач мінімізації функцій та функціоналів за наявності або відсутності обмежень. Чисельні методи розв'язання задач мінімізації випливають із різних ідей швидкого спуску по поверхні, яка відповідає мінімізованій функції. Сюди відносяться методи швидкого спуску, градієнтного, загального градієнтного та найшвидкішого спуску, методу можливих та спряжених напрямів і т. д.