Розв’язання типової задачі.

Задача.По групі підприємств, які випускають один і той же вид продукції, розглядається функція витрат . Необхідна для розрахунку оцінок параметрівіінформація представлена в таблиці.

Потрібно:

1.Скласти рівняння регресії за допомогою МНК:

а)рішенням СЛАУ

б)через середні.

2. Оцінити отриману модель:

а)через коефіцієнти варіації,

б)через показник тісноти зв'язку,

в)через показник детермінації.

Номер підпр.	Випуск продукції, тыс.од.	Витрати на виробництво, млн.руб.
1 2 3 4 5 6 7	1 2 4 3 5 3 4	30 70 150 100 170 100 150	30 140 600 300 850 300 600	1 4 16 9 25 9 16	31,1 67,9 141,6 104,7 178,4 104,7 141,6
Разом	22	770	2820	80	770,0

- вихідні дані.

- допоміжні розрахунки.

- теоретичні значення ,тобто.

1. Скласти рівняння регресії за допомогою МНК:

а)рішенням СЛАУ

Система рівнянь для оцінки параметрів і:

Рівняння регресії:

(1)

Підставляючи в це рівняння значення , одержуємо теоретичні значення, тобто графу таблиці.

1. б)через середні.

- дисперсія,- середньоквадратичне відхилення.

іє загальноприйнятимимірами варіації ознаки.

є мірилом надійності середньої: чим менше , тим краще середня арифметична відображає всюнаведену сукупність.

Тоді

Рівняння регресії:

(2)

2.Оцінити отриману модель:

а)через коефіцієнти варіації.

Якщо- великеколивання ознаки.

Отже,

- коливання ознаки в нормі.

- великеколивання ознаки.

- це означає випередження результату над зміною фактора.

1. б)через показник тісноти зв'язку.

При використанні лінійної регресії показником тісноти зв'язку є лінійний коефіцієнт кореляції.

Формули для обчислення:

1)

2)

У даній задачі, за1) формулою:

для рівняння(1)

для рівняння(2)

за2) формулою

Так якдуже близько до 1, це означає наявність дуже тісній залежностіі , тобто витрат на виробництво від величини обсягу випущеної продукції.

в)через показник детермінації.

Коефіцієнт детермінації

Тобто варіація на 99% пояснюється варіацією . На частку інших факторів, що не враховуються в регресії, доводиться лише 1%.

Величина коефіцієнта детермінації є одним з критеріїв оцінки якості лінійної моделі. Чим більше частка поясненої варіації, тим, відповідно менше роль інших факторів і, отже, лінійна модель добре апроксимує вихідні дані і нею можна скористатися для прогнозу значень результативної ознаки.

Парна лінійна регресія і кореляція Варіанти індивідуальних завдань.

ЗАДАЧА.По групі підприємств, які випускають один і той же вид продукції, розглядається функція витрат . Необхідна для розрахунку оцінок параметрівіінформація представлена в таблиці.

Необхідно:

1.Скласти рівняння регресії за допомогою МНК:

а)рішенням СЛАУ

б)через середні.

2. Оцінити отриману модель:

а)через коефіцієнти варіації,

б)через показник тісноти зв'язку,

в)через показник детермінації.

Номер підпр.	Випуск продукції, тыс.од.	Витрати на виробництво.
1 2 3 4 5 6 7	1 2 4 3 5 3 4	30+N 70+N 150+N 100+N 170+N 100+N 150+N

N– номер варианту.

ПАРНА НЕЛІНІЙНА РЕГРЕСІЯ.

Якщо між економічними явищами існують нелінійні співвідношення, то вони виражаються за допомогою відповідних нелінійних функцій.

Приклади нелінійних функцій,які використовуються в якості рівнянь регресії:

1. ŷ=a+bx+cx². 6. ŷ=ax^b.

2. ŷ=a+bx+cx²+dx³. 7. ŷ=a+b lnx.

3. ŷ=ab^x. 8. ŷ=1/(a+bx)

4. ŷ=e^a+bs 9. ŷ=ae^b/x.

5. ŷ=a+be^x.

Коефіцієнти цих рівнянь можна визначити за допомогою методу найменших квадратів (МНК).

Тісноту одержаного зв^,язку можна визначити за допомогою множинного коефіцієнта кореляції:

R=0≤R≤ 1

Якість зв^,язку можна визначити за допомогою коефіцієнта детермінації R² та середньої помилки апроксимації Ā.

∑(y-ŷ)²

R² = 1- ——— .

∑(y-)²

Коефіцієнт детермінації показує , яку частину зміни у визвано зміною х.

у – ŷ

у

Ā= ∑ 100 %

Допустима помилка апроксимації 10%.

Для перевірки адекватності (тобто ступеня відповідності побудованого рівняння регресії наявним статистичним даним) застосуємо критерій Фішера.

Розрахункове значення критерію Фішера :

, де m- кількість параметрів при х ,

а n –кількість спостережень .

Табличне значення критерію Фішера F_t(α,k₁,k_{2 )} є функція (=0,05 – ймовірність похибки, число ступенів вільності k₁=m й k₂=n-m-1=).

Якщо F>F_t, то з надійністю Р=0,95 побудовану економетричну модель можна вважати адекватною експериментальним даним .

ПРИКЛАДИ ЗНАХОДЖЕННЯ ПАРАМЕТРІВ НЕЛІНІЙНИХ

РІВНЯНЬ РЕГРЕСІЙ ЗА ДОПОМОГОЮ МНК.

I. ŷ=a+bx+cx².

Параметри a,b,cзнаходяться із умови

S=∑(y- ŷ)²→min

В нашому випадку

S=∑(y- a-bx-cx²)² →min

Записавши умови існування мінімуму

Одержимо систему лінійних рівнянь відносно a,b,c.

Можна доказати, що визначник системи відмінний від нуля. Значить

система має єдиний розв^,язок.

II. ŷ=ab^x.

Прологарифмувавши,одержимо:

lnŷ=lna+xlnb

Позначивши A=lna,B=lnb,Y=lny,Ŷ=lnŷ,одержимо лінійне відповідно А та В рівняння

Ŷ=А+Вх

Застосувавши МНК,одержимо:

Знайшовши із ситеми А та В , обчислимо

a=e^A, b=e^B.

III.ŷ=e^a+bx.

Прологарифмувавши,одержимо

lnŷ=а+вх.

Застосувавши МНК,одержимо систему:

IV. ŷ=ax^b

Після логарифмування матимемо:

lnŷ =lna+blnx

Позначивши A=lna, одержимо лінійне відповідно А та b рівняння:

lnŷ =А+blnx

Застосувавши МНК,одержимо систему:

Одержавши із системи А та b,знайдемо а :

a=e^A.

Приклади розв^,язання задач по темі «Парна регресія»

Задана статистична залежність прибутку від кількості сировини

сировина х (кількість)	35	56	77	98	119	140
прибуток у	105	108	231	294	330,57	347,5

1. Найти рівняня регресій

a) ŷ=a+bx d) ŷ=e^a+bx

b) ŷ=a+bx+cx² e) ŷ=ax^b

c) ŷ=ab^x

2. Для кожного рівняння побудувати графік,оцінити тісноту та якість зв^,язку по коефіцієнтам детермінації R² та середнім похибкам апроксимацій Ā .

3.Визначити «найкращу» регресію та зробити прогноз для х=х_к +∆х =140+21=161.

a) ŷ1=a+bx

Рівняння регресії:

Приведемо графіки заданої статистичної та найденої теоретичної

залежностей:

Оцінимо якість зв^,язку :

= -² =-²

= 409078,775

Таким чином одержимо :

=8942,5-(87,5) ² = 1286,25 = 35,864

=68179,796 – (246,017) ² = 7655,53 = 87,496

= 2,399 = 0,983 ² = 0,967

Таким чином, майже 97% зміни у визвано зміною х.

Для визначення середньої похибки апроксимації зробимо таблицю :

х	35	56	77	98	119	140
у	105	168	231	294	330,57	347,5
ŷ	120,068	170,443	220,82	271,20	321,57	371,95
у - ŷ у	0,1435	0,0145	0,0441	0,0776	0,0272	0,0704	=0,3773

Середня похибка апроксимації:

Ā= 0,3773*100 % =6,29 %,

Що не перевищує допустиму ( 10 % ).

b) ŷ2=a+bx+cx²

Розв^,язавши систему,одержимо

a=-50,579 ;b= 4,780;c= - 0,0136 .

Таким чином

ŷ2= - 50,579+4,78х -0,014х ²

Приведемо графіки заданої статистичної та найденої теоретичної

залежностей:

Оцінимо якість зв^,язку та визначемо середню похибку апроксимації .

Для цього зробимо таблицю :

x	35		56		77			98		119	140
y	105		168		231			294		330,57	347,5
ŷ	100,1		174,4		236,8			287,2		325,6	351,9
(y- ŷ)^2	24,395		41,563		33,974			46,156		24,917	19,789			190,794
(y- )^2	19884,3		6085,825		225,351			2302,88		7150,11	10299,9			45948,3
у – ŷ у		0,0467		0,0381		0,0251	0,0232		0,0150			0,0127	0,1608

∑(y-ŷ)²

R² = 1- ——— . = 1- =0,9956

∑(y-)²

у – ŷ

у

Ā= ∑ 100 % = 0,1608*100 % =2,68 %

c)ŷ=ab^x

де A=lna,B= lnb.

Розв^,язавши систему,одержимо

A=4,4431,B= 0,0113.

Після потенціювання матимемо

a=e^A= 85, 0382b=e^B. = 1,0113

Таким чином

Ŷ3= 85, 0382 * 1,0113^x

Графіки заданої статистичної та найденої теоретичної

залежностей:

Оцінимо якість зв^,язку та визначемо середню похибку апроксимації .

Для цього зробимо таблицю :

x	35		56		77			98		119	140
y	105		168		231			294		330,57	347,5
Ŷ	126,013		159,549		202,011			255,773		323,843	410,029
(y- ŷ)^2	441,546		71,419		840,362			1461,30		45,252	3909,88			6769,76
(y- )^2	19884,3		6085,825		225,351			2302,88		7150,11	10299,9			45948,3
у – ŷ у		0,200		0,050		0,125	0,130		0,020			0,180	0,705

Одержимо :

∑(y-ŷ)²

R² = 1- ——— . = 1- =0,85267

∑(y-)²

у – ŷ

у

Ā= ∑ 100 % = 0,705*100 % =11,75 %

Таким чином, похибка апроксимації більша 10 % .

d)ŷ4=e^a+bx

Одержимо :

a= 4,4431 ,b= 0,0112.

Рівняння регресії буде :

ŷ=e^{4,4431+0,0112 х}

Графіки заданої статистичної та найденої теоретичної

залежностей:

Оцінимо якість зв^,язку та визначемо середню похибку апроксимації .

Для цього зробимо таблицю :

x	35		56		77			98		119	140
y	105		168		231			294		330,57	347,5
Ŷ	125,851		159,222		199,198			254,856		322,435	407,932
(y- ŷ)^2	434,773		77,0515		1011,36			1524,43		66,1864	3625,00			6765,81
(y- )^2	19884,3		6085,825		225,351			2302,88		7150,11	10299,9			45948,3
у – ŷ у		0,1986		0,0522		0,1377	0,1331		0,0246			0,1739	0,9093

Одержимо :

∑(y-ŷ)²

R² = 1- ——— . = 1- = 0,853

∑(y-)²

у – ŷ

у

Ā= ∑ 100 % = 0,9093*100 % =15,16 %

Таким чином, похибка апроксимації більша 10 % .

e) ŷ5 =ax^b

де A=lna ;

Розв^,язавши систему,одержимо

A= 1, 5146;b= 0,8947.

Після потенціювання матимемо

a=e^A= 4,5458

Таким чином

Ŷ= 4,5458*x^0,8947

Графіки заданої статистичної та найденої теоретичної

залежностей:

Оцінимо якість зв^,язку та визначемо середню похибку апроксимації .

Для цього зробимо таблицю :

x	35		56		77			98		119	140
y	105		168		231			294		330,57	347,5
Ŷ	109,418		166,615		221,541			274,891		327,041	378,226
(y- ŷ)^2	19,5170		1,9182		89,4784			365,158		12,4538	944,069			1432,59
(y- )^2	19884,3		6085,825		225,351			2302,88		7150,11	10299,9			45948,3
у – ŷ у		0,042		0,008		0,041	0,065		0,011			0,088	0,255

Одержимо :

∑(y-ŷ)²

R² = 1- ——— . = 1- = 0,9688

∑(y-)²

у – ŷ

у

Ā= ∑ 100 % = 0,255*100 % =4,25 %

Похибка апроксимації менше 10 % .

Порівнюючи одержані результати , приходимо до висновку,що квадратична регресія

Ŷ=a+bx+cx² = - 50,579 + 4,7804 х – 0,0136 х²

найбільш якісно характеризує задану статистичну залежність .

Для перевірки адекватності (тобто ступеня відповідності побудованого рівняння регресії наявним статистичним даним) застосуємо критерій Фішера.

Обчислимо розрахункове значення критерію Фішера, використовуючи формулу , деm=2 (кількість параметрів при х ) ,

а n –кількість спостережень .

Таким чином, 46,5769 .

Знайдемо табличне значення критерію Фішера F_t(α,k₁,k_{2 )} функцію (=0,05 – ймовірністьпохибки, число ступенів вільності k₁=m=2 й k₂=n-m-1=6-3=3).

По таблиці F_t(0,05; 2;3) = 9,55.

Так як F>F_t, то з надійністю Р=0,95 побудовану економетричну модель можна вважати адекватною експериментальним даним і на основі прийнятої моделі можна робити прогноз

Ŷ (161) = -50,579 + 4 ,7804 * 161 – 0,0136 * 161² = 366,540

Таким чином, якщо кількість сировини буде 161 одиниця , то прибуток буде

дорівнювати 366,54 грош. од.