Розв’язання типових задач.
ЗАДАЧА I.Є наступні дані по 10 підприємствам
концерну про прибуток (
- млн руб.),по виробленнюпродукції на 1 працівника (
- одиниць) та часткипродукції, що виробляється на експорт
(
-%), наведені в таблиці.
Потрібно:
1) Скласти рівняння регресії в натуральному масштабі ( «чистої» регресії) за допомогою МНК.
2) Скласти рівняння регресії в стандартизованомумасштабі.
3) Оцінити отриману модель:
а) через показник множинної кореляції;
б) через показник детермінації.
|
№ п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
2 1 3 8 7 5 4 6 7 7 |
11 10 12 18 15 13 13 15 16 17 |
3 2 4 10 11 6 5 7 10 12 |
121 100 144 324 225 169 169 225 256 289 |
9 4 16 100 121 36 25 49 100 144 |
22 10 36 144 105 65 52 90 112 119 |
6 2 12 80 77 30 20 42 70 84 |
33 20 48 180 165 78 65 105 160 204 |
|
Разом |
50 |
140 |
70 |
2022 |
604 |
755 |
423 |
1058 |
|
|
- вихідні дані. |
|
|
- допоміжні розрахунки. |
1) Скласти рівняння регресії в натуральному масштабі ( «чистої» регресії) за допомогою МНК.
Система рівнянь для оцінки параметрів
,
і
:
Рівняння регресії:
2) Скласти рівняння регресії в стандартизованомумасштабі.
ty= β1.tx1 + β2.tx2
де
парні коефіцієнти кореляції
,
,
Тоді
Отже,
Рівняння регресії в стандартизованої вигляді:
Отже, найбільший вплив на
розмір прибутку (
)
надає продуктивність праці (
),
ніж експорт (
).
3) Оцінити отриману модель:
а) через показник множинної кореляції.
При лінійної залежності індекс множинної кореляції можна обчислювати за формулою:
Оскільки
дуже близько до 1, це означає наявність
дуже тісногозв'язку
з
і
.
б) через показник детермінації.
Тобто, включені в регресію
фактори пояснюють 95,7% варіації
.
Так як , взаємозалежність факторів висока ( rx1x2=0,9272 ) ,виключаємо фактор х2 із моделі. Складемо рівняння регресії в формі :
Система рівнянь для оцінки параметрів
,
:
Розв,язавши систему, одержимо
a= - 7,4194b= 0,8871
Таким чином
Yt= - 7,4194 + 0,8871*Х1
Оцінимо найдену залежність
= 0,8871.2,49/2,28 = 0,9688
-rxy=0,978-0,9688=0,0092
Різниця становить 0,92 %
ЗАДАЧА II.Задана статистична залежність результату У від факторів Х1 , Х2 , Х3.
Необхідно:
1) дослідити на мультиколінеарність
2)виключити один із взаємозалежних факторів
3)побудувати лінійне рівняння регресії з двома факторами та оцінити його
4)побудувати лінійне рівняння регресії з повним набором факторів та оцінити його
5)порівняти одержані моделі
|
X1 |
X2 |
X3 |
Y |
|
4,8 |
3,2 |
5,3 |
65,8 |
|
7,5 |
1,5 |
7,7 |
85,4 |
|
6,9 |
3,6 |
7,2 |
86,9 |
|
8,3 |
1,5 |
8,7 |
93,5 |
|
9,2 |
8,2 |
9,5 |
99,8 |
|
4,4 |
3,7 |
4,1 |
62,4 |
|
3,5 |
3,5 |
3,4 |
52,6 |
|
3,3 |
0,4 |
2,9 |
33,9 |
|
1,2 |
1,7 |
0,2 |
8,8 |
|
5,5 |
5,5 |
5,9 |
82,6 |
|
5,4 |
2,3 |
5,7 |
69,4 |
|
9,7 |
3,5 |
9,8 |
116,3 |
|
6,3 |
2,3 |
6,7 |
77,7 |
|
6,8 |
2,6 |
6,5 |
81,2 |
|
4,4 |
3,5 |
4 |
70,5 |
|
5 |
8,9 |
4,5 |
88 |
|
1,1 |
0,6 |
1,2 |
16,4 |
|
5,7 |
4,5 |
6,2 |
78,5 |
|
3,2 |
6,1 |
3,1 |
59,4 |
|
7,5 |
7,8 |
7,9 |
112,7 |
Для розрахунків збудуємо таблиці
|
X1 |
X2 |
X3 |
Y |
X1*Y |
X2*Y |
X3*Y | |||||||||
|
4,8 |
3,2 |
5,3 |
65,8 |
315,84 |
210,56 |
348,74 | |||||||||
|
7,5 |
1,5 |
7,7 |
85,4 |
640,5 |
128,1 |
657,58 | |||||||||
|
6,9 |
3,6 |
7,2 |
86,9 |
599,61 |
312,84 |
625,68 | |||||||||
|
8,3 |
1,5 |
8,7 |
93,5 |
776,05 |
140,25 |
813,45 | |||||||||
|
9,2 |
8,2 |
9,5 |
99,8 |
918,16 |
818,36 |
948,1 | |||||||||
|
4,4 |
3,7 |
4,1 |
62,4 |
274,56 |
230,88 |
255,84 | |||||||||
|
3,5 |
3,5 |
3,4 |
52,6 |
184,1 |
184,1 |
178,84 | |||||||||
|
3,3 |
0,4 |
2,9 |
33,9 |
111,87 |
13,56 |
98,31 | |||||||||
|
1,2 |
1,7 |
0,2 |
8,8 |
10,56 |
14,96 |
1,76 | |||||||||
|
5,5 |
5,5 |
5,9 |
82,6 |
454,3 |
454,3 |
487,34 | |||||||||
|
5,4 |
2,3 |
5,7 |
69,4 |
374,76 |
159,62 |
395,58 | |||||||||
|
9,7 |
3,5 |
9,8 |
116,3 |
1128,11 |
407,05 |
1139,74 | |||||||||
|
6,3 |
2,3 |
6,7 |
77,7 |
489,51 |
178,71 |
520,59 | |||||||||
|
6,8 |
2,6 |
6,5 |
81,2 |
552,16 |
211,12 |
527,8 | |||||||||
|
4,4 |
3,5 |
4 |
70,5 |
310,2 |
246,75 |
282 | |||||||||
|
5 |
8,9 |
4,5 |
88 |
440 |
783,2 |
396 | |||||||||
|
1,1 |
0,6 |
1,2 |
16,4 |
18,04 |
9,84 |
19,68 | |||||||||
|
5,7 |
4,5 |
6,2 |
78,5 |
447,45 |
353,25 |
486,7 | |||||||||
|
3,2 |
6,1 |
3,1 |
59,4 |
190,08 |
362,34 |
184,14 | |||||||||
|
7,5 |
7,8 |
7,9 |
112,7 |
845,25 |
879,06 |
890,33 | |||||||||
|
∑ |
∑ |
∑ |
∑ |
|
|
| |||||||||
|
109,7 |
74,9 |
110,5 |
1441,8 |
9081,11 |
6098,85 |
9258,2 | |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
X1cp |
X2cp |
X3cp |
Ycp |
X1Ycp |
X2Ycp |
X3Ycp | |||||||||
|
5,485 |
3,745 |
5,525 |
72,09 |
454,0555 |
304,9425 |
462,91 | |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
G(y) |
G(x1) |
G(x2) |
G(x3) |
|
|
| |||||||||
|
27,38171 |
2,309172 |
2,381066 |
2,550466 |
|
|
| |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
r(yx1) |
r(yx2) |
r(yx3) |
r(x2x1) |
r(x3x1) |
r(x2x3 |
) | |||||||||
|
0,927451 |
0,536299 |
0,925206 |
0,303944 |
0,991325 |
0,292265 |
| |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
Так як r(x3x1)=0,991325 то |
X1 не влючаємо до модели. |
|
|
| |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
|
Yt=a+b2*x2+b3*x3 |
|
|
|
| ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
X2 |
X3 |
Y |
Yt |
(Y-Yt)^2 |
(Y-Ycp)^2 |
| |||||||||
|
3,2 |
5,3 |
65,8 |
68,23823 |
5,944972 |
39,5641 |
| |||||||||
|
1,5 |
7,7 |
85,4 |
84,2044 |
1,429458 |
177,1561 |
| |||||||||
|
3,6 |
7,2 |
86,9 |
86,71496 |
0,034239 |
219,3361 |
| |||||||||
|
1,5 |
8,7 |
93,5 |
93,22514 |
0,075546 |
458,3881 |
| |||||||||
|
8,2 |
9,5 |
99,8 |
122,8419 |
530,9272 |
767,8441 |
| |||||||||
|
3,7 |
4,1 |
62,4 |
59,08499 |
10,98928 |
93,8961 |
| |||||||||
|
3,5 |
3,4 |
52,6 |
52,10181 |
0,248192 |
379,8601 |
| |||||||||
|
0,4 |
2,9 |
33,9 |
37,22721 |
11,07029 |
1458,476 |
| |||||||||
|
1,7 |
0,2 |
8,8 |
17,21749 |
70,85418 |
4005,624 |
| |||||||||
|
5,5 |
5,9 |
82,6 |
81,34027 |
1,586919 |
110,4601 |
| |||||||||
|
2,3 |
5,7 |
69,4 |
68,83756 |
0,316342 |
7,2361 |
| |||||||||
|
3,5 |
9,8 |
116,3 |
109,8346 |
41,80188 |
1954,524 |
| |||||||||
|
2,3 |
6,7 |
77,7 |
77,8583 |
0,025059 |
31,4721 |
| |||||||||
|
2,6 |
6,5 |
81,2 |
77,05714 |
17,16328 |
82,9921 |
| |||||||||
|
3,5 |
4 |
70,5 |
57,51426 |
168,6295 |
2,5281 |
| |||||||||
|
8,9 |
4,5 |
88 |
80,07846 |
62,75086 |
253,1281 |
| |||||||||
|
0,6 |
1,2 |
16,4 |
22,5606 |
37,95303 |
3101,376 |
| |||||||||
|
4,5 |
6,2 |
78,5 |
80,70319 |
4,854053 |
41,0881 |
| |||||||||
|
6,1 |
3,1 |
59,4 |
58,08817 |
1,720892 |
161,0361 |
| |||||||||
|
7,8 |
7,9 |
112,7 |
107,0713 |
31,68172 |
1649,172 |
| |||||||||
|
|
|
|
∑= |
1000,057 |
14995,16 |
| |||||||||
|
a |
b2 |
b3 |
|
|
|
| |||||||||
|
9,729731 |
3,343302 |
9,020742 |
|
|
|
| |||||||||
|
|
|
|
R^2= |
0,933308 |
|
| |||||||||
|
Розв»яжемо задачу з усіма факторами :
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
X1 |
X2 |
X3 |
Y |
Yt |
(Y-Yt)^2 |
(Y-Ycp)^2 | |||||||||
|
4,8 |
3,2 |
5,3 |
65,8 |
66,20751 |
0,166065 |
39,5641 | |||||||||
|
7,5 |
1,5 |
7,7 |
85,4 |
84,6553 |
0,554584 |
177,1561 | |||||||||
|
6,9 |
3,6 |
7,2 |
86,9 |
86,37646 |
0,274091 |
219,3361 | |||||||||
|
8,3 |
1,5 |
8,7 |
93,5 |
93,27726 |
0,049615 |
458,3881 | |||||||||
|
9,2 |
8,2 |
9,5 |
99,8 |
123,2536 |
550,0727 |
767,8441 | |||||||||
|
4,4 |
3,7 |
4,1 |
62,4 |
59,89092 |
6,295494 |
93,8961 | |||||||||
|
3,5 |
3,5 |
3,4 |
52,6 |
51,74851 |
0,725028 |
379,8601 | |||||||||
|
3,3 |
0,4 |
2,9 |
33,9 |
38,12643 |
17,86269 |
1458,476 | |||||||||
|
1,2 |
1,7 |
0,2 |
8,8 |
19,36589 |
111,638 |
4005,624 | |||||||||
|
5,5 |
5,5 |
5,9 |
82,6 |
79,86133 |
7,500295 |
110,4601 | |||||||||
|
5,4 |
2,3 |
5,7 |
69,4 |
67,90037 |
2,248892 |
7,2361 | |||||||||
|
9,7 |
3,5 |
9,8 |
116,3 |
111,5389 |
22,66831 |
1954,524 | |||||||||
|
6,3 |
2,3 |
6,7 |
77,7 |
76,94916 |
0,563755 |
31,4721 | |||||||||
|
6,8 |
2,6 |
6,5 |
81,2 |
79,02557 |
4,728132 |
82,9921 | |||||||||
|
4,4 |
3,5 |
4 |
70,5 |
58,7144 |
138,9004 |
2,5281 | |||||||||
|
5 |
8,9 |
4,5 |
88 |
81,58543 |
41,14665 |
253,1281 | |||||||||
|
1,1 |
0,6 |
1,2 |
16,4 |
20,53947 |
17,13523 |
3101,376 | |||||||||
|
5,7 |
4,5 |
6,2 |
78,5 |
78,99823 |
0,24823 |
41,0881 | |||||||||
|
3,2 |
6,1 |
3,1 |
59,4 |
57,43112 |
3,87648 |
161,0361 | |||||||||
|
7,5 |
7,8 |
7,9 |
112,7 |
106,3542 |
40,26915 |
1649,172 | |||||||||
|
|
|
|
|
∑= |
966,9238 |
14995,16 | |||||||||
|
a |
b1 |
b2 |
b3 |
|
|
| |||||||||
|
7,628175 |
4,268353 |
3,27896 |
5,207277 |
R^2= |
0,935518 |
| |||||||||
Різниця між коефіцієнтами детермінації:
R2(3) –R2(2) = 0,935518 -0,933308 = 0,0022
Таким чином, добавка в модель фактора Х1 дає приріст коефіцієнта детермінації лише на 0,22 % .
ЗАДАЧА IIIЗадана статистична залежність результату У від факторів Х1 , Х2 , Х3,X4
|
Y |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
405 |
15 |
214 |
498 |
2572 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
482 |
18 |
220 |
542 |
2817 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
389 |
17 |
216 |
463 |
2639 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
489 |
22 |
243 |
501 |
2736 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
402 |
15 |
221 |
539 |
2543 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
418 |
22 |
229 |
471 |
2682 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
412 |
20 |
150 |
471 |
2682 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
457 |
21 |
225 |
492 |
2828 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
423 |
17 |
206 |
523 |
2593 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
495 |
19 |
180 |
463 |
2702 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
393 |
15 |
195 |
538 |
2627 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
432 |
18 |
204 |
483 |
2783 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
430 |
21 |
218 |
472 |
2532 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
451 |
17 |
207 |
542 |
2691 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
265 |
10 |
103 |
314 |
2693 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
|
Необхідно, використовуючи програму EXCEL 1) дослідити на мультиколінеарність 2)виключити один із взаємозалежних факторів 3)побудувати лінійне рівняння регресії з трьома факторами та оцінити його 4)побудувати лінійне рівняння регресії з повним набором факторів та оцінити його 5)порівняти одержані моделі | ||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо визначник матриці , використавши математичну | ||||||||
|
|
функцію МОПРЕД |
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||
|
|
|К|=∆r11= |
0,281009 |
|
|
|
| |||
|
Мала величина визначника вказує на сильну мультиколінеарність | |||||||||
|
Найбільша лінійна залежність між факторами Х2 та Х3 (r(x2x3)= 0,730056. | |||||||||
|
Так як r(YX2) більше r(YX3) , з моделі виключаємо х3. | |||||||||
|
Y |
X1 |
X2 |
X4 |
Yt |
(Y-Yt)^2 |
(Y-Ycp)^2 |
/(Y-Yt)/Y/ | |||||||
|
405 |
15 |
214 |
2572 |
402,1737 |
7,988117 |
319,2178 |
0,006979 | |||||||
|
482 |
18 |
220 |
2817 |
460,4173 |
465,814 |
3496,751 |
0,044777 | |||||||
|
389 |
17 |
216 |
2639 |
424,5323 |
1262,542 |
1146,951 |
0,091343 | |||||||
|
489 |
22 |
243 |
2736 |
490,1565 |
1,337542 |
4373,618 |
0,002365 | |||||||
|
402 |
15 |
221 |
2543 |
404,2725 |
5,164175 |
435,4178 |
0,005653 | |||||||
|
418 |
22 |
229 |
2682 |
468,9684 |
2597,776 |
23,68444 |
0,121934 | |||||||
|
412 |
20 |
150 |
2682 |
385,2942 |
713,1973 |
118,0844 |
0,06482 | |||||||
|
457 |
21 |
225 |
2828 |
482,2345 |
636,7809 |
1165,084 |
0,055218 | |||||||
|
423 |
17 |
206 |
2593 |
408,271 |
216,9448 |
0,017778 |
0,03482 | |||||||
|
495 |
19 |
180 |
2702 |
411,0084 |
7054,584 |
5203,218 |
0,16968 | |||||||
|
393 |
15 |
195 |
2627 |
392,8794 |
0,014538 |
892,0178 |
0,000307 | |||||||
|
432 |
18 |
204 |
2783 |
440,4065 |
70,67007 |
83,41778 |
0,01946 | |||||||
|
430 |
21 |
218 |
2532 |
430,8329 |
0,693661 |
50,88444 |
0,001937 | |||||||
|
451 |
17 |
207 |
2691 |
424,066 |
725,4422 |
791,4844 |
0,059721 | |||||||
|
265 |
15 |
103 |
2693 |
317,4876 |
2754,947 |
24921,88 |
0,198066 | |||||||
|
|
|
|
|
|
cyм |
сум |
| |||||||
|
|
|
|
|
|
16513,9 |
43021,73 |
0,877079 | |||||||
|
a |
b1 |
b2 |
b4 |
|
-264,2 |
5,169 |
0,92831 |
0,151701 |
|
|
|
|
|
|
R^2 =0,61615 Acp = 5,847 | |||
|
|
Розв"яжемо задачу з чотирьма факторами |
|
|
| |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
|
Y |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Yt |
(Y-Yt)^2 |
|(y-yt)/y| |
(Y-Ycp)^2 | |||
|
405 |
15 |
214 |
498 |
2572 |
386,3737 |
346,9401 |
0,045991 |
319,2178 | |||
|
482 |
18 |
220 |
542 |
2817 |
475,8157 |
38,24504 |
0,01283 |
3496,751 | |||
|
389 |
17 |
216 |
463 |
2639 |
391,6734 |
7,14712 |
0,006873 |
1146,951 | |||
|
489 |
22 |
243 |
501 |
2736 |
478,8855 |
102,3036 |
0,020684 |
4373,618 | |||
|
402 |
15 |
221 |
539 |
2543 |
409,7769 |
60,48038 |
0,019346 |
435,4178 | |||
|
418 |
22 |
229 |
471 |
2682 |
451,9642 |
1153,57 |
0,081254 |
23,68444 | |||
|
412 |
20 |
150 |
471 |
2682 |
429,6253 |
310,6514 |
0,04278 |
118,0844 | |||
|
457 |
21 |
225 |
492 |
2828 |
474,168 |
294,7404 |
0,037567 |
1165,084 | |||
|
423 |
17 |
206 |
523 |
2593 |
424,7899 |
3,203622 |
0,004231 |
0,017778 | |||
|
495 |
19 |
180 |
463 |
2702 |
418,0896 |
5915,216 |
0,155375 |
5203,218 | |||
|
393 |
15 |
195 |
538 |
2627 |
418,8521 |
668,3331 |
0,065782 |
892,0178 | |||
|
432 |
18 |
204 |
483 |
2783 |
432,3758 |
0,141249 |
0,00087 |
83,41778 | |||
|
430 |
21 |
218 |
472 |
2532 |
423,4704 |
42,63601 |
0,015185 |
50,88444 | |||
|
451 |
17 |
207 |
542 |
2691 |
449,6304 |
1,875733 |
0,003037 |
791,4844 | |||
|
265 |
15 |
103 |
314 |
2693 |
277,5062 |
156,406 |
0,047193 |
24921,88 | |||
|
∑ |
∑ |
∑ |
∑ |
∑ |
|
|
|
| |||
|
6343 |
272 |
3031 |
7312 |
40120 |
6342,997 |
9101,89 |
0,558997 |
43021,73 | |||
|
a |
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
|
|
| ||
|
-419,032 |
9,8376 |
0,0337 |
0,65436 |
0,126265 |
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
Ycp= |
422,87 |
R^2=0,788435 |
0,78844 |
|
Acp= |
3,726647 |
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
Знайдемо різницю між коефіцієнтами детермінації двух моделей | |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
R^2(4) -R^2(3) = 0,172285 |
|
|
|
| ||||