3. Действие магнитного поля на движущиеся

ЗАРЯДЫ И ПРОВОДНИКИ С ТОКОМ. РАБОТА СИЛ ПОЛЯ

Рассмотрим последовательно, как магнитное поле действует сначала на движущиеся заряды, затем на проводники с токами, в том числе и на рамку с током. В общем случае электромагнитное поле характеризуется векторами Е(r,t) – напряженностью электрического поля и В(r,t) – магнитной индукцией. Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле,

F = q E + q [ v,B], (3.3.1)

называется силой Лоренца. Квадратные скобки означают векторное произведение двух векторов v и B.

Выражение (3.3.1) справедливо как для постоянных, так и переменных электромагнитных полей. С магнитным полем связана та часть силы, которая проявляется только при движении заряда (см. второе слагаемое в выражении (3.3.1)), т.е.

F_m = q [v,B],

в скалярной форме:

F_m =q v B sin(v^В). (3.3.1΄)

Направление силы Лоренца можно определить по правилу векторного произведения, которому соответствует мнемоническое правило правой тройки: большой , указательный и средней пальцы правой руки надо расположить перпендикулярно друг другу; если направить большой палец по вектору v для положительного заряда (для отрицательного против v), указательный по вектору В, то средний палец покажет направление магнитной составляющей силы Лоренца F_m. Есть и другой способ - мнемоническое правило левой руки. Для q > 0 левую руку надо расположить так, чтобы линии вектора В входили в ладонь, четыре пальца направить по направлению вектора v (рис. 9). Тогда большой палец укажет направление силы Лоренца. Если q < 0, левую руку надо развернуть так, чтобы линии вектора В выходили из ладони.

Под действием силы Лоренца заряженная частица закручивается вокруг силовых линий поля: положительная частица – по часовой стрелке, отрицательная – против часовой стрелки, если смотреть навстречу силовым линиям поля.

Пример. Частица массой m, несущая заряд q, влетает в однородное мегнитное поле перпендикулярно линиям вектора В (рис. 10). Определить радиус окружности, период и круговую частоту заряженной частицы.

Решение. Магнитная составляющая силы Лоренца искривляет траекторию частицы, но не выводит ее из плоскости, перпендикулярной к полю. Абсолютная величина скорости не изменяется, сила остается постоянной, поэтому частица движется по окружности. Приравняв магнитную составляющую силы Лоренца к центробежной силе

qvB = mv² / R,

получим для радиуса частицы равенство

(3.3.2)

Период обращения частицы

. (3.3.3)

Круговая частота ω обращение частицы, то есть число оборотов за 2π секунд,

(3.3.3 ^΄ ).

Ответ : R = mv/ (qB); ω = qB/ m; для конкретного типа частиц период и частота зависят только от индукции магнитного поля.

Рис.9

Рис.10

Рассмотрим движение частицы, движущейся под углом < 90° к направлению линий вектора В (рис. 11). Определим шаг витка спирали h. Скорость v имеет две составляющие, одна из которых v_ = v cosβ,параллельна В, другая v_ = v sin β – перпендикулярна линиям магнитной индукции В.

При движении частицы вдоль линий В магнитная составляющая силы равна нулю, поэтому вдоль поля частица движется равномерно со скоростью

v_ = v cosβ.

Шаг витка спирали

h = v_Т = v Т соsβ.

Подставив выражение для T из формулы (1.3.3), получим :

(3.3.4)

Рис.11

На элемент проводника с током Idl в магнитном поле действует сила Ампера.

или в скалярной форме

dF = I dl B sinα, (3.3.5)

где α – угол между элементом проводника и магнитной индукцией.

Для проводника конечной длины необходимо взять интеграл :

F = I ∫ [dl, B]. (3.3.6)

Направление силы Ампера, как и силы Лоренца (см. выше), определяется по правилу левой руки. Но с учетом того, что четыре пальца здесь направляют вдоль тока.

Пример. Проводник в виде полукольца радиусом R = 5 см (рис. 12) помещен в однородное магнитное поле, силовые линии которого направлены от нас (изображены крестиками). Найти силу, действующую на проводник, если сила тока, текущего по проводнику, I = 2 А, а индукция магнитного поля В = 1 мкТл.

Решение. Воспользуемся формулой (3.3.6), учитывая, что под интегралом стоит векторное произведение, а значит, в конечном счете, векторная величина. Сумму векторов удобно находить, проектируя векторов – слагаемые на оси координат и складывая их проекции. Поэтому, решая задачу в скалярной форме, интеграл можно представить в виде суммы интегралов :

F = ∫ dF_i, F = ∫ dF_х + ∫ dF_у.

По правилу левой руки находим векторы сил dF, действующих на каждый элемент проводника (рис. 12).

Рис.12

Первый интеграл в правой части равен нулю, т. к. сумма проекций dF равна нулю, как следует из рисунка: из–за симметрии картины каждой положительной проекции соответствует отрицательная такой же величины. Тогда искомая сила равна только второму интегралу

F = ∫ dF_у = ∫ dF cosβ,

где β – угол между векторами dF и осью ОΥ, а элемент длины проводника можно представить как dl = R cos β. Так как угол отсчитывается от оси ОΥ влево и право, то пределами интегрирования будут значения – 90 ⁰ и 90 ⁰ . Подставляя dl в dF и решая второй интеграл, получим

F =

Численный расчет дает : F = 2 · 2 А ·10^-6 Тл · 0,05 м = 2 · 10^-7 Н.

Ответ: F = 2 · 10^-7 Н.

Закон Ампера дает выражение для силы, с которой взаимодействуют два бесконечно длинные параллельные друг другу проводника с токами, находящимися на расстоянии b друг от друга:

(3.3.7)

Можно показать, что проводники с токами, текущими в одну сторону, притягивается, и отталкивается в случае антипараллельного направления токов.

На рамку (контур) с током в магнитном поле действуют силы. Которые стремятся повернуть ее так. Чтобы магнитный момент Р_m рамки совпадал с направлением магнитной индукции. При этом вращающий момент М , действующий на контур площадью S с током I , равен

M = I S B sinα, (3.3.8)

где α – угол между магнитной индукцией и нормалью к рамке. В векторной форме

M = [ P_m, B].

Положение, в котором угол α = 0 ⁰. называют устойчивым равновесием, а положение с α = 180 ⁰ - неустойчивым равновесием.

Элементарная работа магнитного поля при повороте рамки на угол α

dA = I dФ,

а при повороте рамки на конечный угол, из положения 1 в положение 2 совершается работа :

А = I (Ф₂ – Ф₁), (3.3.9)

где Ф₁ и Ф₂ – магнитные потоки сквозь рамку в положениях 1 и 2.

Работа сил Ампера по перемещению проводника с током в магнитном поле :

А = I Ф, (3.3.10)

где Ф - магнитный поток через площадь, которую описывает проводник при своем движении.

Пример. Определить работу, совершаемую полем при повороте контура из положения р_m  В в положение устойчивого равновесия, а также работу, которую необходимо совершить для удаления контура, находящегося в положении устойчивого равновесия, в область, где поле равно нулю. Считать значения магнитного момента р_m и индукции поля В известными.

Решение. В первой половине вопроса речь идет о работе, совершаемой силами Ампера и определяемой по формуле (3.3.9) :

А = I (BS cos 0 ⁰ – BS cos 90 ⁰ ) = p_m B.

Во второй половине речь идет о работе внешних сил против сил Ампера. Поэтому она имеет знак “минус”. Первое положение здесь – это положение устойчивого равновесия, магнитный поток максимален, а во втором положении магнитный поток равен нулю. Тогда :

А = - I (Ф₂ – Ф₁) = -I (0 – ВS) = р_mВ.