Mathcad - ЛР4-1

, наблюдается движение

Задача 4.4. На экране радара, в плоской прямоугольной системе координат x0y

НЛО, перемещающегося по некоторой априори неизвестной траектории (x(t), y(t)) . Автоматизированная

система управления зенитно-ракетным комплексом, выполняет привязку к траектории НЛО с целью определения его тактико-технических характеристик и принятия решения к перехвату. К текущему моменту

времени радар зафиксировал четыре узла траектории НЛО (x(t0 ), y(t0 )) , (x(t1 ), y(t1 )) , (x(t2 ), y(t2 )) ,

(x(t3 ), y(t3 )) , полученные в последовательные моменты времени	t0 , t1 , t2 , t3 . Решив задачу
экстраполяции, спрогнозировать месторасположение НЛО (x(t4 ), y(t4 ))	в следующий момент времени t4

(задачи с подобной постановкой эффективно решаются в современных системах наведения зенитно-

управляемых ракет).
Порядок решения задачи:					Lx(t)		Ly(t) по
1)	Построить	интерполяционные		многочлены		и		таблицам	узлов
	(t0 , x(t0 )),(t1 , x(t1 )), (t2 , x(t2 )),(t3 , x(t3 )) и				(t0 , y(t0 )),(t1 , y(t1 )),(t2 , y(t2 )),(t3 , y(t3 ))
	соответственно.
2)	Рассчитать	прогнозируемую		точку появления НЛО		в	следующий	момент	времени
	(x* (t4 ), y* (t4 )) = (Lx(t4 ), Ly(t4 )) .						(Lx(t), Ly(t))	для t Î[t0 , t4 ] с
3)	Вывести график приближенной траектории движения НЛО
	шагом Dt =	t4 -t0	.
		100

Исходные данные:

Таблица узлов:

F :=
					0		1		2
	0					0		36			56
	1					2		36			52
	2					4		36			47
	3					6		36			40
	4					8		0			0
a := 0					b := 8
h := b − a						i := 0.. 3		x := F		1		y := F
		4						i	i ,			i	i , 2
æ36				ö		æ		56		ö
ç		36		÷		ç		52		÷
ç				÷		ç				÷	τi := F
x = ç36 ÷						y = ç		47		÷			, 0
ç		36		÷		ç		40		÷		i
ç				÷		ç				÷
è 2				ø		è2.01831563888873				ø

Решение задачи:

Lx(t) := L(τ,x,3,t)

Ly(t) := L(τ,y,3,t)

Вычисление значений интерполяционного многочлена в точке t4: на отрезке [a,b]:

Lx(8) = 36

Ly(8) = 30

Построение траектории НЛО:

	t :=	b − a		t := a,a + t.. b
		100
			60

50

Ly(t)

Ly(8) 40

30

30

32

34

36

38

40

Lx(t) , Lx(8)

Вывод: Решение данной задачи наглядно демонстирует возможность интерполирования функции, заданной в параметрическом виде.

Задача 4.5. Функция f (x) задана на отрезке [a,b]. Выполняется приближение функции интерполяционными многочленами Pn (x) (в форме Лагранжа или Ньютона) по различным системам узлов

(x0 , f (x0 )),(x1 , f (x1 )),...,(xn , f (xn )) , где a £ x0 < x1

< ... < xn £ b . Известно, что наименьшую

погрешность приближения Dn

( f (x)) = max ε n

(x) = max

f (x) - Pn (x)

можно обеспечить, если узлы

x [a,b]

x [a,b]

a £ x0

< x1 < ... < xn £ b строить по корням многочлена Чебышева степени n +1. В задании

предлагается сравнить погрешности приближений функции

f (x) на отрезке [a,b] интерполяционными

многочленами, построенными по различным системам узлов a £ x0 < x1

< ... < xn £ b .

Порядок выполнения задания:

1)

Построить интерполяционный многочлен Punif (x) по равноотстоящим узлам

n

a £ x

0

< x

< ... < x

n

£ b , где x = a +

b - a

×i , i = 0..n и графически оценить его

1

i

n

погрешность приближения Dunif ( f (x)) = max ε inif (x) = max

f (x) - Punif (x)

n

x [a,b] n

x [a,b]

n

2)Построить интерполяционный многочлен Pncheb (x) по узлам a £ x0 < x1 < ... < xn £ b , определяемым при помощи корней многочлена Чебышева степени n +1,

xi

=

a + b

+

b - a

×cos

(2 ×i +1) ×π

, i = 0..n , и графически оценить его погрешность приближения

2

2 ×(n +1)

2

Dcheb ( f (x)) = max ε cheb (x) = max

f (x) - Pcheb (x)

.

n

x [a,b] n

x [a,b]

n

3)Построить интерполяционный многочлен Pnrnd (x) по узлам a £ x0 < x1 < ... < xn £ b , где xi - выбираются попарно различными, случайным образом (при помощи датчика случайных чисел) на отрезке [a,b], и графически оценить его погрешность приближения

Drnd ( f (x)) = max ε rnd (x) = max			f (x) - Prnd (x)	.
n	x [a,b] n	x [a,b]	n

4) Сравнить полученные оценки погрешности приближения и сделать выводы.

Исходные данные:

a := -p

b := p

f(x) := esin(2x)

n := 11

Построение интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов:

h :=	b - a			i := 0.. n	xi := a + h × i	yi := f(xi)
	n
Погрешность интерполяции:
e1(z) :=			f(z) - L(x, y, 11,z)
Построение графика погрешности:
					b - a
j :=	0.. 100			tj := a +	100 × j
e1j	:= e1(tj)			max(e1) = 4.04369656383286

5
ε1(t j)
0
2	0	2
	t j

Построение интерполяционного многочлена для корней многочлена Чебышева:

a + b

b - a

é (2 × i + 1) × p ù

x

:=

+

× cos

2

2

2 × (n + 1) û

i

ë

yi

:= f(xi)

e2(z) :=

f(z) - L(x, y, 11,z)

e2j := e2(tj)

max(e2) = 0.330180710060514

5
ε2(t j)
0
2	0	2
	t j

Построение интерполяционного многочлена для случайных узлов:

x := sort(runif(n + 1, a,b))
yi := f(xi)
e3(z) := f(z) - L(x, y, 11,z)	e3j := e3(tj)	max(e3) = 130.009549211364

100
ε3(t j)
0	0	2
2
	t j

Вывод: Наименьшая погрешность интерполяции получается для случая узлов, являющихся корнями многочлена Чебышёва, наихудшая - для случайных узлов.