Теория некоторых методов - 2003 / теория метода секущих

Метод секущих

Пусть мы нашли отрезок (a,b), на котором функция F(x) меняет знак. Для определенности примем F(a)>0, F(b)<0 см. рисунок. В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения F(x)=0 принимаются значения c₀,c₁,… точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Сначала находим уравнение хорды AB:

(y-F(a))/(F(b)-F(a)) = (x-a)/(b-a)

Для точки пересечения ее с осью абсцисс (х=с₀, y=0) получим уравнение

с₀ = a - F(a)*(b-a)/(F(b)-F(a))

Далее сравнивая знаки величин F(a) и F(b) для рассматриваемогослучая, приходим к выводу, что корень находиться в интервале (a,c₀), так как F(a)F(c₀)<0. Отрезок (с₀,b) отбрасываем. Следующая итерация состоит в определении нового приближения с₁ как точки пересечения хорды AB₁ c осью абсцисс и т.д.

у

A

c₁ с₀ b

0. а c x

y=F(x)

B₁ B