РАНГ МАТРИЦЫ И МЕТОДЫ

ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЯ

Ранг матрицы

Определение. Максимальный порядок минора матрицы А, отличного от нуля, называется рангом матрицы и обозначается

rang (A) = r (A) = r.

Замечание. rang (A) ≤ min(m,n)

Методы вычисления ранга:

1.метод окаймляющих миноров;

2.метод элементарных преобразований.

Суть метода окаймляющих миноров

Состоит в переходе от ненулевых миноров 1-го порядка матрицы A к минорам более высокого порядка. Предположим, что среди миноров k-го порядка есть хотя бы один не равный нулю, а все миноры k+1-го порядка равны нулю, тогда ранг матрицы A равен k.

Свойства ранга матрицы:

1.Ранг матрицы не изменится при ее транспонировании.

2.Ранг матрицы не изменится, если поменять в ней местами две строки (столбца).

3.Ранг матрицы не изменится, если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на одно и тоже число.

4.Ранг матрицы не изменится при сложении (вычитании) в ней между собой двух строк (столбцов).

Определение. Преобразования, которые не меняют ранга матрицы, называются элементарными.

Определение. Матрица B называется эквивалентной матрице A, если она получена из матрицы A с помощью конечного числа элементарных преобразований и обозначается

A~ B или B ~ A.

Суть метода элементарных преобразований

С помощью элементарных преобразований (целесообразнее работать только со строками) приводим исходную матрицу A к эквивалентной ей матрице специального вида

– удобнее к матрице трапециевидной, у которой легко определить ранг.