МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ:
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
Матрица: |
|
|
... |
|
A a21 |
a22 |
a2n |
||
|
|
... |
... |
|
|
... |
... |
||
|
am1 |
am2 |
... |
amn |
Размерность матрицы: Am n
mколичество строк , nколичество столбцов
Элемент матрицы: aij
iномер строки , jномер столбца
ТИПЫ МАТРИЦ
Прямоугольная матрица
–матрица размерности m n (m n).
Матрица столбец |
Матрица |
строка |
– это матрица |
– это |
матрица |
размерности |
размерности |
|
m 1 . |
1 n. |
|
Нулевая матрица
матрица произвольной размерности, все aij = 0.
Квадратная матрица n-го порядка
– матрица размерности n n (m = n).
Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой aii 0, aij = 0 (i j).
Единичная матрица (Е) – диагональная матрица, у которой aii = 1.
Верхняя треугольная матрица (нижняя треугольная матрица) – квадратная матрица, у которой все элементы ниже (выше) главной диагонали равны нулю, а остальные ненулевые.
Симметрическая матрица – квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию aij=aji (i j).
Кососимметрическая матрица – квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условиям:
aii = 0, aij=-aji (i j).
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ:
сложение матриц;вычитание матриц;
умножение матрицы на действительное число;
умножение матрицы на матрицу;возведение матрицы в степень;транспонирование.
Сложение (вычитание) матриц
А + В = С (А – В = С),
где А, В – матрицы одинаковой размерности
и cij aij bij (i 1,2,..., m; j 1,2,...n)
Умножение матрицы на действительное число
∙А = А ∙ = С
где А – матрица произвольной размерности
И cij aij |
(i |
|
, j |
|
) |
1, m |
1, n |
Умножение матриц
А В = С
где матрица А – размерности |
m k, |
матрица В – размерности |
k n, |
матрица С – размерности |
m n, |
(количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В)
|
c a |
b |
a |
b |
|
a |
b |
(i |
|
, j |
|
) |
|
и |
1, m |
1, n |
|||||||||||
ij |
i1 |
1 j |
i2 2 j |
|
ik |
kj |
|
|
|
|
|
||
Формула и схема вычисления элемента c11 в случае А2 3 В3 3 = С2: 3
c a b |
a |
b |
a |
b |
||
11 |
11 |
11 |
12 |
21 |
13 |
31 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
A |
|
B |
|
1 |
3 |
||||
|
1 |
2 |
2 |
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Возведение матриц
встепень
АA A = Ak ,
где А – квадратная матрица,
в частности А A =A2,
А A A = A3
Транспонирование матриц 
Если матрица A – размерности |
m n , |
то Aт – размерности n m |
: |
|
|
a11 |
a21 ....... |
am1 |
|
|
|
|
a22 |
am2 |
|
T |
|
a12 |
|
||
A |
.... .... ..... |
... |
|
||
|
|
|
a2n .... |
amn |
|
|
|
a1n |
|
||