Определение. Фигуры – линии в пространстве и на плоскости, плоские области, поверхности в пространстве и пространственные тела. Обозначим фигуру Ω.

Определение. Определенным интегралом по фигуре (Ω) от заданной на ней функции f (P) называют предел, к которому стремится n-ая интегральная сумма при стремлении к нулю наибольшего из диаметров элементарных частей, на которые разбивается фигура.

Обозначают:	lim	n	f (P)d ,
		f (Pi ) i
	max d ( ) 0 i 1		( )

где ∫ – знак интеграла (от латинского слова Summa); (Ω) – фигура (область) интегрирования;

f (P) – подынтегральная функция;

f (P)d Ω – подынтегральное выражение.

В зависимости от вида фигуры, на точках которой задана функция, существует несколько типов определенного интеграла:

№

Виды

Вид области

Запись

интегралов

интегрирования

интеграла

1.

Линейный

Отрезок [а, в]

n

b

lim

f (Pi ) xi f (x)dx

интеграл

оси OX

max xi 0 i 1

a

2.

Криволинейны

Часть

n

й интеграл

кривой линии L

lim

f (Pi ) l i f (P)dl

max l

i 0 i 1

L

3.

Двойной

Плоская область D

n

f (P ) S

lim

0

f (x, y)dS

интеграл

max Si

i

i

i 1

D

4.

Поверхностны

Часть

lim

n

f (P )

f (x, y, z)d

й интеграл

поверхности q

max i 0

i

i

i 1

q

5.

Тройной

Объемное тело W

n

lim

f (Pi ) Vi

F(x, y, z)dV

интеграл

max Vi 0 i 1

W

Теорема о существовании определенного интеграла:

Если размеры фигуры (Ω) (отрезка прямой, плоской или объемной области) конечны, а функция, заданная на ней, непрерывна во всех внутренних точках и на ее границе, то на данной фигуре существует определенный интеграл от заданной на ней функции.

Линейный определенный интеграл

Определение. Предел интегральной суммы, найденный в
предположении, что длина наибольшего частичного интервала
разбиения отрезка [a, b] стремиться к нулю называют
линейным определенным интегралом (определенным
интегралом) и обозначают:		n	b
	lim	f (Pi ) xi f (x)dx .
	max xi 0 i 1		a

Замечаниеb . Линейный интеграл 1dx b

a

равен длине интервала [a,b].

Геометрический смысл определенного линейного интеграла

С геометрической точки зрения определенный линейный интеграл представляют собой площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями:

y = 0, х = а, х = b, у = f (x) .

S b f (x) dx

a

	b
Замечание. Линейный интеграл	1dx b a
равен длине интервала [a,b].	a

Основные свойства линейного определенного интеграла

(функции y = f(x) и y = g(x) – непрерывные н [a, b])

b		b	b
1. f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx ;
a		a	a
2. b	k f (x) dx k b	f (x) dx	, где k – действительное число;
a	a
b	c		b
3.	f (x) dx f (x) dx f (x) dx
a	a		c
	c [a,b]	действительное число;
	где –
b	a
4.	f (x) dx f (x) dx		;

a

b

5. Если f (x) ≥ 0 на [a, b] и a < b, тогда								b	f (x) dx 0 ;
					b			a
6.	Если f (x) ≤ g (x) на [a, b], то						f (x) dx b g(x) dx ;
					a				a
7.	Формула Ньютона – Лейбница:
			b f (x) dx F(x)				ba F(b) F(a)
			a
8.	Если	m min f (x)		и	M max f (x) ,
			x [a,b]				x [a,b]
			b
	тогда	m (b a) f (x) dx			M (b			a);
			a
9.	Теорема о среднем. Если функция у = f (x) – непрерывна на
	[a, b], тогда на этом отрезке существует хотя бы одна точка
	c (a,b)							b
			, что выполняется условие f (x) dx f (c) (b							a) .

a

Методы нахождения линейного определенного

интегралаВсе методы нахождения неопределенного интеграла справедливы и для линейного определенного интеграла, но необходимо воспользоваться формулой Ньютона – Лейбница, а в методах подстановки и интегрировании по частям есть свои особенности. Проиллюстрируем это следующими примерами.

ПРИМЕРЫ

1) 1

0

12

2)

5

3) 2

(4e6x 1	5		6	)dx ;
	5 x7
			3x 1

x2 dx ; 4 x

x ln 5xdx .

1