Элементы теории Демстера-Шейфера

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-Шейфера

Правила комбинирования свидетельств Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 1

После интервью четырех кандидатов на некоторую должность= f1; 2; 3; 4g 10 экспертов (N = 10) пытаются определить наиболее вероятного кандидата.

5 экспертов (c1 = 5) считают, что первый кандидат (A1 = f1g) является наиболее предпочтительным,

2 эксперта (c2 = 2) считают, что первый или второй кандидат (A2 = f1; 2g является наиболее предпочтительным,

3 эксперта (c3 = 3) выбирают третьего кандидата (A3 = f3g.

Получим

m(A1) = c1=N = 0:5; m(A2) = c2=N = 0:2; m(A3) = c3=N = 0:3:

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-Шейфера

Правила комбинирования свидетельств Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 1

Для первого кандидата (A = f1g)

Bel(A) = m(A1) = 0:5; Pl(A) = m(A1) + m(A2) = 0:7;

для второго кандидата (A = f2g)

Bel(A) = 0; Pl(A) = m(A2) = 0:2;

для третьего кандидата (A = f3g)

Bel(A) = m(A3) = 0:3; Pl(A) = m(A3) = 0:3:

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-Шейфера

Правила комбинирования свидетельств Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 2

Опрос экспертов по поводу будущей цены акций некоторого предприятия дал следующие результаты:

4 экперта (c1 = 4) предоставили интервал A1 = [30; 36],

1 эксперт (c2 = 1) интервал A2 = [28; 40],

5 экспертов (c3 = 5) предоставили интервал A3 = [34; 38].

Определим функцию доверия и правдоподобия интервала

A = [28; 32]. Так как N = c1 + c2 + c3 = 10, то базовые вероятности каждого интервала имеют следующий вид:

m(A1) = c1=N = 0:4; m(A2) = c2=N = 0:1; m(A3) = c3=N = 0:5:

Тогда

Bel(A) = 0; Pl(A) = m(A1) + m(A2) = 0:5:

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-Шейфера

Правила комбинирования свидетельств Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Замечание

Следует отметить, что определение m(Ai) = ci=N может быть использовано, когда количество наблюдений N достаточно большое. Однако это условие может часто нарушаться. Если N является малым, то результаты расчетов получаются слишком рискованными, чтобы им доверять.

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-Шейфера

Правила комбинирования свидетельств Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пусть в качестве статистических данных о случайной величине имеется множество наблюдаемых интервалов Ai, i = 1; : : : ; n, с ненулевыми базовыми вероятностями, определенными

m(Ai) = ci=N. Тогда можно вычислить нижнее и верхнее математические ожидания этой случайной случайной величины. Если случайная величина, то

		n
		Xi	(4)
E =		m(Ai) inf Ai;
		=1
		n
		Xi	(5)
E =		m(Ai) sup Ai;
		=1

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-Шейфера

Правила комбинирования свидетельств Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 3

Предположим, что имеются шесть экспертных оценок (N = 6) о возможных значениях случайной величины , характеризующей стоимость акций некоторой фирмы в условных единицах на следующий день, которая может меняться в интервале = [0; 10].

Три эксперта (c1 = 3) оценили интервал стоимости акций

A1 = [4; 5],

два эксперта (c2 = 2) предоставили интервал A2 = [2; 4],

и один эксперт (c3 = 1) предоставил интервал A3 = [1; 5]. m(A1) = 1=2; m(A2) = 1=3; m(A3) = 1=6 :

Нижняя граница ожидаемой цены акций равна

E = 12 4 + 13 2 + 16 1 = 2:833;

а верхняя граница ожидаемой цены акций равна

E = 12 5 + 13 4 + 16 5 = 4:667;

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-Шейфера

Правила комбинирования свидетельств Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пусть h( ) функция от случайной величины, тогда

	n
	Xi	m(Ai) x Ai	(6)
Eh( ) =
		inf h(x);
=1		2
	n
	Xi	2	(7)
Eh( ) =		m(Ai) sup h(x):

=1	x Ai

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-

Правила комбинирования свидетельств Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Основное отличие между распределениями вероятностей и базовыми вероятностями заключается в том, что первые определены на множестве значений , а вторые определены на множестве всех подмножеств множества P( ). Как следствие, базовые вероятности, функции доверия и правдоподобия имеют следующие свойства, отличающие их от элементов теории вероятностей.

1В теории Демпстера-Шейфера не требуется выполнения условия m( ) = 1. В теории вероятностей условие Pr( ) = 1 должно выполняться обязательно. Более того, если m( ) = 1, то семейство всех фокальных элементов есть F = f g, т.е. имеется единственный фокальный элемент и этим элементом является само множество . Это случай полного отсутствия какой-либо информации, и все возможные распределения вероятностей могут быть приписаны элементам множества . В рамках же теории вероятностей, согласно принципу максимума энтропии, для описания отсутствия какой-либо информации используется равномерное распределение на . Если имеется единственный фокальный элемент A , то m(A) = 1 и m( ) = 0.

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-

Правила комбинирования свидетельств Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

2В теории Демпстера-Шейфера не требуется выполнения условия m(A) m(B), если A B, и наоборот. В теории вероятностей данное условие должно выполняться обязательно. Более того, в теории Демпстера-Шейфера каждый фокальный элемент должен рассматриваться как объект сам по себе. Если выполняется неравенство m(A) m(B), то это лишь означает, что объект A имеет меньшую вероятность, чем объект B, но при этом совсем не обязательно выполнение условия A B.

3В теории Демпстера-Шейфера нет слишком жесткой связи между базовыми вероятностями m(A) и m(Ac), где Ac дополнение к A. В теории вероятностей всегда имеет место равенство Pr(A) = 1 Pr(Ac).

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-

Правила комбинирования свидетельств Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

В теории Демпстера-Шейфера аналогами основных свойств теории вероятностей являются следующие:

1Пусть fAi; i = 1; : : : ; ng множество всех фокальных элементов. Тогда выполняется условие

n

X

m(Ai) = 1:

i=1

2 Для любого события A выполняются условия

Bel(A) = 1 Pl(Ac)

и

Pl(A) = 1 Bel(Ac):

Д.В. Семенова

Лекция №8