Элементы теории Демстера-Шейфера

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Чтобы выполнить условие нормирования базовых вероятностей (сумма базовых вероятностей всех фокальных элементов равна 1), при дисконтировании добавляется базовая вероятность всего множества , т.е.

m ( ) = + (1 )m( ):

Фактически добавление ненулевой базовой вероятности – не меняет информации, имеющейся в распоряжении. Если эксперт говорит, что ¾любой элемент ¿ может быть ¾истинным¿ значением случайной величины, то он не дает никакой дополнительной информации.

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Замечание

Использование дисконтирования даже при очень малых значениях делает коэффициент K в правиле комбинирования Демпстера не равным 1 и, следовательно, позволяет всегда найти комбинированную оценку независимо от количества противоречивой информации.

Одной из причин этого факта является ненулевая базовая вероятность .

Содной стороны, оценка не дает никакой дополнительной информации.

Сдругой стороны, она размывает конечный результат и за счет этого делает его более осторожным.

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 5 I

Четыре предприятия = f1; 2; 3; 4g являются кандидатами для покупки акций

100 экспертов из первой группы считают, что необходимо покупать акции второго предприятия;

60 экспертов из первой группы считают, что необходимо покупать акции второго или третьего предприятия;

8 экспертов из второй независимой группы считают, что необходимо покупать акции первого.

1Первый источник: N1 = 160, c(1)1 = 100, A(1)1 = f2g,

m1(A(1)1 ) = 100=160, c(1)2 = 60, A(1)2 = f2; 3g, m1(A(1)2 ) = 60=160.

2 Второй источник: N2 = 8, c(2)1 = 8, A(2)1 = f1g, m2(A(2)1 ) = 1.

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 5 II

K = m1(A(1)1 )m2(A(2)1 ) + m1(A(1)2 )m2(A(2)1 ) = 1:

Следовательно, невозможно получить комбинированную оценку, используя правило комбинирования Демпстера.

Используем правило дисконтирования с учетом надежности источников. Так как первый источник содержит намного больше экспертов, чем второй, то можно считать его более надежным по сравнению с первым источником. Примем

1 = 1 160=168 = 0:048; 2 = 1 8=168 = 0:952:

Заметим, что вовсе не обязательно, чтобы сумма коэффициентов дисконтирования была бы равна 1.

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 5 III

Замечание

Подход для анализа коэффициентов дисконтирования, используемый в примере, основан на подсчете относительного соотношения количества оценок каждого источника. Этот подход не является строгим с математической точки зрения, но может применяться в тех случаях, когда нет никакой дополнительной информации о надежности источников.

m1 1 (A(1)1 ) = (1 1) 100=160 = 0:595;

m1 1 (A(1)2 ) = (1 1) 60=160 = 0:357; m1 1 ( ) = 1 = 0:048;

m2 2 (A(2)1 ) = (1 2) 1 = 0:048; m2 2 ( ) = 2 = 0:952:

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 5 IV

Теперь можно использовать правило комбинирования Демпстера, согласно которому

K = m1 1 (A(1)1 )m2 2 (A(2)1 ) + m1 1 (A(1)2 )m2 2 (A(2)1 ) =

= 0:595 0:048 + 0:357 0:048 = 0:046;

1 K = 0:954;

m 1 ( )m 2 (A(2))

m12(f1g) = 1 2 1 =

(1 K)

= 0:048 0:048 = 0:002; 0:954

m 1 (A(1))m 2 ( )

m12(f2g) = 1 1 2 =

(1 K)

= 0:595 0:952=0:954 = 0:594;

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 5 V

m 1 (A(1))m 2 ( ) m12(f2; 3g) = 1 2 2 =

(1 K)

= 0:357 0:952=0:954 = 0:356;

m 1 ( )m 2 ( )

m12( ) = 1 2 =

(1 K)

= 0:048 0:952=0:954 = 0:048

Следует отметить, что

m12(f1g) + m12(f2g) + m12(f2; 3g) + m12( ) = 1 :

Найдем функции доверия и правдоподобия для всех предприятий

Bel(f1g) = m12(f1g) = 0:002; Pl(f1g) = m12(f1g) + m12( ) = 0:05;

Bel(f2g) = m12(f2g) = 0:594;

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 5 VI

Pl(f2g) = m12(f2g) + m12(f2; 3g) + m12( ) = 0:998;

Bel(f3g) = 0; Pl(f3g) = m12(f2; 3g) + m12( ) = 0:404;

Bel(f4g) = 0; Pl(f4g) = m12( ) = 0:048:

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Теория Демпстера-Шейфера является достаточно мощным инструментом для моделирования неточности и неопределенности. Она позволяет моделировать полное отсутствие исходной информации. Функции доверия и правдоподобия некоторого события можно рассматривать как верхнюю и нижнюю границы вероятности этого события. С этой точки зрения теория Демпстера-Шейфера не является альтернативой теории вероятностей, а дополняет и обобщает ее.

Д.В. Семенова

Лекция №8

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-Шейфера

Правила комбинирования свидетельств Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение

Рассмотрим очень важный с практической точки зрения случай неточных или интервальных наблюдений или экспертных оценок состояний природы в задаче принятия решений.

При этом неточность может быть слишком существенной, чтобы заменить эти оценки некоторыми точечными значениями f!jg. Говоря о неточной оценке Ai состояний, предполагается, что состояние природы, которое реализовалось в действительности неизвестно, но это состояние находится в интервале Ai. Источниками таких оценок могут быть как экспертные суждения, так и статистические наблюдения. Одним из возможных математических аппаратов для решения задачи принятия решений в рассматриваемой ситуации является теория Демпстера-Шейфера.

Д.В. Семенова

Лекция №8