Розрахунки кіл змінного струму символічним методом.

1. Дії з комплексними числами.

2. Вираження синусоїдних величин комплексними числами.

3. Закон Ома. Комплексні значення опорів та провідностей.

4. Визначення повної потужності за комплексами напруги і струму.

5. Розрахунок простих електричних кіл змінного струму символічним методом.

6. Розрахунок складних електричних кіл.

Дом. завд. [1] ст. 273-283 зад. 15.4 повторити стор. 71-92

1. Комплексним числом називають алгебраїчну суму матеріального і уявного чисел.

Геометричне комплексне число зображують у вигляді вектора в системі матеріальній та уявній осей. Комплексне число має три форми запису:

а) алгебраїчну А=А'+jА"; А=-А'+jА''';

б) тригонометричну А== |А|(соs α± jsin α)

в) показову А= |А| е^±jα

де А - комплексне число; |А| модуль або

довжина вектора; е - основа натурального логарифму; α - кут між матеріальною віссю та відрізком, який зображує комплексне число.

Відлік кута α ведуть від матеріальної вісі проти годинникової стрілки, виражають у радіанах tg α = A”/A’.

Сполучені комплекси - відрізняються один від одного знаком перед уявною частиною, наприклад 6+j8 та 6-j8, або 20(соs 37°+jsin37°) та 20(соs37°-jsin37°);

10е^{+j 30°} та 10е^{-j 30°}.

Геометрична величина j - поворотний множник на кут π/2 проти стрілки годинника.

Додавання та віднімання двох комплексних чисел виконують тільки у алгебраїчній формі:

А=(6+j8)+(4+j3)⁼(6+4)+ j(8+3)=10+11j; А=(6-j8)-(4-j3)=(6-4)+j(-8+3)=2-j5

Множення та ділення двох комплексних чисел можливо виконувати як у алгебраїчній, так і у показовій формах.

Нехай А1=12-j16; А2=4+j3; при множенні:

А=(12-j1б)(4+j3)=48-j64+j36+48=96-j28 при діленні

A=(12-j16)/(4-jЗ)= (12-j16)*(4-jЗ)/(4+j3)* (4-j3)= (48-j64-j36+j² 48)/(4²+3²)=-j100/25=-j4

Нехай А1=20е^-j53°; А2=5e^j37°

При множенні А=20е^—j53°* 5е^j37° =20 *5е^{j(-53°+37°)}=100e^-j16

При діленні А=20е^-53°/5е^j37° =(20/5) е ^{-j(-53°+37°)}=4e^{-j 90°}

Зміна форми запису комплексного числа

1) Перетворення алгебраїчної форми у показникову

А=5е^j37°; ^А=|А|е^jarctgα

2) Перетворення показникової форми у алгебраїчну A=10e^-j37°

2. Синусоїдну функцію графічно можливо зобразити вектором, який обертається. Комплексне число також можливо зобразити вектором і визначити його модуль і фазу (аргумент - кут α), тобто будь яка синусоїдна функція може бути зображена комплексним числом.

При зображенні електричних величин комплексними числами усі формули, закони і методи розрахунків кіл постійного струму можливо застосувати для кіл змінного струму.

Напруга, виражена у комплексному вигляді, позначається великою літерою з крапкою над нею (), а її модуль тією ж літерою без крапки (U). Модуль комплексної напруги є діючим значенням напруги.

Якщо напруга u=Umsin (ωt+ψ), то вектор цієї напруги має довжину U= Um/, токут нахилу вектора до осі абсцис ψ. Цей вектор можливо виразити комплексним числом з модулем, який дорівнює діючому значенню, а аргументом - начальній фазі:

=Uе^jψ Якщо U = Umsin (ωt-ψ) , то =Uе^-jψ

Якщо U= Umsin ωt ,то =Uе^j0 =U

Переводячи цей вираз у алгебраїчну форму, отримаємо =Uе^jψ=U(соsφ+jsinφ)=Uсоsψ+jUsinψ, оскільки Uсоsψ =Uа, Usinψ=Up, то =Uа+ jUp

тобто матеріальна частина комплексного числа - це активна складова напруги, а уявна частина - її реактивна складова. Знак плюс у реактивної складової значить індуктивний, а знак мінус - ємнісний характер кола.

Усі вирази, виведені для напруги, можливо віднести і до струму, де - комплекс струму, І - модуль комплексу струму.

Фаза струму відносно напруги кола залежить від характера навантаження, тобто підключених до кача елементів.

Для rL - кола: u = Umsin ωt; і = Imsin (ωt-ψ); =Uе^j0 = U; = Іе^-jφ або І = Іa-j Iр

Для rС кола: u = Umsin ωt; і = Imsin (ωt+ψ); =Uе^j0 = U; = Іе^-jφ =Іa+j Iр

3. Повний опір у комплексній формі позначають великою літерою без крапки z, а його модуль - маленькою літерою z.

Якщо напруга і струм дані, то вираз для опору у комплексному вигляді можливо отримати згідно з законом Ома, що буде вірно при умові, що усі величини виражені комплексними числами.

Комплекс струму прямо пропорційний комплексу напругиі зворотно пропорційний комплексу опору Z: =/Z; z=/

Комплекс опору не залежить від початкової фази напруги та струму, а тільки від зсуву фаз між напругою та струмом. Якщо φ>0, коло має індуктивний характер, якщо φ<0 - ємнісний.

На практиці при розрахунках електричного кола з даними параметрами спочатку складають вираз для комплекса повного струму:

Активний елемент: z=r+jO

Індуктивний елемент: z=0+jXL

Ємнісний елемент: z=0-j Хс

Активний з індуктивним: z=r+jХ_L

Активний з ємнісним: z=r-jХс

Активний, індуктивний, ємнісний: z=r+j(Х_L-Хc)

Приклад: у коло з напругою =10е^-j16° підключені активний елемент з опором r=30 Ом та ємнісний з опором Хс=40 Ом. Визначити струм у колі (рівняння для миттєвого значення струму).

Розв'язання: z=r-jXc=30-j40; z= = 50 Ом; φ= агсtg 40/30=53°; Z=5Ое^-j53°;

= /Z = 10е^-j16°/50е^-j53° = 0,20e^j37°; і = 0,2* sin(ωt+37°)

провідність у комплексному вигляді позначають великою літерою Y без крапки, а модуль - маленькою у.

Y=1/Z

Для rL-кола: Y=1/Z=1/r+jx=( r-jx)/r²+x²= r/ r²+x²-j(x/ r²+x²)

Оскільки q= ;b = , тоY = q-jb = уе^-jφ

Для гС - кола: Y==q+jb= уе^-jφ

Приклад: дано r=4 Ом; Хс=3 Ом. Визначити комплекс повної провідності у алгебраїчній та показниковій формах:

Y = q+jb = =0,16+j0,12

Y = =0,2;φ = аrсtg = 37° Y=0,2е^j37°

4. Для отримання комплекса повної потужності у якому матеріальна частина є активною потужністю, а уявна - реактивною, необхідно помножити комплекс напруги на сполучений комплекс струму.

Якщо коло має активний r та індуктивний L елементи, та при =U струм =I*e^-jφ, то повна потужність =*, де - сполучений комплекс струму.

=*=U- I*e^jφ =UI(соsφ+jsinφ )= U*Iсоsφ + j*U*Isinφ=P+jQ

якщо коло має активний r та ємнісний С елементи, та =U; = І* е^jφ, то =*

=U*Ie^-jφ =UI(cosφ -jsinφ)=U* I cosφ- jUI sinφ =P-jQ

Приклад: визначити потужність кола, якщо = 10 e^j67°; =2е^j30°

= *= 10e^j67°* 2е-^j30° =20e^j(67-30)= 20е^j37° = 20 * cos37⁰ +j20sin 37° = 16+j12

5. Закони Кірхгофа у комплексній формі.

І закон: сума комплексів струмів, спрямованих до вузла, дорівнює сумі комплексів струмів, спрямованих від вузла, тобто алгебраїчна сума комплексів струмів, які сходяться у вузлі, дорівнює нулю.

II закон: у будь-якому замкненому контурі алгебраїчна сума комплексів е.р.с

дорівнює алгебраїчній сумі комплексів складів напруги у цьому контурі ∑Е = ∑z Послідовне з'єднання приймачів.

=z1+z2+z3 =(z1+z2+z3)= z

z=- комплекс повного опору кола дорівнює сумі комплексів опорів окремих ділянок.

Потужність окремих ділянок та повну потужність можна визначити:

= *;= *;= *;= *;

Повна потужність кола може бути визначена як сума потужностей окремих ділянок:

=++

Приклад: z1=6+j8; z2=2-j10; z3=-j4; = (120+j160) В. Визначити I,

Рішення:

z=z1+z2+z3 =8- j6=e^j37°=10e^-j37 = e^j37°=200e^j53

= /z=20e ^j90 A; =*= 200e^j53 * 20е^{-j 90} = 4000e^-j37° = (3200-j2400)В • А

Паралельне з'єднання приймачів

За першим законом Кірхгофа=++,

або , тобтоY=Y1+Y2+Y3;

1/z=1/z1+1/z2+1/z3

Комплекс повної провідності дорівнює сумі комплексів провідностей окремих ланцюгів.

=z1=z1=z1; ;

Комплекси струмів зворотно пропорційні комплексам опорів.

Повна потужність кола = *; Потужності окремих ланцюгів:=*;=*; =*

Змішане з'єднання приймачів

Необхідно, поступово перетворюючи, привести схему до одного вигляду:

послідовного або паралельного.

Розрахунок кіл змінного струму символічним методом повністю збігається з розрахунками кіл постійного струму, тільки усі електричні величини повинні бути виражені у комплексному вигляді і дії над ними повинні бути виконані за, правилами дій над комплексними числами.

6. Метод перетворення трикутника опорів у зірку і навпаки.

z_A=; z_B=; z_C=;

z_AB= z_A+ z_B+z_BC= z_B+z_C+z_AC= z_A+ z_C+

Метод вузлових напругUab=

Струми у ланцюгах=(-)/z₁;

=(-)/z₂; =( 0-)/z₃;

Метод вузлових та контурних рівнянь

Послідовність розрахунку:

1) складне коло умовно розбити на окремі прості контури;

2) для кожного ланцюга задати умовні напрями струму;

3) скласти вузлові рівняння, їхня кількість повинна бути на одиницю менша кількості вузлів;

4) недостатні до кількості невідомих рівняння скласти за другим законом Кірхгофа;

5) розв'язуючи отримані рівняння визначають струми;

Приклад: Визначити струми у ланцюгах методом вузлової напруги, якщо

= 60е^j37°; = 90е ^j37°; = 100е ^j37°; z1=6+j8; z2=3+j4; z3=6+j8

=;

Y1==0,06-j0,08=0,1e^{-j 53°} См Y2==0,12-j0,16=0,2e^{-j 53°} См

Y3==0,06-j0,08

Y1+Y2+Y3=0,06-j0,08+0,12-j0,16+0,06-j0,08=0,24-j0,32=0,4e^{-j 53°}

==85e^j37 ==-2,5e^-j16; =1e^-j16

==1,5e^-j16

I₁=-2,5 A;I₂=1A; I₃=1,5 A

i1=-2,5sin(ωt-16°);

i2=1sin(ωt-16°); i3=1,5sin(ωt-16°);

i1=3,25 sin(ωt-16°); i2=1,4 sin(ωt-16°);

і3=2,12 sin(ωt-16°);

Приклад

Скласти необхідну кількість рівнянь методом вузлових і контурних рівнянь.

++=0 +I₂+I₃+I₄=0

-=z1-z₂ -=z1-z₂

-=z₂-z₃ -=z₂-z₃

=z₃-z₄

Приклад: електричне коло, яке складається з послідовно з'єднаних резистивного (опором r=160 Ом) та ємнісного (опором Хс=120 Ом) елементів, живиться від мережі напругою U=70,5sin(ωt-74⁰). Визначити струм і потужність кола

Розв'язання:

Комплекс повного опору z = r-jх = 160-j120 = 200е^-j37°

Комплекс напруги =Um/е^jφ = 70,5/1,41е^-j74° = 50е^-j74° В

Струму колі = /z== 0,25e^-j37° А або =0,25(соs37⁰-jsin37⁰)=0,2-j0,15А .

і=0,25sin(ωt-37°) Повна потужність кола

= * І =50e^-j74° *0,25е ^j37° =12,5*e^j37° ВА

= 12,5(cos37°-sin 37°) = 10-j7,5 ВА тобто Р=10 Вт; Qс=7,5 вар; S=12,5 В А

-131-