- •§7. Однопорожнинний гіперболоїд
- •Властивості однопорожнинного гіперболоїда
- •§ 8. Двопорожнинний гіперболоїд
- •Властивості двопорожнинного гіперболоїда
- •§ 9. Еліптичний параболоїд
- •§ 10. Гіперболічний параболоїд
- •Властивості гіперболічного параболоїда
- •§ 11. Прямолінійні твірні на поверхні другого порядку
- •1. Прямолінійні твірні на поверхні однопорожнинного гіперболоїда
- •2. Прямолінійні твірні гіперболічного параболоїда
- •§ 12. Діаметральні площини поверхні другого порядку
- •§13. Центр поверхні другого порядку
§ 8. Двопорожнинний гіперболоїд
Означення. Двопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням
. (1)
Це рівняння називається канонічним рівняннямдвопорожнинного гіперболоїда, а відповідна система координат –канонічною системою координат.
Рівняння (1) можна записати і так:
(2)
Властивості двопорожнинного гіперболоїда
Двопорожнинний гіперболоїд не проходить через початок координат.
Двопорожнинний гіперболоїд не перетинається з координатними осями і, а вісьперетинає в двох точках, симетричних відносно початку координат. Ці точки називаютьсявершинами двопорожнинного гіперболоїда, а відрізок – йогодійсною віссю.
Двопорожнинний гіперболоїд симетричний відносно всіх координатних площин, координатних осей і початку координат, оскільки всі змінні входять у його рівняння в парних степенях.
Зрівняння (1) випливає, що, тобто, абоОтже, двопорожнинний гіпер-болоїд (1) розміщений зовні смуги, обмеженої площинами, і складається з двох симетричних частин (рис. 8.1).
Якщо двопороднинний гіперболоїд перетнути площиною ,, то в перерізі утвориться еліпс
,
або
,
розміри якого збільшуються із збільшенням .
Я
Рис.
8.1.
,
або
,
уявні осі яких паралельні до осі (рис. 8.1).
Аналогічною буде ситуація і тоді, коли поверхню перетнути площинами, паралельними до площини.
Конус, рівняння якого, також тісно пов’яза-ний з двопорожнинним гіперболоїдом (1). Як і у випадку однопорожнинного гіперболоїда, ці поверхні не перетинаються, наближаються одна до одної, коли, тільки тепер цей конус цілком містить в собі двопорожнинний гіперболоїд (рис. 8.2). Тому такий конус називаютьасимптотичним конусом двопорож-нинного гіперболоїда.
Рівняння ітакож задають двопорожнинні гіперболоїди, дійсні осі яких лежать на координатних осяхтавідповідно.
П р и к л а д.Знайти рівняння площини, паралельної до однієї з координатних площин, яка перетинає двопорожнинний гіперболоїдпо еліпсу з півосямиі 2.
Р о з в’ я з а н н я.
Рівняння шуканої площини , а рівняння її лінії перетину з двопорожнинним гіперболоїдом, або. За умовою задачі
звідки .
Отже, рівняння таких площин .
§ 9. Еліптичний параболоїд
Означення.Еліптичним параболоїдомназивається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням
. (1)
Це рівняння називають канонічним рівнянням еліптичного параболоїда.
З цього рівняння випливають такі властивості еліптичного параболоїда:
Еліптичний параболоїд проходить через початок координат, і це єдина точка, в якій він перетинає координатні осі.
Еліптичний параболоїд симетричний відносно координатних площин , оскільки разом з точкоюйого рівняння задовольняють точки,, симетричні відносно цих площин.
Еліптичний параболоїд симетричний відносно осі , бо ця вісь є лінією перетину його площин симетрії. Вісьназиваєтьсявіссю еліптичного параболоїда, а точка, в якій він перетинає цю вісь – вершиною.
Рис. 9.1
Якщо еліптичний парабо-лоїд перетнути площинами, паралельними до площини, то в перетині утворяться еліпси, або. Розміри цих еліпсів збільшуються із збільшенням(рис. 9.1).
Якщо еліптичний парабо-лоїд перетнути площинами , паралельними до площини, то в перетині утворяться параболи
, (2)
осі яких паралельні до осі .
Якщо перетнути площинами , паралельними до, то в перетині утворяться параболи, осі яких паралельні до осі.
Зокрема, в перерізі з площиною утвориться парабола
(3)
Координати вершини параболи (2) задовольняють рівняння (3). Тому еліптичний параболоїд може бути утворений в результаті руху параболи (2) , площина якої паралельна до площини, так, щоб її вершина рухалась по параболі (3), площина якої перпендикулярна до площин, в яких лежать перші параболи.
Зауваження: Якщо в рівнянні еліптичного параболоїда, тобто, то одержимо параболоїд обертання, який утворюється з параболи
шляхом її обертання навколо осі .
Якщо рівняння еліптичного параболоїда , то він розташований у іншому півпросторі відносно площини, ніж еліптичний параболоїд (1) (рис. 9.2).
Еліптичний параболоїд, заданий рівнянням , матиме своєю віссю вісь(рис. 9.3).
Якщо еліптичний параболоїд має рівняння, то його віссю буде вісь(рис. 9.4).
П р и к л а д.Знайти рівняння еліптичного параболоїда з вершиною в початку координат, вісь якого збігається з віссюі якому належать точкиі.
Р о з в ’ я з а н н я.
Оскільки віссю еліптичного параболоїда є пряма і абсциси точок на його поверхні додатні, то його канонічне рівняння має вигляд:
.
Підставимо координати даних точок у це рівняння і розв’яжемо систему:
Отже, шукане рівняння має вигляд
.
Відповідь: .