§ 10. Гіперболічний параболоїд

Означення.Гіперболічним параболоїдомназивається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням

. (1)

Це рівняння називається канонічним рівняннямгіперболічного параболоїда, а відповідна система координат –канонічною.

Властивості гіперболічного параболоїда

1. Гіперболічний параболоїд проходить через початок координат, і це єдина точка, в якій він перетинає координатні осі.

2. Гіперболічний параболоїд симетричний відносно координатних площин . Тому він симетричний і відносно осі, яка називається йоговіссю. Точка, в якій ця вісь перетинає гіперболічний параболоїд, називається йоговершиною.

3. Якщо гіперболічний параболоїд перетнути площиною , паралельно до площини, то в перерізі утвориться гіпербола

,

уявна вісь якої буде паралельною до осі , якщо, і до осі, якщо(рис. 10.1). Якщо ж, то перетином буде пара прямих, що перетинаються:, або

Якщо перетнути гіперболічний параболоїд площиною , паралельною до, то в перетині утвориться парабола

(2)

вітки якої напрямлені вниз (рис. 10.1).

Якщо гіперболічний параболоїд перетнути площиною , паралельно до площини, то в перетині утвориться парабола

вітки якої напрямлені вгору.

Зокрема, при перетині гіперболічного параболоїда площиною утвориться парабола

(3)

Координати вершини цієї параболи . Отже, вершина параболи (2) лежить на параболі (3).

Таким чином, гіперболічний параболоїд може бути утворений в результаті руху параболи (2), площина якої паралельна до площини , так, щоб її вершина “ковзала” по параболі (3), яка лежить у перпендикулярній площині.

Поверхня, задана рівнянням , також є гіперболічним параболоїдом, симетричним розглянутому відносно координатної площини.

Якщо гіперболічний параболоїд задається рівнянням або, то його віссю є пряма.

Якщо ж його рівняння чи, то віссю є пряма.

П р и к л а д.Записати канонічне рівняння гіперболічного параболоїда, який перетинає площину– по параболі, а площину– по параболі.

Р о з в’ я з а н н я.

Шуканий гіперболічний параболоїд перетинає по параболах координатні площини і, тому його віссю є пряма, а рівняння має вигляд

, де.

Перетин такої поверхні з площиною задається рівнянням

.

Співставляючи з умовою задачі, доходимо висновку, що . Аналогічно перетином з площиноює лінія, що задається рівнянням

,

звідки .

Отже, рівняння шуканої поверхні

,

або

.

Відповідь: .

§ 11. Прямолінійні твірні на поверхні другого порядку

Виявляється, що не тільки циліндричні і конічні поверхні можуть утворитися з прямих ліній. Такими властивостями володіють також однопорожнинний гіперболоїд і гіперболічний параболоїд.

1. Прямолінійні твірні на поверхні однопорожнинного гіперболоїда

Розглянемо однопорожнинний гіперболоїд, заданий канонічним рівнянням

. (1)

Перетворимо це рівняння таким чином:

;

. (2)

Розглянемо тепер дві сім’ї прямих, заданих системами рівнянь

(3)

і

(4)

де – довільне дійсне число.

Кожна з цих прямих повністю лежить на поверхні (1). Дійсно, якщо координати деякої точки задовольняють систему (3), то, перемноживши рівності цієї системи, одержимо рівняння (2), а, отже, і рівняння (1). Таким чином, довільна точка прямої (3) лежить на поверхні (1).

Аналогічно і будь-яка точка прямої (4) лежить на поверхні (1).

Таким чином, сім’ї прямих (3), (4) повністю лежать на однопорожнинному гіперболоїді. Вони називаються прямолінійними твірнимицього гіперболоїда.

Ці твірні мають такі властивості:

1. Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходить одна і тільки одна твірна з кожної сім’ї.

Д о в е д е н н я.

Нехай – координати деякої точки однопорожнин-ного гіперболоїда, тоді

,

звідки

. (5)

Виберемо тепер параметр так, щоб ця точка належала першій з площин системи (3). Для цього розв’яжемо рівняння

(6)

Поділивши почленно (5) на (6), дістанемо

.

Отже, дана точка належить і другій площині системи (3). Таким чином, яка б не була точка , що лежить на однопорожнинному гіперболоїді, параметрзавжди можна вибрати так, щоб координати точки задовольняли систему (3). Причому цей параметр визначається із рівняння (6) однозначно.

Отже, через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходить єдина пряма із першої сім’ї.

Аналогічно доводиться це твердження і для другої сім’ї твірних.

2. Будь-які дві твірні однієї сім’ї не перетинаються і не паралельні, тобто є мимобіжними.

Д о в е д е н н я.

Дійсно, ці прямі не можуть перетинатися, бо інакше через точку їх перетину проходило б дві твірні однієї сім’ї, що суперечить властивості 1.

Ці прямі не можуть бути і паралельними. Щоб переконатися в цьому, покажемо, що напрямні вектори прямих (3) при різних значеннях параметра інеколінеарні.

Знайдемо координати напрямного вектора прямої (3). Перепишемо систему (3) у вигляді:

Напрямним вектором даної прямої є

.

Напрямні вектори двох прямих із цієї сім’ї, що відповідають параметрам і, такі:

,

.

Перевіримо, чи можуть бути вони колінеарними. Прирівнявши відношення відповідних координат, матимемо:

Отже,тоді і тільки тоді, коли. Якщо жто. Це і доводить, що прямі непаралельні. Отже, вони мимобіжні.

3.Довільні дві твірні різних сімей перетинаються або паралельні.

Д о в е д е н н я.

Розглянемо дві довільні твірні з різних сімей, при цьому нехай твірній із першої сім’ї відповідає параметр , а з другої –. Щоб з’ясувати питання про перетин цих прямих, необхідно дослідити систему рівнянь

Оскільки одне з рівнянь системи є наслідком трьох інших (наприклад, 4-е рівняння утворюється внаслідок почленного множення перших двох рівнянь і ділення на відповідні частини третього рівня), то дослідимо систему з трьох перших рівнянь

або

Визначник цієї системи

.

Якщо , то. Отже, система має єдиний розв’язок, а значить, прямі перетинаються.

Якщо , то, а самі прямі паралельні.

Т

Рис. 11.1

аким чином, однопорож-нинний гіперболоїд є лінійчатою поверхнею (рис. 11.1). Ця властивість широко використо-вується в будівельній техніці. Відомий російський інженер Володимир Григорович Шухов запропонував конструкцію з металевих балок, розміщених так, як прямолінійні твірні одно-порожнинного гіперболоїда обер-

тання. Ці конструкції виявилися дуже міцними і легкими. Вони часто використовуються при будівництві водонапірних башт, високих радіо і телещогл.