7.11 Силы притяжения между нейтральными проводниками (силы Казимира)

Свободная энергия газа фотонов и его давление вычисляются так же, как для газа фононов, только зависимость собственных частот от объема оказывается иной.

³⁸Точнее говоря, величина 7 определяется усреднением по продольным и поперечным звуковым колебаниям.

Для линейной цепочки при циклических граничных условиях u>_s = J ^ sin ^, вместо ^г следует подставить jfjfc; т.к. ^р- = || = — ^f, получаем (/) = ^ ^2Ни>_ап_а, что совпадает, естественно, с

результатом, полученным в начале раздела.

86

В частности, в объеме V = L³, ограниченном идеально проводящими стенками, для каждой моды собственных колебаний, определяемой вол­новым вектором и поляризацией, частота ш_а ос У"¹'³, так что (jw) = —7^. (В отличие от газа фононов, нелинейные поправки к делу отноше­ния не имеют.)

где среднее число фотонов моды а

1 1

^а 2 ехр (-Пша/Т) - V энергия

В результате мы вновь получаем соотношение Р = E/3V, но на этот раз энергия включает в себя и энергию нулевых колебаний электромаг­нитного поля. Набор частот ш_а включает в себя сколь угодно высокие частоты, поэтому выражение (1) представляет собой расходящуюся сум­му. Вклад нулевых колебаний в энергию оказывается бесконечным. Этот факт можно было бы рассматривать либо как проявление незавершен­ности современной теории, либо как следствие некорректной постановки вопроса. В частности, следует отказаться от представления об идеально проводящих стенках. Для электромагнитных волн высоких частот стен­ки становятся прозрачными и величина \-gy) обращается в нуль. Таким образом, для давления вопрос о расходимости снимается.

Однако вопрос о бесконечной энергии в данном объеме остается. Од­на из возможностей "спасти" теорию — признать, что в этом случае речь идет о величине, которая не могла бы быть измерена (в отличие от дав­ления)³⁹.

Возможным казалось и такое спасение от появления в теории непри­ятной расходимости: сместим начало отсчета энергии электромагнитных

³⁹ Можно было бы смотреть на энергию нулевых колебаний как на источник добавочного грави­тационного поля, которое все-таки может наблюдаться. Так ли это, до сих пор не ясно. Попытки избавиться от бесконечного гравитационного поля стали одной из причин, приведших к представ­лению о так называемой суперсимметрии. Есть и другие варианты развития теории, связанные, например, с представлением о квантовании пространства на предельно малых расстояниях.

Во избежание недоразумений отметим, что в современных теориях существуют общепринятые способы исключать бесконечные величины. Однако в промежуточных построенях "бесконечности" остаются.

87

колебаний и примем, что нулевых колебаний вообще не существует. Та­кой подход оказался ошибочным. Нулевые колебания электромагнитно­го поля были обнаружены экспериментально. Первоначально это был эксперимент, связанный с наблюдением влияния нулевых колебаний на спектры атомов ("лембовский сдвиг"). Немного позже для проверки ре­альности нулевых колебаний электромагнитного поля было предложено наблюдать силы, действующие на проводник (Казимир, 1948).

Если электромагнитное излучение находится в области пространства, включающей проводящие и диэлектрические тела, то частоты собствен­ных колебаний электромагнитного поля зависят от формы и расположе­ния этих тел. Пусть форма и положение тел задаются параметрами Л, так что ш_а = о;_а(Л). Соответствующая параметру Л обобщенная сила, действующая на среду со стороны фотонного газа, равна Л = — (§f)_T-

Будем рассматривать электромагнитное поле в щели между полупро­странством, заполненным проводником, и плоским слоем проводника, на­ходящимся от него на расстоянии I.

Для низких частот колебаний можно считать проводник идеальным, а для очень высоких — прозрачным. Для низких частот

?, . = 1,2,3,..., (П)

где к± — двумерный вектор (в плоскости, параллельной границе слоя). Давление электромагнитного поля на поверхность проводника

.«)

s=l

где множитель R[co) отражает указанные выше свойства проводника:

^{

При U! —> О, При U! —> СЮ,

т.е. зависит от частоты примерно так же, как коэффициент отражения света. Наличие этого множителя гарантирует отсутствие расходимости при высоких частотах.

".ГЛОТ,™ _____

В интеграле (3) подставим % = —| (согласно (2)):

88

Переходя от суммирования по s к интегрированию по dk_z = (тг/l)ds, (ds = 1) и учитывая, что hk_z = p_z, ck_z/u) = v_z, получим, разумеется

Ро= J ^^пИ«_г2_РгДИ, (14)

v_z>0

т.е. уже известное нам давление фотонного газа. Такое давление дей­ствует на слой со стороны свободного полупространства. Разность АР = Pq — Р определяет силу притяжения слоя к полупространству, заполнен­ному проводником. Для дальнейших расчетов удобно в интеграле (4) после интегрирования по углу (d?k± —> 27rk±dk±) перейти от переменной к± к переменной со = со(к±, s)

00

² I n(u)R(u)du. (15)

cns/l

Рассмотрим сначала случай низких текператур, когда для существен­ных в задаче частот можно рассматривать только нулевые колебания: п = 1/2. Уловить отличие интеграла

00 00

_I²₁

^р_°⁼ _{~^р I}^dss2₁

О c-ks/1

от суммы ряда позволяет формула формулу Эйлера - Маклорена:

⁰⁰ оо

/111 1

= -/(0) + £ /(.) + -/'(0) - -/«(О) +

О ^s=1

Отлично от нуля только слагаемое с третьей производной, так что

Именно эту величину и измеряли экспериментально. Условие применимо­сти приведенного расчета (Г <С hu)_s) сводится к соотношению Т <С Нс/1. В одном из недавних экспериментов была достигнута точность око­ло 5%. Измерения проводились при I ~ 1 мкм. Одним из главных ис­точников ошибок была трудность параллельной установки поверхностей проводников. Эту трудность обошли, придав одной из поверхностей сфе­рическую форму. Учитывая, что радиус кривизны велик, R^$> I, можем

89

принять, что измеряемая сила вблизи каждой точки поверхности пропор­циональна (I + z)~⁴, где z = p²/2R, p — расстояние вдоль плоскости от точки наибольшего сближения со сферой. Сила притяжения получится заменой в (8) величины 1~⁴ на

2ttR

Впротивоположном предельном случае — случае высоких температурподставим п = Т/Ни.

S -L /7

cns/l

В этом случае отличие интеграла от суммы дает формула Абеля Плана:

Предполагается, что f(z) не имеет полюсов, достаточно быстро убывает при z —> сю и принимает действительные значения на действительной

оси⁴⁰.

Существенен только вклад низких частот в АР, поэтому роль множи­теля R(co) сведется к замене верхнего предела интеграла на некоторую большую величину ш_тах. Тогда

Im

s² f

^С™1¹ / _S=iy_}

В итоге

= Im {-у² log ^W) = f у.

⁴⁰Для вывода этой формулы рассмотрим J ctg(nz)f(z)dz, где С - контур с вершинами

с

(X,iY),(O,iY),(O,—iY),(—X,—iY), причем X —> оо,У —> оо; (точка z = 0 обходится по полу­окружности радиуса е, е —> 0). Следует выразить интеграл через вычеты в полюсах ctgnz, a также преобразовать его, представив ctgnz в верхней и нижней полуплоскостях z в виде ctgnz =

^(гп^ + i).

Заметим также, что представив f(z) в виде ряда по z, мож^но отсюда получить формулу Эйлера - Маклорена.

90

Расчет силы притяжения между полупространствами, заполненными диэлектриками с заданными значениями диэлектрической проницаемо­сти, е(и)_: при известной температуре можно найти в книгах [4, 13]. Есте­ственно, это расчет заметно более сложный.

8 Неидеальные газы