- •Механика твердого тела
- •4.1. Момент инерции
- •4.2. Кинетическая энергия вращения
- •4.3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
- •4.4. Момент импульса и закон его сохранения
- •4.5. Сила тяжести и вес. Невесомость
- •Механические колебания
- •5.1. Гармонические колебания и их характеристики
- •5.2. Механические гармонические колебания
- •5.3. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники
- •5.4. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения
- •5.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •5.6. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний. Автоколебания.
- •5.7. Вынужденне колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.
- •5.8. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс
- •6. Элементы механики жидкостей
- •6.1. Давление в жидкости и газе
- •6.2. Уравнение неразрывности
- •6.3. Уравнение Бернулли и следствия из него
5.4. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты
,
воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды.
Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 29). Так как векторы A1 и A2 вращаются с одинаковой угловой скоростью о, то разность фаз (2-1)
между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет:
. (5.21)
Рис. 29 |
В выражении (5.21 ) амплитуда А и начальная фаза соответственно задаются соотношениями , . (5.22)
|
Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.
Проанализируем выражение (5.22) в зависимости от разности фаз :
1) , тогдаА=А1+А2, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;
2) , тогда, т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.
Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих двух колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны и + причем . Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:
Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе , найдем
. (5.23)
Получившееся выражение есть произведение двух колебаний. Так как , тo сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменяется, когда сомножитель cost совершит несколько полных колебаний. Поэтому резуль-тирующее колебание х можно рассматривать как гармоническое с частотой , амплитуда которого изменяется по следующему периодическому закону:
. (5.24)
Частота изменения Аб в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний: =. Период биений . Характер зависимости (5.23) показан на рис. 30, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (5.23), а огибающие их - график медленно меняющейся по уравнению (5.24 ) амплитуды.
Определение частоты тона биений между эталонным и измеряемым колебаниями - наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.