Сборник_ТЗ

Виконаємо перевірку,			підставимо			отримані			значення,
3 · 1 2 2 · 2 3 2 4 9; 9 9
наприклад, в перше рівняння системи:
	1;		2; 2						.
Відповідь:						.
2. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь
методом Гауса: 2 5				4 -			23
	,	6		2 -			3
		5	2 3		-		1
Розв’язання.		3 3 2 4 -					1
		Для	зручності	запису скористаємося

розширеною матрицею (1.18) і виконаємо елементарні

перетворення, а саме: поміняємо місцями перший та другий
рядки;2 5		1				4				23
.	1 1	6		2					0		3
! /5 2 3						1					1		1~
	3 3	2		4						1
помножимо перший рядок на																				та додамо його
1 1 6 2								3				2 , 5 , 3
до другого, третього,						четвертого рядків відповідно															;
2	5 1			4			23
~ /5 2 3 1 0																		~
								1 1
помножимо другий рядок на															3 та додамо до третього рядка, а
3	3 2		4			1
1 1 6 2										3				3			1 1		6		2	3
																	0 3 13 8					17
четвертий рядок скоротимо на															2;				7			33
0	3 13			8					17							6							:
~ /0 7 33 11														~			0 0					8		· 3~
								0 141								5
0 0 16					2				10				на: 23,				0 0		8		1	59
помножимо третій					рядок											щоб позбутися					знаменників;

поміняємо місцями третій та четвертий рядки; помножимо
третій рядок на 7	;- і додамо до четвертого рядка;
	41

	1 1						6 2						3					1 1 6 2													3
/	0 3 13 8									0	17							0 3 13									8				17				;
	0			0	190				89		77			1~ / 0								0	8				1			0 51						-	~
	0			0		8			1		5							0				0	190				89				77			3 .
			1 1				6		2				3									1 1 6							2
~	6		0 3 13 8										17		:				~/			0 3 13									8		0	17
			0 0 8 1							8 5
																	<					0	0			8					1			5		1
	5 0 0							0	<			3			9 :
					,				-				-					-				0 0				0					1			3
Нагадаємо						що першому стовпцю відповідають коефіцієнти при
невідомому						,		другому					–	при			,			третьому				–	при			,			четвертому
–	при			.
				-Отже, з четвертого рядка розширеної матриці отримаємо
невідоме :																													-
		:																		.											обчислимо
З		третього рядка, після											підстановки знайденого
															- 3
				8 - 5; 8 3.																		5; 8 8;
			3		13 8 - 17;													3 13 · 1 8 · 3 17
З другого,					відповідно –						:				1																			;
І, нарешті,							:		2 6 · 1. 2 · 4 3;
																		2
																		Для			цього підставимо												отримані
				Виконаємо перевірку. 1																						23 23
				2 · 1 5 · 2									1 4.· 3 23;
значення невідомих у перше рівняння системи:
				Відповідь: 1,												2,						1,			- 3.							.
				Ми отримали тотожність

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а) 3 2 4 0	б) 4 2 2 0
2 4 0	14 9 7 0
	42

	Розв’язання: Для розв’язку однорідних систем будемо
посилатися до теореми 1.4.										.
		5	2	1
а) Обчислимо визначник системи:
∆ 3 2 4 40 16 3 4 20 24 53 = 0
Отже,	ранг		матриці			системи дорівнює		трьом	,	а за
		2	1	4				має		лише
теоремою			4.1	відповідна однорідна				система > ?
					0		.
тривіальний розв’язок						. 0
	Відповідь:				5
		3	1							.
б) Обчислимо визначник системи:
∆		4	2		2	42 28 180 140 54 28 0
		14 9 7
	Ранг матриці менший 3 (кількості невідомих), тому за

умовою теореми 1.4 така система має нетривіальний розв’язок.

3 5 0 .

Виключимо із системи, наприклад, третє рівняння:

через A:

A

,

4 2 2

0

A

3 5A .

і

Положимо

де@

-довільне дійсне число. Виразимо

3

1

;

∆ +4 2+ 6 4 2;

Розв’яжемо отриману

систему@

за формулами Крамера

:

4 2 2A

∆

+ 5A 1+ 10A 2A 8A

2A

2

.

3

5A

6A 20A 14A

∆

+

:+

4

2A

4A;

∆∆

B

Остаточно маємо

, де

.

∆

: 7A

∆

-B

.

A

A C D

Відповідь

4A; 7A;

43

Завдання 2.1

1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

	3 5 7 58		б) матричним методом.
	2 2 5 24		а) за правилами Крамера;
2. Розв’
	язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом
Гауса:		3 4 2- 12
	,	2	5- 10
		5	4- 18
		2 2 7 - 29

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а)			5	0			б) 4 5 3 0
	7		6	3 0				2 2 6	0
				Завдання 2.2
1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
		4 6 36					б) матричним методом.
		5 ’ 3 4 35					а) за правилами Крамера;
2.								алгебраїчних рівнянь
	Розв язати систему					лінійних
	методом Гауса: 4				2			5- 1
				2	2 4 - 3
				, 3 2				- 11
				3	3 4- 2

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а)						б)
		9		0			4 3 2 0
		6 5 2 0			44		2		0

Завдання 2.3

1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

	6 27		б) матричним методом.
	3 ’ 2 4 3		а) за правилами Крамера;
2.
	Розв язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь
		5 4- 8
	методом Гауса:		4 2- 3
	,	3
		5 2 2 - 8
		2	2 3- 9

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а)					б)
	6 53 42 00					32 24 00
				Завдання 2.4
1.	Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
	2 4 5 0				а) за правилами Крамера;
2.	3	’ 7	6 39		б) матричним методом.
	Розв язати		систему лінійних				алгебраїчних		рівнянь
	методом Гауса:2			5			- 18
			5	2	4		- 19
			, 3		2		- 3
				2			5- 3

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а)					б)
	3 4 5 0					12 6 23 0
	8		4	0	45	2 4 3		0

Завдання 2.5

1.	Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
	5 3 4 39 б) матричним методом.
	2 ’ 3 2 23		а) за правилами Крамера;
2.				алгебраїчних рівнянь
	Розв язати систему	лінійних
	методом Гауса:6 2 2-				20
	3		2	4-	9
	, 4 3 - 7
	2	5 3- 3

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а)				0			б)
	2 7 6							16 2 0
	4 4			0					4 2			0
					Завдання 2.6
1.	Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
	5 4 32						б) матричним методом.
	7	’ 4 3 24					а) за правилами Крамера;
2.									алгебраїчних			рівнянь
	Розв язати		систему			лінійних
	методом Гауса: 6				3 - 0
			,	2	2 5 2- 35
				3	5 5- 6
					2				2- 5

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а)			б)
	4 5 2 0			3 5 0
	3 5 0		46	2 4 0

Завдання 2.7

1.	Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
	2 4 7 1	б) матричним методом.
	8’ 4 3 51	а) за правилами Крамера;
2.			алгебраїчних рівнянь
	Розв язати систему лінійних
	методом Гауса: 2	4	- 5
	5		4- 32
	, 3 2 2 - 3
	4 5- 16

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а)	2 0	б) 2 3 0
	9 9 0	2 3 0
	Завдання 2.8
1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
	5 3 4 43	б) матричним методом.
3 2 7 45		а) за правилами Крамера;

2. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

методом Гауса: 2 2 4 5- 11 , 3 3 - 8

5 2- 27 2 - 4

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а) 2 9 0		б) 2 2 5 0
5 7 3 0	47	3 0

Завдання 2.9

1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

	7 4 43 б) матричним методом.
	3 6 8	а) за правилами Крамера;

2. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

методом Гауса: 3 2 - 2 , 3 2 - 21

6 5 4 3- 11 2 2 3 3- 12

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а)				0	б)
	2	11				2	3 2 0
	4	4	3	0		4 2 0

Завдання 2.10

1.	Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
	5 4 28			б) матричним методом.
	’3 6 4			а) за правилами Крамера;
2.						алгебраїчних рівнянь
	Розв язати систему лінійних
	методом Гауса:		5	3	- 13
	,	3	4		5- 5
		2 3 4 - 7
		5 6				4- 10

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а)			0		б)				0
	9 2 7					2	5
	5 4		0	48		4		0

Завдання 2.11

1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

2 3 4 15	б) матричним методом.
7 2 33	а) за правилами Крамера;

2. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

методом Гауса:3 2 2 7- 15 , 35 4 6-- 334

2 3 5- 13

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а)					0	б)
		5 4					3 4 0
		2 2			0			2	0
					Завдання 2.12
1.		Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
		5 6 35				б) матричним методом.
		3 2 7 30				а) за правилами Крамера;
2.
		Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь
		методом Гауса: 2 3 5 2- 1
			,		6	4	5- 3
				4 2 5 - 15
					3		3- 16

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а)					0		б)
		2 7							2	5 0
		2 5 3 0				49		31 4 0

Завдання 2.13

1.	Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
	3 6	8 63 б) матричним методом.
	2 ’ 9 3			а) за правилами Крамера;
2.					алгебраїчних рівнянь
	Розв язати	систему лінійних
	методом Гауса:8 2				5- 19
		,	3 2 4		- 13
			3 3		4- 7
			2 6 - 20

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а) 5 9 0	б) 2 5 0
4 3 0	13 4 4 0

Завдання 2.14

1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

4 5 2 19 б) матричним методом.
9 5 14	а) за правилами Крамера;

2. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

методом Гауса: 2 6 3 - 8 , 3 2 4- 3

2 5 3 2- 62 5- 17

3.Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а)			0	б)				0
	2 4				4	4
	4	2 3	0	50	3 2 2 0