Пособие_ВМ_для_менеджеров
.pdf
|
|
|
|
1.2. |
|
МАТРИЦІ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1.2.1. |
Основні визначення |
|
|||||||||
Визначення 1.6 Матрицею |
$ 4 4 |
називається |
||||||||||||
прямокутна таблиця чисел. |
: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
$ 5 |
|
|
|
… |
|
|
7 |
|
|
||
|
|
|
|
… |
|
… |
|
… |
… |
|
, |
(1.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|||
|
|
|
|
6 |
6 |
|
… |
6 |
|
|
|
|||
яка складається з рядків та |
стовпців. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
88888 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
888888 |
|
|
|
|
|
Визначення 1.7 |
Числа |
|
називаються |
|
елементами |
|||||||||
! 1, # |
|
- номер. |
рядка |
|
, а |
|
– номер стовпця |
|||||||
матриці, де |
|
|
|
Визначення 1.8. Матриця, число рядків якої дорівнює числу стовпців, називається квадратною матрицею.
Визначення 1.9. Квадратна матриця, всі елементи головної діагоналі якої, дорівнюють 1, а всі інші – 0, називається
одиничною, та позначається як1 |
0 |
… |
0 . |
|
(1.4) |
|
9 50 |
1 |
… |
07 |
|
|
|
… |
… |
… |
… |
|
|
|
0 |
0 |
… |
1 |
|
|
|
Визначення 1.10. Дві матриці |
і |
називаються рівними, |
||||
якщо вони однакового розміру та |
відповідні елементи |
|
і |
|
||
|
$ : |
|
|
|
|
|
цих матриць рівні. |
|
|
|
|
1.2.2.Операції над матрицями
Додавання (різниця) матриць. Додавати (віднімати)
можна лише матриці однакового розміру.
11
|
|
|
Визначення 1.11. Сумою (різницею) двох матриць |
|
|
і |
|
|
||||||||||||||||||
розміру |
|
|
|
називається |
матриця того же |
розміру, |
кожен |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
$ |
|
|
: |
|||||||||||||||||||
$ і :: |
|
|
якої є сумою |
|
( |
різницею |
) |
елементів відповідних матриць |
||||||||||||||||||
елемент ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
$ : <, |
|
|
|
= |
; |
|
(1.5) |
||||||||||||
?4 "5 2 |
|
|
|
$ " : >, |
|
|
|
|
" . |
|
(1.6) |
|||||||||||||||
@ : ?"2 2 "1@ |
та різницю |
матриць |
|
$ |
||||||||||||||||||||||
3 |
1 |
Прикладі |
1.5. |
|
Знайти суму. |
|
||||||||||||||||||||
"7 |
|
|
|
|
|
3 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Розв’язання: |
|
|
|
"5 2 |
|
2 !"1#@ ?2 |
"3 |
|
1 |
|
@; |
|
|||||||||||
< $ : ?4 !"2# |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
1 0 "7 4 |
|
|
6 1 "3 |
|
|
|
||||||||||
> $ " : ? |
4 " !"2# |
"5 " 2 2 " !"1# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 " 3 |
|
|
1 " 0 "7 " 4 @ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
?6 |
"7 |
|
|
|
3 @. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
1 |
|
"11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Множення матриць на число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||||||||
|
|
|
Визначення 1.12. |
Добутком |
матриці |
|
на число |
|
||||||||||||||||||
називається матриця |
|
|
, кожен елемент якої є |
добутком числа |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
на відповідний |
елемент матриці |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||||||
|
|
: |
|
|
|
|
A · . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: A · $, $ |
|
|
9 D |
|
|
||||||||||||
число |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ B 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
Приклад |
1.6. Знайти добуток матриці |
|
|
|
"5 |
6 |
|
|
на |
||||||||||||||
|
|
A 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання:
12
: 7 · $ B |
7 · !"5# |
7 · 6 |
"35 |
42 . |
|
7 · 2 |
7!· 9 |
#D B 14 |
63 |
D |
|
|
7 · 0 |
7 · "4 |
0 |
"28 |
|
Множення матриць. Множити можна матриці лише в тому випадку, якщо число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої. В добутку отримаємо матрицю, у якої стільки рядків, скільки у першої матриці, і стільки стовпців,
скільки у другої. |
|
< |
E ; F |
|
|
|
|
|
|
|
|||
правилом |
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
|||
Визначення |
1.13. Добутком матриць |
|
|
|
|||||||||
називається матриця |
|
, елементи |
якої обчислюються за |
||||||||||
|
|
$ E ; F |
|
: E ; F |
|||||||||
= · |
· · ∑G0 G · G |
(1.7) |
|||||||||||
888888 |
88888 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де 1, ; 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Схематично розмір отриманої матриці можна зобразити |
|||||||||||||
наступним чином: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
k |
|
k |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m |
|
|
|
|
. |
|
= |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Що стосується правила для обчислення елементів матриці-добутку, то його схематично можна зобразити так:
|
|
|
|
j |
||||
i |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Щоб отримати елемент = , необхідно скласти$ суму добутків відповідних: елементів -го рядка матриці та -го стовпця матриці . При виконанні цього завдання радимо користуватися олівцем та гумкою, закреслюючи відповідні рядки першої та стовпці другої матриць.
|
Зауваження: В загальному випадку операція множення |
|||||||||||||||||||
матриць |
не |
комутативна |
, |
тобто |
$ · : : · $, |
навіть |
|
коли це |
||||||||||||
можливо. |
|
|
|
|
|
|
|
5 D |
|
: |
||||||||||
|
Приклад |
1.7. |
Дано |
матриці |
$ B1 |
і |
||||||||||||||
?"4 |
$ · : |
2 |
"7 |
|
|
|
||||||||||||||
1 |
. 5 |
@ |
Знайти добуток матриць |
4і |
: · $ |
, |
якщо це |
|||||||||||||
3 |
0 |
"2 . |
|
6 |
||||||||||||||||
можливо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
"7 |
|
3 |
0 "2@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
$ · : B1 5 |
D · ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4 |
6 |
|
"4 |
1 |
5 |
|
|
|
2 · !"2# !"7# · 5 |
|
||||||||
2 · 3 !"7# · |
!"4# |
2 · 0 !"7# · 1 |
7 |
|||||||||||||||||
5 |
1 · 3 5 · |
!"4# |
|
|
|
1 · 0 5 · 1 |
1 · |
!"2# |
5 · 5 |
|
||||||||||
|
4 · 3 6 · |
!"4# |
|
|
|
4 · 0 6 · 1 |
4 · |
!"2# |
6 · 5 |
|
|
|||||||||
B |
6 28 |
0 " 7 |
"4 " 35 |
|
|
34 |
"7 |
"39 . |
|
|
|
|
||||||||
3 " 20 |
0 5 |
"2 25D B"17 |
5 |
23 |
D |
|
|
|
|
|||||||||||
12 " 24 |
0 6 |
"8 30 |
|
|
"12 |
6 |
22 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
0 |
|
"2 |
|
2 |
"7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
: · $ ?"4 1 5 |
@ · B1 5 |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 · 2 0 · 1 |
!"2# · 44 63 · !"7# 0 · 5 !"2# · 6 |
|
|
|
||||||||||||||||
K |
"4 · 2 1 · 1 5 · 4 |
|
!"4# |
· !"7# 1 · 5 5 · 6L |
|
|
||||||||||||||
? |
3 0 " 8 |
|
"21 0 " 12@ ?"5 |
"33@. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
"8 1 20 |
28 5 3014 |
|
13 |
63 |
|
|
|
|
|
|
|
В розглянутому прикладі можливі були операції
множення |
|
і |
|
. В результаті ми отримали матриці не |
||
тільки з |
різними елементами |
але й різного розміру у першому |
||||
|
$ · : |
|
: · $ |
, |
: |
|
2 ; 2 |
ми отримали матрицю розміром 3 ; 3, а в другому - |
|||||
випадку. |
Зауваження: Для квадратних матриць однакового порядку операція множення матриць можлива завжди.
Якщо$ · :$ і : - дві квадратні матриці -го порядку, то їх добуток – матриця -го порядку. Виникає питання, а чи пов’язані між собою визначники цих матриць?
Теорема 1.1. Визначник добутку двох квадратних матриць -го порядку дорівнює добутку визначників матрицьмножників.
Доведення цієї теореми виходить за рамки розглядає
мого курсу. Перевіримо її результати на прикладі. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
$ B2 |
0 |
5D |
|
|
|
|
Приклад 1.8. Дано матриці |
3 |
"1 |
4 |
i |
|
|
||||
1 |
"1 |
8 |
|
|
||||||
: B"3 |
1 |
0 D |
|
|
$ : $ · : |
|
||||
4 |
1 |
"6 |
. Знайти визначники матриць |
|
, |
|
і |
. |
||
5 |
1 |
2 |
|
|
$ · : |
Розв’язання: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 3 32 |
1 " 1 8 |
2 |
0 |
" 48 |
40 |
8 |
"46 |
; |
||||
B10 |
0 |
20 |
2 0 5 |
4 |
0 |
" 30D B30 |
7 |
"26D |
||||
|
15 |
3 |
16 |
3 " 1 4 |
6 |
0 |
" 24 |
34 |
6 |
"18 |
|
|
|
1 |
"1 |
8 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
$ -2 |
0 |
5- |
0 " 15 " 16 " 0 5 8 "18 |
|
|
|||||||
|
3 |
"1 |
4 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
: -"3 1 |
0 |
|
- "30 0 " 6 " 8 " 0 " 18 "62 |
|
|
|||||||||||
|
4 |
1 |
"6 |
|
"46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
40 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
!$ · :# -30 |
7 |
|
|
"26- "5040 " 7072 " 8280 |
|
|
||||||||||
|
|
34 |
6 |
|
|
"18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10948 4320 6240 1116; |
|
|
|
|
|
|||||||||
$ · : "18 · |
!"62# |
1116. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Як бачимо, $ · : !$ · :#. |
|
|
|
|
|
||||||||||
; |
:Транспонування матриць. Нехай $ - матриця розміром |
|||||||||||||||
|
|
$ 5 |
|
|
… |
|
7 |
|
|
|
||||||
|
|
|
… |
… |
… |
… |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
… |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначення 1.14. Матриця, що утворюється з матриці |
|
||||||||||||||
заміною |
рядків |
|
стовпцями |
(або |
навпаки), |
|
|
називається |
||||||||
|
|
|
|
|
$ |
|||||||||||
$M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
6 |
|
|
|
|
|
транспонованою: |
матрицею відносно матриці $ і позначається |
|||||||||||||||
|
|
$ 5 |
… |
… |
… |
… |
7 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
… |
6 |
|
. |
|
(1.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.9. |
"2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
$ |
||||
|
Приклад |
|
Знайти |
транспоновану |
матрицю |
|
M |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
"7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
відносно матриці $ P |
2 |
"5 |
S. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Розв’язання: |
|
|
N |
1 |
2 |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
16
M |
|
"2 |
4 |
0 |
2 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
$ |
? |
4 |
1 |
"7 |
"5 |
2@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Обернена матриця. |
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Визначення |
1.15. |
|
Нехай |
– |
|
квадратна |
матриця -го |
||||||||||||||
порядку. |
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
-го |
порядку) |
|
називається |
||||||||
Квадратна матриця |
|
! |
|
|
|
|
|||||||||||||||
оберненою до |
|
, якщо |
|
|
|
$T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Визначення 1.16. |
$ · $T $T · $ 9. |
|
|
|
-го порядку |
||||||||||||||||
Квадратна матриця |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
називається невиродженою, |
|
якщо |
її |
визначник |
|
||||||||||||||||
|
|
$ |
|
|
матриця |
||||||||||||||||
відрізняється від нуля, в протилежному випадку |
|
$ |
|||||||||||||||||||
називається виродженою. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
||||||
Теорема 1.2. Будь яка невироджена матриця |
|
має єдину |
|||||||||||||||||||
обернену матрицю |
$T. |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обернену матрицю будемо знаходити за схемою: |
|
||||||||||||||||||||
1) |
обчислюємо визначник матриці |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) |
знаходимо транспоновану |
матрицю |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
$ M; |
|
до |
кожного |
|||||||||||||||
3) |
обчислюємо |
алгебраїчні |
|
доповнення |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
елемента транспонованої матриці; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4) записуємо обернену матрицю за правилом: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
$ |
|
UVWX P |
|
$M |
|
$M |
|
… |
|
$M |
S |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
(1.9) |
||||||
|
T |
|
|
|
|
$M |
|
$M |
|
… |
|
$M |
|
. |
|
|
|
||||
|
$T |
|
|
N $M |
|
$M |
|
|
… |
|
$M |
Q |
|
|
|
|
|||||
5) |
· $ 9. |
|
|
|
|
обчислив |
|
$ · $ 9 |
або |
||||||||||||
виконуємо |
перевірку, |
|
|
|
T |
|
Приклад 1.10. Знайти матрицю, обернену до
17
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"3 |
0 |
6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ B 2 |
2 |
4 D |
|
|
|
Розв’язання: |
|
|
|
|
|
5 |
1 |
"2 |
|
|||||||
|
"3 0 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
$ - 2 |
|
2 |
|
4 |
|
- 12 0 12 " 60 " 0 12 "24 |
|||||||||||
|
5 |
2 |
1 |
"2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
"3 |
|
|
5 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
$M B 0 |
2 |
|
|
1 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6 |
4 |
|
|
"2 |
|
|
1 |
|
' "4 " 4 "8; |
|
|
|||||
$M !"1#% |
· '2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
$M |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
"2 |
' |
"!0 " 6# 6; |
|
|
||||
!"1#% · '0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
$M |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
"2 |
|
|
|
|
|
|
||
!"1#% · '0 |
|
|
|
2' |
0 " 12 "12; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
4 |
|
|
' |
"!"4 " 20# 24; |
|
|||
$M !"1#% · '2 |
|
5 |
|
|
|||||||||||||
M |
|
% |
|
4 |
|
|
|
"2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
"3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
; |
|
||||||
$ !"1# |
% |
· ' 6 |
|
|
"2' 6 " 30 "24 |
|
|||||||||||
M |
|
|
"3 |
|
|
2 |
"!"12 " 12# |
24 |
; |
||||||||
$ !"1# |
|
|
· ' 6 |
|
|
4' |
|
||||||||||
$M !"1#% · '2 |
|
|
|
5' |
2 " 10 "8; |
|
|
|
|||||||||
M |
|
% |
|
2 |
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
"3 |
|
|
"!"3 " 0# 3 |
; |
|
||||||||||
$ !"1# |
% |
· ' 0 |
|
|
1' |
|
|
||||||||||
M |
|
|
"3 |
|
|
2 |
"6 " 0 "6 |
. |
|
|
|||||||
$ !"1# |
|
|
· ' 0 |
|
|
2' |
|
|
|
18
|
|
|
"8 |
|
6 |
|
"12 . |
|
|
|
|
|
||
$T " 1 B24 |
"24 |
|
24 |
D |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
"8 |
|
3 |
|
"6 |
|
|
|
|
|
|
|
Перевірка: |
|
6 |
|
"12 |
"3 |
0 |
|
6 |
||||||
|
|
|
"8 |
|
|
|
||||||||
$T · $ " 1 B24 |
"24 |
|
24 D · B 2 |
|
2 |
|
4 D |
|||||||
|
|
|
|
"8 |
|
3 |
|
0 |
"6 |
5 |
|
1 |
"2 |
|
24 12 " 60 |
|
12 " 12 "48 24 24 |
||||||||||||
" 1 B"72 " 48 120 |
|
0 |
" 48 24 |
|
144 " 96 " 48D |
|||||||||
|
24 6 " 30 |
0 |
|
|
0 6 " 6 |
0 |
"48 12 12 |
|||||||
|
"24 |
|
0 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
. |
|||
" 1 B |
0 |
|
"24 |
|
0 |
|
D B0 |
1 |
0D 9 |
|
||||
|
0 |
|
|
0 |
"24 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
Отже, перевірка показала, що обернена матриця знайдена вірно. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Відповідь: |
|
|
|
|
|
"8 |
6 |
|
"12 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
$T " 1 B24 |
"24 |
24 D |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"8 |
3 |
|
"6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ранг матриці. Елементарні перетворення. |
; : |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Нехай дано прямокутну матрицю $ |
розміром |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
$ 5 |
|
|
|
|
… |
|
7 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
… |
… |
|
… |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
… |
|
6 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В окремому випадку можлива рівність |
, |
тобто матриця |
$ |
||||||||||||||||||
може( |
бути квадратною). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
. |
Нехай |
|
- |
|
довільне натуральне число, що не перевищує |
|||||||||||||
|
Y |
Y Y / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y Y Y / |
|
|
|||||
|
і |
|
|
Оберемо в |
|
довільним способом |
|
рядків з номерами |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
та$ |
|
стовбців з |
|
номерами |
|
|
|
. |
З |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
елементів матриці |
|
, що розташовані на перетині обраних |
|
|||||||||||||||||
рядків і |
|
стовпців, |
утворимо визначник |
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
$ |
|
|
[ \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Z |
[ [ |
|
… [ ] |
Z |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
\ [ |
|
\ \ |
… \ ] . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
] [ ] \ … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
] ] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Цей визначник називається мінором |
– го порядку матриці . |
|
||||||||||||||||||
Визначення |
|
|
1.17. |
|
|
, |
|
|
|
|
$ |
( |
^$ |
|||||||
|
|
|
Рангом матриці |
|
|
|
|
) |
||||||||||||
називається таке ціле число |
|
|
що серед мінорів -го порядку |
|||||||||||||||||
матриці |
|
|
є хоча б один |
такий |
що відрізняється від нуля |
, |
а всі |
|||||||||||||
$ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
мінори |
-го порядку (якщо їх можна скласти) дорівнюють |
|||||||||||||||||||
нулю. ! 1# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод знаходження рангу матриці за визначенням 1.17
називається «методом відокресленних мінорів». Розберемо цей метод на прикладі.
Приклад 1.11. Знайти ранг матриці |
"7 . |
||
"5 |
1 |
4 |
|
$ B 0 |
3 |
2 |
"3D |
2 |
2 |
8 |
1 |
Розв’язання:
На перетині, наприклад,5 першого0 рядка і першого стовпця розташований елемент - . Отже ранг матриці не менший від одиниці.
З елементів, що розташовані, наприклад, на перетині перших двох рядків і перших двох стовпців, утворимо мінор
(визначник) другого порядку: |
|
|
'від двох'. "15 " 0 "15 0 |
||
0 |
3 |
, Отже, ранг матриці не менший |
"5 |
1 |
|
|
|
20 |