Пособие_ВМ_для_менеджеров

∆ '2	"3 ' 2 3 5 .
1		{/{	.
Отже маємо: b ∆∆[ T{/{ " ; b ∆∆\
	Відповідь: b " ; b ; b ; | }.

1.3.7.Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки

Упопередньому розділі ми познайомилися з методами розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Знання цих методів та навички в їх використанні знадобляться нам у розв’язанні прикладних економічних задач. Познайомимося з

основними визначеннями та формулами.

b

∑0 b ~

! ’ 1,2, … #

-

1.26.

вигляду

b

Визначення

Рівняння

називаються співвідношеннями балансу, де

-

об єми валового

продукту

тої

галузі для невиробничого

в процесі

b

-

-

! 1,2,… #.

споживання,

об’єм продукції

-тої галузі що споживаються

виробництва

тою галуззю

		Співвідношення балансу можуть бути записані:
	де	а) у вигляді b ∑0	b ~ ! 1,2, … #
		••€••		! , 1,2, … , #

(1.22)

(1.23)

- коефіцієнти прямих витрат, які вказують на витрати

продукції -тої галузі на виробництво одиниці продукції -тої галузі;

б) у матричному вигляді
c $c ‚	(1.24)
41

або

b

!9 " $#c ‚

~

(1.25)

c 5

$ 5

7 ‚ 5

7

ƒ 7

,

ƒ

(1.26)

де

b

,

~

,

c

b

‚

~

$

-

.

- вектор кінцевого продукту,

-

вектор валового випуску,

матриця прямих витрат

Головна задача міжгалузевого балансу складається у

знаходженні

такого вектора

валового

випуску

,

який

при

відомій матриці

прямих витрат

забезпечує

заданий

вектор

$

c

кінцевого продукту ‚.

Вектор c

валового випуску знаходиться за формулою:

c

!9

" $#T‚ e‚

(1.27)

де

,

e !9 " $#

T

називається

матрицею

повних

матриця

витрат

кожен

елемент

якої

показує

величину

валового

.

-тої

галузі

,

~

1

!

випуску продукції

„

1,2, … , #

кінцевого

продукту

-тої

галузі

випуску одиниці

Зауваження.

Матриця

вектора

називається

продуктивною,

якщо

для

існує

будь-якого$ … 0

‚ … 0

розв’язок c … 0 рівняння (1.25).

… 0

, 1,2, … ,.

та

$

‰ 1

,

max0 ,…, ∑0

Матриця

продуктивна,

якщо

для будь-яких

∑0 Y 1

існує номер

такий що

Визначення 1.27. Чистою продукцією галузі називається різниця між валовою продукцією цієї галузі і витратами продукції всіх галузей на виробництво цієї галузі.

Скористаємося наведеними визначеннями для розв’язання задач.

42

Приклад 1.19. В таблиці 1.1 наведені коефіцієнти прямих витрат і кінцева продукція галузей на запланований період (в умовних грошових одиницях):

					Таблиця 1.1
Галузь			Споживання		Кінцева
			Галузь 1	Галузь 2	продукція
Виробництво		Галузь 1	0,4	0,35	400
		Галузь 2	0,2	0,15	300

Знайти:

1)плановані об’єми валової продукції галузей, міжгалузеві поставки, чисту продукцію галузей;

2)необхідний об’єм валового випуску кожної галузі, якщо кінцеве споживання продукції першої галузі збільшиться на 10 %, а другої – на 30 %.

Розв’язання:			‚		$
1)						і
	запишемо матрицю коефіцієнтів прямих витрат
	вектор кінцевої продукції			:
	$ ?0,4	0,35@ ;	‚ ?400@.
	0,2	0,15		300

Зауважимо, що матриця продуктивна, тому що всі її елементи додатні та сума елементів в кожному рядку і в кожному стовпці менше одиниці.

Щоб знайти матрицю повних витрат, знайдемо матрицю
9 " $:	9 " $ ?1	0@ " ?0,4			0,35@ ? 0,6		"0,35@.
	0	1		0,2	0,15	"0,2	0,85
Звідси	матриця повних		витрат			T	знаходиться за
добре відомою нам схемою				знаходження оберненої матриці				:
					e !9	" $#
				43

det!9 " $#	0,6	"0,35				;
	•"0,2	0,85		• 0,51 " 0,07 0,44
M	0,6	"0,2	;
!9 " $# ?"0,35		0,85	@	$M 0,2; $M 0,6;
$M 0,85;	$M 0,35;
e !9 " $#T y,11 ?0,85				0,35@ ?1,93		0,80@.
		0,25		0,6	0,57	1,36
Знайдемо вектор			валового		продукту c за формулою

(1.27):

c e · ‚ ?1,93 0,80@ · ?400@ ?772 240@ ?1012@ 0,57 1,36 300 228 408 636

Перший рядок матриці c відповідає галузі 1, а другий – галузі 2.

Міжгалузеві поставки b знайдемо за формулою (1.23): b · b

b · b 0,4 · 1012 404,8; b · b 0,35 · 636 222,6; b · b 0,2 · 1012 202,4; b · b 0,15 · 636 95,4.

Чиста продукція галузі дорівнює різниці між валовою продукцією цієї галузі і витратами продукції всіх галузей на виробництво цієї галузі.

Отже, витрати продукції всіх галузей на виробництво:

- першої галузі

b b 404,8 202,4 607,2;

44

-	другої галузі
	b b 222,6 95,4 318,0.
Остаточно маємо чисту продукцію
-	другої галузі:	1012 " 607,2 404,8.
-	636 " 318 318		;
	першої галузі:

Всі отримані результати зведені в таблиці 1.2:

Таблиця 1.2

				Споживання				Кінцева		Валова
Галузь				Галузь		Галузь
							продукція		продукція
				1		2
Виробництво		Галузь1		404,8		222,6		400		1012
		Галузь2		202,4		95,4		300		636
Чиста продукція				404,8		318
Валова продукція				1012		636
2) знайдемо вектор кінцевого								споживання			,		з
урахуванням того, що кінцеве споживання										першої
										‚
галузі збільшиться на 10 %, а другої – на 30 %:
			‚ ?400 · 1,1@ ?440@.
				300 · 1,3		390							,
Останнє дає можливість знайти вектор валового випуску
який при відомій матриці прямих витрат								забезпечує		заданий
							$					c
вектор кінцевого продукту ‚.
Скористаємося формулою (1.27):
c e · ‚ ?1,93			0,80@ · ?440@ ? 849,2 312 @ ?1161,2@
0,57			1,36	390		250,8 530,4				781,2
				45

Розділ 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ

2.1.МЕТОД КООРДИНАТ

2.1.1.Декартова система координат на площині

y

Нехай

на

площині

M

проведено

дві

взаємно

B

перпендикулярні

прямі

Žb, Ž~

x

(рис. 2.1).

2.1.

O

1 A

Визначення

Система

координат, що утворена перетином

двох

взаємно перпендікулярних

Рис. 2.1.

прямих, називається прямокутною

(або декартовою) системою координат.

Вісь

називається

віссю абсцис

,

вісь

-

віссю

ординат

.

Точка

перетину

Žb

координатних осей називається початком координат

Ž~

Ž .

Система координат вважається заданою, якщо заданий початок координат, напрям координатних осей та масштаб (одиничний відрізок).

Нехай

-

довільна

точка

на

площині

(рис. 2.1).

знаками.

Ž$

Ž:

,$

і

на координатні вісі

Проведемо із неї перпендикуляри

Нас цікавлять довжини

і

які :беруться

з

певними.

Правило:

1)

якщо

точка

то

розташована

праворуч

від

початку

координат,

довжині

приписують

знак

« »,

$

Ž$

якщо ліворуч – « - »;

якщо

точка

розташована

вище

від

початку

2)

координат,

то

:довжині

Ž:

приписують

знак « »,

якщо нижче – « - ».

Таким чином точка

має координати

b Ž$, ~

3)

Ž: (одиниць довжини).

46

Перший принцип відповідності. Будь-якій точці на площині відповідає два числа – її координати. І навпаки, будьякій парі чисел відповідає певна точка на площині, яка має ці числа своїми координатами.

2.1.2. Довжина відрізка. Відстань між двома точками

(рис. 2.2).

Нехай дано дві точки

і

і

точок

на координатні

вісі

.

Опустимо перпендикуляри з

,

,

y			y
y		M2	y2		M2
2
	M1
y		N			A x2
1		x1
						x
O	x1	x	O
		x2
		M1	B	y	N
				1
		(a)			(б)
		Рис. 2.2.

,

,

, вона

Точку перетину перпендикулярів позначимо як

має координати

. Ми отримали прямокутний трикутник

де

- гіпотенуза

. З теореми Піфагора маємо

.

розташування точок. Тут ,

На рис. 2.2,а простіше.

Отже маємо

.

(2.1)

,

.

,,

Розглянемо рис. 2.2,б.

Тут

Аналогічно

, але

а тому

47

але ,

,

а тому

. Отже маємо

.

0,0

Згідно з формулою (2.1) відстань від початку координат

до точки , обчислюємо за формулою

.

(2.2)

: 2,1 , 1,5, 6, 4 . Знайти периметр трикутника.

Приклад

2.1.

Дано

вершини

трикутника

Розв’язання: Периметр трикутника обчислимо за

формулою

.

Для цього знайдемо довжини відрізків

, , .

1 2 5 1 √9 16 5 (од.);

6 1 4 5 √25 81 √106 (од.);

6 2 4 1 √64 25 √89 (од.).

Отже маємо 5 √106 √89 (од.).

2.1.3. Поділ відрізка у даному відношенні

,

і ,

y

q2

та додатні

Нехай

дано

точки

M 2

числа і

! ""$#%. Необхідно

q1

M

Q

що поділяє

M

знайти точку

1

відрізок

,у ,відношенні

x1

x

P

x

! ""$#,

тобто

O

x2

Рис. 2.3.

48

&&$	"$ !.
&#& "#							(2.3)
Побудуємо трикутники і ( (рис.2.3). Вони
			&*		&&$
подібні (за двома кутами). А тому &#)					&#&. Але
, ( .	"#
З (2.3) маємо +,+#		!	;	! !			,
+$,+	"$
! ! . Звідси		-.					(2.4)
		+#-.+$.

Аналогічно знаходимо

/#-./$. (2.5)

-.

Приклад 2.2. Дано відрізок : 1,3 , 4,8. Його поділено на чотири рівні частини. Знайти координати точок ділення.

			Розв’язання: На чотири частини поділяємо відрізок
трьома точками. Позначимо їх як (рис. 2.4)										. Визначимо
							кількості			частин	що
	для кожної з точок як відношення							, 1, 2		,
пройшли від початку відрізку до обраної								y
!
точки,			до	кількості частин,		що пройшли				B
після неї. Нехай - початок відрізку, а -								8
кінець. Отже λ4					5 , λ6	1, λ7 5				E
3. Скористаємося формулами (2.4) і (2.5):										D
8		, -#·;			5-#·=	;> ;		3	C
			-99#	; ; 8 -99#				A
6 , --; 5 ;					6 5--= ;			-1O		4	x
										Рис. 2.4.
						49

7	, -5·;			5-5·=	>
	-5	;	; 7 -5		; .		, ;>%.
	Відповідь:			; , ;>% , 1	5 , % , 2 ;
	. Знайти точку перетину					:		2,2 , 1,1 ,
3,7 .			2.3.	Дано трикутник
	Приклад
					бісектриси кута				з протилежною

стороною

Розв’язання: Скористаємося властивістю бісектрис, а саме: бісектриса поділяє протилежну сторону трикутника у відношенні, що дорівнює відношенню @довжин прилеглих сторін. Позначимо через

точку перетину бісектриси і сторони

(рис. 2.5). Згідно з властивістю бісектриси
і :	B8	C8	!	. Обчислимо довжини
маємо AB		CA

1 2 1 2 √9 1 √10;3 2 7 2 √1 25 √26,

y

C

7

K

2 A

B 1

x

-1 O 2 3 Рис. 2.5.

Маємо ! √√ ED √√F5. Скористуємося формулами (2.4), (2.5)

і

знайдемо

координати точки

@

:

B

, -√√#G9

·5

,√ 5-5√F

;

- √G ·>

.

-√√G#9

√ 5-√F

B

√

#9

√ 5->√F

-√√#9G

√ 5-√F

√ 5-√F

,

√ 5-√F %

Відповідь:

@

,√ 5-5√F

√ 5->√F .

50