Пособие_ВМ_для_менеджеров
.pdf1.3.3. Метод послідовного виключення невідомих. Метод Гауса
Нехай дано систему |
|
|
лінійних рівнянь з |
|
невідомими |
||||||||||||||
$ |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
(1.13). Розглянемо матрицю |
|
|
системи (1.13) та її розширену |
||||||||||||||||
матрицю (матрицю, що |
складається з елементів матриці |
|
та |
||||||||||||||||
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
стовпця вільнихo |
членів |
|
): |
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
$ 5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
… |
|
… |
|
… |
… |
|
|
|
|
(1.17) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
… |
|
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
6 |
6 |
… |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
o |
|
|
|
|
… … |
… … |
- |
r |
|
|
|
|
|||||||
$ !$|:# q |
|
|
|
(1.18) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
g |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
6 |
… g |
|
|
|
|
|
||||
Метод Гауса розв’язання систем лінійних алгебраїчних |
|||||||||||||||||||
рівнянь складається в |
тому, |
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|||||
що за допомогою елементарних |
|||||||||||||||||||
перетворень її зводять до вигляду |
коли матриця |
|
|
$ |
|
|
|
||||||||||||
|
системи стає |
||||||||||||||||||
трапецієвидною. Після того , |
(як |
матрицяo |
|
|
стала |
||||||||||||||
трапецієвидною) з легкістю можна відповісти на запитанняo |
о |
||||||||||||||||||
сумісності системи та о кількості розв’язків. Зводити матрицю системи до трапецієвидної форми будемо наступним чином. Спочатку bв усіх рівняннях системи, крім першого вилучимо невідому b ; потім в усіх рівняннях, крім першого і другого – невідому і так далі.
Так як кожному елементарному перетворенню системи відповідає елементарне перетворення розширеної матриці системи (і навпаки), то замість системи (для скорочення запису) будемо працювати з розширеною матрицею цієї системи, виконуючи перетворення лише над рядками.
Зауваження. Метод Гауса використовують для розв’язання систем з будь-якою кількістю невідомих, тому що зі зростанням кількість обчислень зростає незначно.
31
Для ілюстрації метода Гауса розглянемо декілька прикладів.
Приклад 1.13. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних
рівнянь методом Гауса:
b 4b " 2b b1 "4, s3b " b " 2b " 3b1 5,g 2b 3b b 2b1 2, b b 5b " 2b1 6.
|
Розв’язання: |
$ |
Поставимо у відповідність системі |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
розширену матрицю |
o: |
"4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
4 |
|
"2 |
|
1 |
|
|
|
|
(-3)(-2)(-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
o |
3 |
"1 |
"2 |
"3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
$ 5 2 3 |
|
|
|
1 2 |
2 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
5 |
"2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
"2 |
|
1 |
"4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
"2 |
|
1 |
"4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
~ 50 |
"13 |
|
|
4 |
|
|
"6 177 |
: |
|
|
|
|
|
~ 50 "13 |
|
4 |
|
"6 177 |
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
"5 |
|
|
5 |
|
0 |
10 |
|
!"5# |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
"1 |
|
0 |
"2 |
|
||||||||||||||||
0 |
|
"3 |
|
|
7 |
|
"3 |
10 |
|
|
13 |
3 |
|
|
0 |
|
"3 |
|
7 |
"3 |
10 |
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
4 |
|
|
|
|
"2 |
|
1 "4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
1 |
|
|
|
|
"1 |
|
0 |
"2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
~ 50 |
"13 |
|
|
|
4 |
|
"6 |
17 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
"3 |
|
|
|
7 |
|
"3 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
"2 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
4 |
|
"2 |
|
|
|
1 |
"4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"4 (-1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ q |
0 |
1 |
|
"1 |
|
|
0 |
|||||||||||||||||
~ 5 0 1 "1 0 |
"27 |
: |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
1 2⁄3 Z"2r |
~ |
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
"9 |
|
|
"6 "9 |
|
|
!"9# |
|
|
|
|
1 |
" 3⁄4 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
4 |
|
|
"3 |
4 |
|
|
|
|
: 4 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
4 |
|
|
"2 |
|
|
|
1 |
|
|
"4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 "2 |
1 |
"4 . |
|
||||||||
0 |
|
1 |
|
|
"1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
~ q 0 0 |
|
|
1 2⁄3 |
|
|
"2 |
|
|
|
|
|
· 3 |
|
|
~5 |
0 |
|
|
1 "1 |
0 |
"2 |
|
||||||||||||||||
|
|
Z |
1 r |
|
|
|
|
|
0 0 3 |
2 3 7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
17⁄12 |
|
|
0 |
|
|
|
· 12⁄17 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|||||||||||||||
|
Отже, з останнього рівняння маємо: |
|
b1 |
0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2b1 3 |
|
. |
|
|
b1 |
|
|
|
|
3b 2 · |
||||
0 3; |
Третій рядок розширеної матриці прочитаємо як |
3b |
||||||||||||
|
b 1 |
|
|
|
|
|
, отримаємо: |
|
||||||
|
|
. Підставимо знайдене значення |
|
|
||||||||||
b " 1 "2; b "1. |
|
"2; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
З другого рядка маємо b " b |
|
|
|
b , b b1 |
|||||||||
4b " 2b b1 "4 |
|
, маємо |
|
|
|
. |
Після |
|
||||||
|
|
|
|
першого рядка розширеної матриці |
b : |
|||||||||
|
І, нарешті, з, з |
урахуванням |
|
знайдених |
|
|
|
|||||||
b 4 · |
!"1# " 2 · 1 0 "4. |
b |
2 |
|
|
перевірки |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
можемо записати відповідь |
b "1; |
b 1; |
b1 0. |
|
|
|||||||||
|
Відповідь: b |
2; |
|
|
||||||||||
Приклад 1.14. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних
рівнянь методом Гауса:
b 3b " 5b b1 2
s "b " 2b 3b 6b "3 g 4b 13b " 22b 11b 7 "2b " 7b 12b " 9b1 1 "3.
|
Розв’язання: Поставимо у відповідність системі |
||||||||||||||||||
розширену матрицю |
o: |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
3 |
"5 |
|
$1 |
|
|
|
1 (-4) 2 |
|
|
|
|
|
|||||
o |
"1 |
"2 |
3 |
|
6 |
|
"3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
$ 5 4 |
13 |
"22 |
11 |
7 |
7 |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
"2 |
"7 |
12 |
|
"9 "3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
1 3 |
"5 |
1 2 . |
|
|||||||||||||
3 |
"5 |
1 2 |
|
(-1) 1 |
|
|
|||||||||||||
0 |
1 |
"2 |
7 |
"1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
"2 |
7 |
"1 |
|
||||
~ 50 1 |
"2 |
7 "17 |
|
|
|
|
~ 50 0 |
0 |
0 0 7 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
"1 |
2 |
"7 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
b 3b |
" 5b |
b1 2 |
g |
||||||
Отже ми отримали систему |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
2b " 2b 7b1 "1. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Останні два рівняння перетворилися в рівняння вигляду:
0 · b 0 · b 0 · b 0 · b1 0.
Ці рівняння задовольняються при будь-яких значеннях
невідомих, |
тому |
їх |
|
|
можна |
відкинути. |
|
Щоб |
задовольнити |
|||||||||||||||||
|
|
h |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
і |
|
. |
обрати будь-які |
||
другому рівнянню, ми можемо для |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
b " 2 · h 7 · w "1; |
|
b |
"1 2h " 7w |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
значення |
|
і |
|
, тоді значення для |
|
|
визначиться однозначно |
: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
b1 |
|
|
|||||||||||||||||
b 3 · !"1 2h " 7w# " 5h. w 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
З першого рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
, |
b |
5"x 20w |
|
|
|
|
|
|
також |
однозначно |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
визначимо |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
Остання |
|
система |
рівносильна |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5"x 20w; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
початковій тому формули |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
"1 2h " 7w; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
h; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
w. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при вільних |
|
і |
|
дають нам всі розв’язки системи. Як бачимо, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
множина |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
їх нескінченаh |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Приклад 1.15. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних |
|||||||||||||||||||||||||
рівнянь методом Гауса: |
|
|
|
2b |
2b1 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
" 3b |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2b |
" 5b |
|
|
7b1 |
0 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
s"3b |
13b |
" 5b "8b1 |
"6g |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5b 11b |
11b 8b1 |
11 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Розв’язання: |
$ |
|
Поставимо у відповідність системі |
||||||||||||||||||||||
розширену матрицю |
o |
: |
1 (-2) 3 (-5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
"3 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
o |
2 |
"5 |
|
|
0 |
|
7 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
$ 5"3 |
13 |
"5 |
"8 "67 |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 |
11 |
|
11 |
|
8 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
"3 |
2 |
2 |
1 |
(-1) |
1 |
"3 |
2 |
2 |
1 . |
|
0 |
1 |
"4 |
3 |
"2 |
0 |
1 |
"4 |
3 |
"2 |
||
~ 50 |
4 |
1 |
"2 "37 |
|
|
~ 50 |
4 |
1 |
"2 "37 |
||
0 |
4 |
1 |
"2 |
6 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
|
|
||||||||||
Отже, задана за умовою система рівносильна наступній: |
|||
|
b " 3b |
2b 2b1 |
1 |
s |
b |
" 4b 3b1 |
"2. |
4b b " 2b1 |
"3g |
||
|
|
0 9 |
|
Ця система несумісна, тому що її останнє рівняння
0 · b 0 · b 0 · b 0 · b1 9
не може бути задоволене ніякими значеннями невідомих.
Відповідь: система несумісна.
|
|
|
|
|
|
|
1.3.4. Матричний метод |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Розглянемо систему |
|
лінійних алгебраїчних рівнянь з |
||||||||||||||||
невідомими (1.14). |
Поставимо у відповідність системі |
(1.14) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
матричне рівняння |
|
|
$ · c :, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
(1.19) |
||||
де |
|
- |
матриця |
|
коефіцієнтів при невідомих, |
- стовпець |
||||||||||||||
невідомих |
, : - |
стовпець вільних членів |
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
$ |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
b |
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
$ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
7 , c 5 … 7 , : 5 |
|
|
|||||||||
|
… |
|
… |
… |
… |
… 7 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будемо вважати, що визначник |
|
|
(визначник матриці |
|
||||||||||||||
системи |
(1.14) |
відрізняється від нуля За теоремою Крамера така |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
$ |
|
|
|
|
|
|
$# |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
система має єдиний розв’язок. З іншого боку, для невиродженої |
||||||||
матриці $ |
існує обернена матриця $T. |
|
|
|
T. |
|||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
Помножимо обидві частини рівності (1.19) зліва на |
||||||||
Отримаємо |
c |
|
: |
|
|
; 1 |
||
Така операція можлива, тому що |
$і |
- квадратна матриця |
$-го |
|||||
порядку, |
а матриці-стовпці |
|
|
мають |
розмір |
|
. |
|
$T · !$c# !$T · $#c 9c c $T · :.
Отже, щоб розв’язати систему (1.13), представлену у вигляді
(1.19), необхідно обчислитиc $T · : |
(1.20) |
Зауваження. Як і у випадку використання формул Крамера, матричний метод не застосовують при розв’язанні
систем з великою кількістю невідомих, тому що це вимагає від |
||||||||
|
$#). |
|
|
! " 1# |
|
порядку |
|
(визначник |
нас обчислення |
одного визначника |
го |
|
|||||
матриці |
та |
|
визначників |
- |
|
( |
|
|
доповнення
Приклад 1.16. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних
рівнянь матричним методом:
3b " 4b b "11g j 2b b " 5b 13
b " b " 2b 0 .
|
Розв’язання: Запишемо |
b |
"11 . |
||||
|
|
3 |
"4 |
1 |
|||
|
$ B2 1 |
"5D; c Bb D; : B 13 |
D |
||||
|
3 |
1 |
"1 |
"2 |
b |
0 |
|
|
"4 |
1 |
|
|
|
, |
|
$ -2 |
1 |
"5- "6 20 " 2 " 1 " 15 " 16 "20 0 |
|||||
тобто |
1 |
"1 |
"2 |
|
|
|
. |
матриця невироджена і обернена до неї існує Транспонуємо матрицю:
36
3 |
2 |
1 . |
$M B"4 |
1 |
"1D |
1 |
"5 |
"2 |
Знайдемо алгебраїчні доповнення до кожного елемента транспонованої матриці:
M |
1 |
|
"1 |
|
; |
|
|
|
||
$ |
'"5 "2' "2 " 5 "7 |
|
|
|
|
|||||
M |
" |
"4 |
"1 |
|
|
; |
|
|
||
$ |
' 1 |
"2' |
"!8 1# "9 |
|
|
|||||
$M |
'"4 1 |
' 20 " 1 19; |
|
|
|
|
||||
M |
1 2 |
"51 |
|
|
|
; |
|
|||
$ " |
'"5 |
|
"2' |
"!"4 5# "1 |
|
|||||
M |
3 |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
$ '1 |
3 |
"2' |
"6 " 1 "7 |
|
|
|
|
|||
M |
|
|
2 |
|
|
|
; |
|
||
$ " |
'1 "5' "!"15 " 2# 17 |
|
|
|||||||
M |
2 |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
$ '1 "1' |
"2 " 1 "3 |
|
|
|
|
|||||
M |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
$ " |
'"4 |
2 |
"1' |
"!"3 4# "1 |
|
|||||
M |
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
||
$ '"4 1' |
3 8 11 |
|
|
|
|
|||||
|
Множник !"1#% тут враховано. |
|
||||||||
|
Отже обернена матриця має вигляд: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
"7 |
"9 |
19 . |
||
|
|
|
|
|
$T " y B"1 |
"7 |
21D |
|||
|
|
|
|
|
|
"3 |
"1 |
11 |
||
Скористаємося формулою (1.20): 37
|
|
"7 |
"9 |
19 |
"11 |
D |
c $T · : " y B"1 "7 21D · B 13 |
||||||
|
|
"3 |
"1 |
11 |
0 |
2 . |
77 " 117 0 |
|
"40 |
|
|||
" y B 11 |
" 91 |
0 D " y B"80D B |
4 D |
|||
33 |
" 13 |
0 |
|
20 |
"1 |
|
Маємо: b 2; |
b 4; |
b "1. |
|
|
||
1.3.5. Умова сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі
Питання сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1.13) повністю розв’язується наступною теоремою.
Теорема Кронекера-Капеллі. Для того, щоб система
лінійних алгебраїчних рівнянь (1.13) була сумісною, необхідно і |
|||
$ |
^$ ^$ |
||
достатньо, щоб ранг матриці |
$ |
дорівнював рангу її розширеної |
|
матриці o, тобто |
|
o. |
|
З теореми Кронекера-Капеллі (у випадку сумісності системи) легко отримати відповідь на питання о кількості розв’язків системи.
|
Теорема о кількості розв’язків системи. Нехай для |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
системи |
|
лінійних рівнянь з |
|
|
невідомими (1.13) виконується |
|||||||||||||
|
сумісності |
, |
|
$ |
|
ранг |
|
матриці |
|
дорівнює |
рангу її |
|||||||
умова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ранг матриці |
дорівнює |
||||||
розширеної матриці |
o |
. |
Тоді, |
|
якщо |
|
$ |
|
|
|
|
|||||||
кількості невідомих |
|
|
, |
|
то система є визначеною і має |
|||||||||||||
єдиний розв’язок. |
|
Якщо ранг матриці менше кількості |
||||||||||||||||
|
! # |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
невідомих |
|
, тоді система невизначена і має нескінчену |
||||||||||||||||
кількість |
розв язків |
а саме |
: |
|
деяким |
|
|
|
невідомим які |
|||||||||
|
! Y’ # |
, |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
довільні значення тоді |
||||
будемо називати базовими можна надати! " # |
|
|
, |
|||||||||||||||
невідомі, що залишились (їх будемо називати вільними), визначаються вже однозначно через базові
38
1.3.6. Однорідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Нехай дано однорідну систему |
(1.21) |
|
|
b b b 0 . |
|
f |
b b b 0 g |
|
… … … … … … … … … … … … |
|
|
|
6b 6b 6b 0 |
|
Однорідна система завжди сумісна, тому що завжди має
наступний розв’язок:
b 0, b 0, … , b 0.
Цей розв’язок називається нульовим (або тривіальним). Будьякий інший розв’язок (якщо він існує), в якому хоча б один невідомий відрізнявся від нуля, називається ненульовим (або
нетривіальним).
Теорема 1.4. Для того, щоб однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь (1.21) мала нетривіальний розв’язок,
необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи був менше |
|||||
числа невідомих ! Y #. |
|
|
|
||
У |
випадку, |
коли число |
рівнянь дорівнює числу |
||
невідомих |
, |
умова |
|
!∆ 0# |
що |
|
відповідає тому, |
||||
визначник |
системи дорівнює нулю |
|
|
||
! # |
|
! Y # . |
|
||
Приклад 1.17. Розв’язати систему лінійних однорідних
алгебраїчних рівнянь:
4b " 2b " 5b 0g j2b 3b " 2b 0 3b " 7b " 2b 0.
Розв’язання: Обчислимо |
визначник системи |
|||
4 |
"2 |
"5 |
|
. |
∆ -2 |
3 |
"2- "24 12 |
70 45 " 8 " 56 39 0 |
|
3 |
"7 |
"2 |
39 |
|
Ранг матриці системи дорівнює 3 ! ^$ 3# і співпадає з числом невідомих. За умовою теореми 1.4 така система має
лише тривіальний розв’язок. Отже,
Відповідь: b 0, b 0, b 0.
Приклад 1.18. Розв’язати систему лінійних однорідних
алгебраїчних рівнянь:
j2bb "2bb "3bb 00g 3b 2b b 0 .
Розв’язання: Обчислимо визначник системи |
|
||
2 |
"1 |
3 |
. |
∆ -1 |
2 |
"1- 4 3 6 " 18 1 4 0 |
|
3 |
2 |
1 |
|
Ранг матриці менший 3, тому за умовою теореми 1.4 така
система має нетривіальний розв’язок. Знайдемо його, |
||||||
виключивши одне з рівнянь, наприклад третє: |
||||||
|
|
|
|
2b " b 3b 0. |
||
b |
, |
z b 2b " b 0 g |
||||
2b " b "3 . |
||||||
Нехай |
:b |
де - довільне число. |
Виразимо b і b через |
|||
|
|
|
|
z b 2b |
g |
|
Розв’яжемо отриману систему за формулами Крамера: |
||||||
∆ '2 "1' 4 1 5; |
|
|
||||
1 |
2 |
"1 |
|
|
|
|
"3 |
|
' "6 5 "5 |
; |
|
||
∆ ' |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|