Teoreticheskaya_mehanika._Kinematikastatika._Uch._metod._posobie

101

проверить правильность полученных результатов методом сплошных сечений;

проанализировать полученные результаты.
Решение:
Из геометрии задачи вычислим								значение косинусов и синусов углов,
образованных стержнями в узлах фермы (рис. 3.27):
			L		2
	2							L 5
BD	L									;
								2
			2

sin cos				L		2			1		5 0,447;
				2		L	5		5		5
sin cos L						2			2	2	5	0,894.
						L 5			5		5
			L							L
y								P3
RB B			4			E				8		F
	3											P
												2
									7
						5							L
												9
	2
				D		6				C	P1
VA		1											L
	A			HA
													x
					Рис. 3.27
Составим систему уравнений равновесия:

102

Fix 0, P1 H A RB 0;

M Ai 0, P1L RB 2L P3L P2 2L 0;

Fiy 0, VA P2 P3 0.

Решаем эту систему:

H A RB P1 33,5 10 23,5 kH;

R			P1L P3L P2 2L		10 2 15 2 21 2 2	33,5 kH;
	B
			2L		2 2

VA P2 P3 21 15 36 kH.

Проверка:

M C i P2 0,5L P3 0,5L RB L VA1,5L H AL

21 0,5 2 15 0,5 2 33,5 2 36 1,5 2 23,5 2 0.

Получили: RB = 33,5 кН, НA=23,5 кН, VA=36 кН.

Вычисление усилий в стержнях (способ вырезания узлов).

Последовательно вырезаем узлы и составляем условия равновесия для системы сходящихся сил: внешних сил и усилий в стержнях, приложенных к этому узлу.

При аналитическом способе решения считаем все стержни в растянутом состоянии (усилие направляем от узла к центру стержня).

При геометрическом способе показываем верное направление усилий.

Узел А (рис. 3.28)

а

б

Рис. 3.28

103

Система уравнений равновесия:

Fix 0, H A S1 sin 0;

Fiy 0, VA S1 cos S 2

откуда

S1 H A 23,5 5 kH; sin

S 2 VA S1 cos 36 ( 23,55)

0,

25 11kH.

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (построение выполняется в масштабе рис. 3.28, б).

Узел В (рис. 3.29)

RB B

S2

S4

S

3

а

б

Рис. 3.29

Система уравнений равновесия:

		Fiy					0,	S3 cos S 2				0;
								RB S 4 S3 sin 0,
		Fix				0,
откуда
				S 2			11		5		5,5
S3												5 kH;
			cos						2
		R		S			sin 33,5 ( 5,5									1			39 kH.
S	4		B		3									5)
												5

104

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (рис. 3.29, б)

.

Узел D (рис.3.30)

S3 S5

D S6

S1

а

б

Рис. 3.30

Система уравнений равновесия:

Fiy 0, S3 cos S5 cos S1 cos 0;

Fix 0, S3 sin S6 S5 sin S1 sin 0,

откуда

	S5		S1 S3			23,5			5 ( 5,5		5) 18			5 kH;
																			1			11kH.
	S	6	(S	3	S	5	S	)sin ( 5,5			5 ( 18			5) 23,5			5)
							1										5

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (рис. 3.30, б).

Узел Е (рис. 3.31)

S4

E	P3	S8
		S7
S5
а		б
		Рис. 3.31

105

Система уравнений равновесия:

Fiy 0, P3 S5 sin S7 sin 0;

Fix 0, S 4 S5 cos S8 S7 cos 0,

откуда

				P3 S5 sin								5
	S7								15				( 18	5) 10,5 5 kH;
						sin						2
			S			S		cos S			cos 39 18						1				10,5						1			10,5 kH.
	S	8			4		5			7					5									5
														5													5

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (рис. 3.31, б).

Узел F (рис. 3.32)

S8

S9

F

P2

а

б

Рис. 3.32

Осталось вычислить S9. Для этого достаточно составить одно уравне-

ние:

		Fiy		0,		S9 sin P2 0,
откуда
			P2				5
S	9				21				10,5 5 kH.
			sin
							2

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (рис. 3.32, б).

106

Способ Риттера. Проверим правильность расчета усилий в стержнях 4, 5 и 6. Для этого рассекаем ферму сечением, проходящим через эти три стержня, на две части и рассмотрим равновесие правой части фермы

(рис. 3. 33).

			L
y		P3
S	E				F
4
					P
					2
	S5				L
D	S6		C	P1	x
			Рис. 3.33

Составим систему уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил (уравнения моментов составляем относительно точек Риттера –

D и E):

M Di 0,	S 4 L P3 0,5L P2 1,5L 0;
M Ei 0,	S6 L P1L P2L 0;
Fiy 0,	S5 sin P2 P3 0,

здесь ось y не перпендикулярна прямой (DE). Отсюда

S 4				P3 0,5L P2 1,5L							15			0,5 2 21 1,5 2					39 kH;
						L								2
S			P1L P2 L					10 2		21 2						11 kH;
	6
					L	2
					P2 P3
												5
S	5					(21 15)										18 5 kH.
					sin
											2

Значения усилий в стержнях, рассчитанные разными способами, совпа-

дают.

107

Ответ: в (кН)

HA	VA	RB	S1			S2	S3			S4	S5			S6	S7			S8	S9
23,5	36	33,5				11				39				– 11				10,5
			23,5 5				5,5 5				18 5				10,5 5				10,5 5

Вывод: стержни 2, 4, 7, 8 растянуты; стержни 1, 3, 5, 6, 9 сжаты.

3.3. Принципы расчета составных конструкций

Силы, действующие в рассматриваемой механической системе, подраз-

деляются на внутренние и внешние.

Внутренними называются силы, с которыми действуют друг на друга тела и точки данной механической системы.

Внешними называются силы, с которыми на тела и точки данной механической системы действуют тела, в неѐ не входящие.

Связи данной механической системы также подразделяются на внешние

и внутренние.

При рассмотрении механической системы, состоящей из нескольких тел, ставятся задачи определить реакций внешних и внутренних связей.

Как известно, внутренние силы представляют собой уравновешенную систему сил, и для их определения используют метод сечений, который позволяет внутренние силы перевести в разряд внешних.

Для расчета конструкций, состоящих из системы тел, соединенных шарнирами, составляют дополнительные уравнения: сумма моментов сил,

действующих на левую (правую) половину составной конструкции относительно врезанного шарнира С, равняется нулю, т. е.

M Ciлев. 0 ,

M Ciправ. 0 .

При вычислении реакций врезанного шарнира конструкцию мысленно рассекают по внутреннему шарниру (С) и рассматривают равновесие каждой части конструкции.

108

Содержание контрольных работ для студентов на тему «составные конструкции» дано в приложении (контрольная работа 3, задача 3).

Пример 3.7. Две балки АС и СВ соединены шарниром С (рис. 3.34, а). Вычислить реакции опор А, В и силы давления на шарнир С, если на балку действуют F1 10 кН, F2 20 кН, a 1 м.

Решение. Для вычисления реакций опор используем метод сечения, отбросим опоры в точках А и В (рис. 3.34, б).

	а			б
			Рис. 3.34
Запишем уравнение моментов от нагрузки, расположенной слева от
шарнира С (на балку АС):
M Cлевi . 0 ,	H A 4a F	2	2a 0 ,	H A 4 20 2 0 ,	H A 10 кН.
Запишем проекции всех сил на ось x, приложенных к балкам АС и СВ
(рис. 3.34, б):
Fi x 0 ,	H A F2 H B 0 ,			10 20 HB 0 ,	HB 10 кН.

Запишем уравнение моментов относительно точки А от всех сил, действующих на балки АС и СВ:

109

M Ai 0 , VB 2a F2 2a F1 2a 0 , VB 2 20 2 10 2 0 ,

VB 30 кН.

Запишем проекции всех сил на ось y, приложенных к балкам АС и СВ

(рис. 3.34, б):

Fi y 0 , VA F1 VB 0 , VA F1 VB 10 30 20 кН.

Вычислим силы давления на шарнир С. Выделим стержни АС и СВ. При этом силы x C и y C шарнира С, действующие на стержень СВ, направ-

лены противоположно силам x C и y C , действующим на стержень АС; по модулю они равны (рис. 3.35).

а

б

Рис. 3.35

Запишем проекции всех сил на ось x для балки АС (рис. 3.35, а):

Fi x 0 ,

xC F2 H A 0 ,

x C 20 10 0 ,

xC 10 кН.

Запишем проекции всех сил на ось y для балки АС (рис. 3.35, а):

Fi y 0 ,

yC VA 0,

y C 20 0 ,

y C 20 кН.

110

Проверка: M Bi 0 ,	VA 2a F2		2a 20 2 20 2 0 .
Ответ: H A 10 кН,		VA 20	кН; HB 10 кН,	VB 30 кН;
x C 10 кН,		y C 20 кН.

Пример 3.8. Задана составная конструкция (рис. 3.36).

L L

q P1

	C

L
P2
	q	B
M
L
	2L
A
	Рис. 3.36

1,5L

Дано: P1 = 10 кН; P2 = 21 кН; М = 9 кНм; q = 5 кН/м; L = 2 м; = 30 .

Требуется: реакции внешних наложенных связей (HA, VA, HB, VB), реакции внутреннего шарнира (HC, VC).

Решение. Для вычисления реакций опор используем метод сечения, отбросим опоры в точках А и В и заменим их действие реакциями (HA, VA, HB, VB) (рис. 3.37).

Распределенную нагрузку заменим сосредоточенными силами:

Q1 = 2qL = 2∙5∙2 = 20 кН,

Q2 = qL = 5∙2 = 10 кН.