Teoreticheskaya_mehanika._Kinematikastatika._Uch._metod._posobie

71

Рис. 2.34

Содержание контрольных работ для студентов на тему «плоское движение твердого тела» дано в приложении (контрольная работа 2, задачи 1 и

2).

Пример 2.7.

Исходные данные: кривошип ОА длиной 60 см вращается ускоренно относительно оси О и приводит в движение ролик 1 радиусом r1 20 см, ко-

торый катится без скольжения по неподвижному колесу 2 (рис. 2.35). Пара-

метры вращения кривошипа в данный момент		времени	2 с-1,
			ОА
	1 с-2.
	ОА
	Требуется: определить угловую скорость 1	и угловое ускорение 1

ролика, вычислить скорость и ускорение точки В, находящейся на ролике на расстоянии 10 см от точки А.

Рис. 2.35

72

Решение. Кривошип ОА совершает вращательное движение относительно оси, проходящей через неподвижный центр О. Скорость и ускорение точки А кривошипа вычисляют по формулам:

VА ОА ОА 2 60 120 см/с;

a A a A a An .

Подвижный ролик движется плоскопараллельно. Вычислим 1 и 1

подвижного ролика. Плоское движение ролика можно привести к мгновенновращательному движению относительно мгновенного центра скоростей (МЦС), этим центром является точка касания Р (рис. 2.36).

Запишем уравнение связи между движениями кривошипа и ролика. Точка А одновременно принадлежит кривошипу ОА и ролику 1. Следовательно, перемещение точки А:

S				OA AP , т. е.			ОА	.
	A		OA
				1	1	ОА АP

Рис. 2.36

Угловая скорость и угловое ускорение ролика 1 тогда вычисляются:

ОА

ОА

ОА

ОА

ОА

2 60

6 с-1;

АP

АP

r

20

1

1

ОА

ОА

1

ОА

ОА

ОА

ОА

1 60

3

с-2.

АP

АP

r1

20

1

1

ОА

73

Угол вращения ролика относительно точки Р (точка МЦС) совпадает с углом вращения кривошипа (рис. 2.36). Направления вращения 1 и 1 ро-

лика 1 совпадают, отмечаем их дуговыми стрелками; следовательно, движение ролика 1 является ускоренным, как и кривошипа ОА.

Скорость точки В.

Точка В находится на ролике 1, следовательно, еѐ скорость определяется как скорость точки, вращающейся вокруг МЦС, т. е. точки Р:

VВ 1 ВР .

Из геометрии задачи определим по теореме косинусов расстояние ВР:

ВР ( АР)2 ( АВ)2 2 ( АР) ( АВ) cos135

202 102 2 20 10 ( 0,707) 782,8 27,98 28 см.

Тогда скорость точки В:

VВ 1 ВР 6 28 168 см/с.

Вектор V В перпендикулярен отрезку ВР и направлен в сторону враще-

ния 1 ролика (рис. 2.36).

1. Ускорение точки В.

а

б

Рис. 2.37

74

Ускорение точки В складывается из ускорения полюса и ускорения точки В при еѐ вращении вместе с роликом вокруг этого полюса. За полюс примем точку А, т. к. еѐ ускорение известно.

Тогда ускорение точки В запишется (рис. 2.37, а)

n

n

.

а

В

а

A

а

В( A)

а

а

a

a

A

A

В( A)

В( A)

Здесь:

a An OA2

OA 4 60 240 см/с2

нормальная составляющая ускорения

полюса, направлена от точки А к центру О;

а

ОА 1 60 60 см/с2 касательная составляющая ускорения

A

ОА

полюса, направлена перпендикулярно

n

а

в сторону углового ускорения кри-

A

вошипа ОА ОА ;

a

АВ 3 10 30 см/с2

ускорения точки В при еѐ вращении

В( A)

1

относительно полюса А;

вектор

a

перпендикулярен АВ и направлен в

В( A)

сторону дуговой стрелки 1

;

an

2 AB 62

10 360 см/с2,

вектор

n

a

направлен по отрезку

В( A)

1

В( A)

АВ от точки В к точке А.

Выражение для расчета ускорения точки В записано в векторной форме. Для аналитических вычислений необходимо спроецировать это векторное равенство на две оси координат, тогда теорема примет вид

	а	B	а		а n	a n	a	a	a	,	где
				A	A	B( A)	B( A)		Bx	By
a	aix			a An aB( A) cos 45				aBn ( A) sin 45			240 30 0,707 360 0,707
	Bx
	= – 473,31 см/с2;
a	aiy			a A aB( A) cos45				aBn ( A) sin 45			60 30 0,707 360 0,707
	By

= 335,73 см/с2.

75

Модуль ускорения точки В вычислим по формуле:

aB (a Bx )2 (a By ) 2 ( 473,31) 2 (335,73) 2 580,29 см/с2.

Для определения направления вектора полного ускорения точки В строится параллелограмм на его проекциях a Bx и a By , диагональ этого па-

раллелограмма и будет вектором ускорения точки В.

Ответ:	6 с-1,		3 с-2; V	В	168	см/с;	а	580,3 см/с2.
1			1					В

Пример 2.8.

В кривошипно-шатунном механизме кривошип ОА вращается замедленно относительно центра О с угловой скоростью 0 и угловым ускорени-

ем 0 (рис. 2.38) и приводит в движение шатун АВ.

Рис. 2.38

Исходные данные: ОА = 35 см; АС = 40 см; 0 = 4 с-1; 0 = 8 с-2;

(ОАВ) = 900.

Для заданного положения механизма вычислить:

1.скорости точек А, В, С и угловую скорость шатуна АВ;

2.ускорения точек А, В, С и угловое ускорение шатуна АВ.

Решение

В кривошипно-шатунном механизме кривошип ОА вращается относительно центра О, шатун АВ движется плоскопараллельно, ползун В движется поступательно.

1. Скорости точек и угловая скорость шатуна.

76

Точка А одновременно принадлежит и кривошипу ОА, и шатуну АВ. Рассматривая вращение кривошипа, скорость точки А рассчитываем по формуле

VA 0 OA 4 35 140 см/с.

Вектор скорости V A перпендикулярен кривошипу ОА и направлен в сторону угловой скорости кривошипа (рис. 2.39).

Рис. 2.39

Рассмотрим движение шатуна АВ. Заменим плоское движение шатуна АВ мгновенно-вращательным относительно мгновенного центра скоростей (МЦС). Вектор скорости точки В шатуна направлен вдоль направляющих ползуна, в данном случае по горизонтали. Для нахождения МЦС восстановим перпендикуляры к построенным векторам скоростей V A и VB , на их пересечении будет находиться МЦС шатуна точка Р (рис. 2.39).

Направление мгновенного вращения шатуна АВ вокруг МЦС AB

определяем по направлению вращения вектора V A относительно точки Р. Величина угловой скорости шатуна и скорости точек рассчитывается

из выражения:

77

AB VAPA VBPB CPVC .

Если положение кривошипно-шатунного механизма фиксировано и начерчено в масштабе, то расстояния ВР и СР измеряются с чертежа линейкой. В общем случае рассматривают геометрию задачи (рис. 2.39).

Рассмотрим треугольники ОАВ и ОРВ:

из ОАВ

AB OA tg600 35 3 60,6 см;

из ОАВ

PA AB tg600 OA tg 2 600 35 (3)2 105 см,

PC AP 2 AC 2 OA2 tg 4 (60 0 ) AC 2

	352 (
					3) 4 40 2 112, 4 см.
Тогда
			VA				140	1,33 с-1;
	AB
			PA	105

VC AB PC 1,33 112,4 149,5 см/с.

Вектор скорости VC перпендикулярен отрезку РС и направлен в сторону мгновенного вращения шатуна AB (рис. 2.39).

Скорость точки В можно вычислить из выражения VB AB PB (для этого надо определить РВ), или удобнее воспользоваться первым следствием теоремы о скорости точки плоской фигуры: проекции скоростей точек А и В на прямую (АВ) равны:

															V	A	cos00 V			B	cos300	,
				cos 00							1
тогда VB		V	A				140								280		3		161,7 см/с.
					0										3
		cos30							3
							2

2. Ускорения точек и угловое ускорение шатуна.

Определим ускорение точки А. Так как движение кривошипа ОА вращательное, то

78

а A а A а nA

a A 0 OA 8 35 280 см/с2; a An 02 OA 42 35 560 см/с2;

a A a A 2 a An 2 2802 5602 626,1см/с2.

Рассчитываем ускорение точки В ползуна. Для этого рассмотрим еѐ в движении с шатуном АВ. Так как ускорение точки А уже найдено, то принимаем точку А за полюс, тогда по теореме

					аB а A аB( A) ,
или	а	а	a n	a			а	а n	a n	a	,
	В	A	В( A)		В( A)		A	A	В( A)	В( A)
здесь (рис. 2.40, а): вектор					n
				a		направлен по шатуну АВ от точки В к точке
					В( A)
А; вектор	a	располагаем перпендикулярно шатуну АВ (направление вы-
	В( A)

бираем произвольно, т. к. направление АВ пока неизвестно): aBn( A) AB2 AB 1,332 60,6 107, 2 см/с2,

aB( A) AB AB .

Прикладываем векторы а A , а An , a В( A) , a Вn( A) к точке В (рис. 2.40, б).

а

б

Рис. 2.40

и аВ означают, что направления этих векторов, указанные на

79

Ускорение точки В определяется векторным уравнением:

а а a n

a

а

а n

a n

a .

(а)

В

A

В( A)

В( A)

A

A

В( A)

В( A)

Таким образом, получили векторное равенство с двумя неизвестными:

а

В

и a

АВ .

В( A)

АВ

Вычислить а В

и

можно двумя способами аналитическим и гео-

АВ

метрическим. Рассмотрим каждый из указанных способов.

Аналитический способ. Начало декартовой системы координат совместим с точкой В, одну из осей выбираем перпендикулярно одной из неизвестных, например, ось Вy перпендикулярна оси направляющих ползуна (т. е.aB ), тогда ось Вx – вдоль направляющих ползуна (рис. 2.40, б). Вектор ус-

корения ползуна а В

направлен вдоль оси Вx , поэтому проекция вектора а В

на ось Вy равна нулю. Из (а) получаем:

y 0 a

sin 30

a n cos 30

a n

sin 30 a

cos30 ;

A

A

B( A)

B( A)

a n

cos 30

a

sin 30

a n

sin 30

A

A

B( A)

aB( A)

cos30

560

3

280

1

107, 2

1

2

2

2

659,8 см/с2;

3

2

x a

B

a

cos 30

a n sin

30 a n

cos30

a

sin 30

A

A

B( A)

B( A)

aB 280

3

560

1

107,2

3

659,8

1

199,5 см/с2.

2

2

2

2

Знаки (+) у aB( A) рис. 2.40, верны.

Вычисляем угловое ускорение шатуна:

80

AB aABAB 659,860,6 10,9 с-2,

направление AB определяется вращением вектора aB( A) относительно по-

люса А, т. е. получаем против хода часовой стрелки (рис. 2.40, а).

Вычислим ускорение точки С (рис. 2.41). По теореме ускорение точки С:

n

n

а

С

а

а

a

a

,

(б)

A

A

С ( A)

С ( A)

здесь (рис. 2.41, а): вектор aCn( A)

направлен по шатуну АВ от точки С к точке

А; вектор aC ( A) перпендикулярно шатуну АВ по найденному направлению АВ

вокруг полюса А.

aCn( A) AB2 AC 1,332 40 70,8 (см/с2), aC ( A) AB AC 10,9 40 436 (см/с2).

Сводим вектора a A , a An , aC ( A) , aCn( A) в точку С (рис. 2.41 б).

а

б

Рис. 1.41