Задачи по Физике

41

Напряженность электрического поля в точке А, создаваемая этим элементом,

dE	dQ			. Она направлена по линии,	соединяющей элемент кольца d	с
	4	0	x 2

точкой А. Для нахождения напряженности поля всего кольца надо векторно
сложить dE		от всех элементов. Вектор dE можно разложить на составляющие
dE и	dE .	Составляющие dE каждых двух диаметрально противоположных

																									Q
элементов взаимно уничтожаются, и тогда dE2																						0 , а EA dE1			dE1	;
																									0
									a			dQa
					dE	dE											, но x					a2 r2 ,
					1				x			4		x3
													0
						Q					adQ										aQ
					ЕА																			,
										(a 2				3				4				3
						0 4			0			r2 )			2				0	(a 2 r2 ) 2
где Q − заряд кольца, Q dQ 2 r . Тогда
E					2 ra						5 10 2				0,1 1,4 10							8		2,83 103 B / м .
	A		4		(a 2 r2 ) 32			2 8,85				10 12 (0,12						(5 10 2 )2 ) 32
				0

Пример 23. Конденсатор емкостью С1=3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1=40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С2=5 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение: Энергия, израсходованная на образование искры, −

	W W1 W2 ,	(1)
где W1	– энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к
нему	второго конденсатора; W2 – энергия,	которую имеет батарея,
составленная из двух конденсаторов.

42

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

	W	1	CU 2	,	(2)
		2

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии W1 и W2 по формуле (2) и приняв во внимание,

что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

W 12 C1U12 12 (C1 C2 )U22 ,

где U2 – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов. Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:

						U										Q					C1U2			.
								2
													C1			C2				C1 C2
Подставив выражение U2 в (3), найдем
							C		U 2							C	1	C			2	C2 U 2
				W				1		1												1 1			,
								2								2 C1				C2 2
или
	1		C C	2	U 2						1 3 10 6 5 10 6
W		1																					1600 1,5 мДж .
	2 C1 C2					1					2 3 10 6 5 10 6

(3)

остался

(4)

Пример 24. Сила тока в проводнике сопротивлением R=20 Ом нарастает в течение t=2 с по линейному закону от I0=0 до I=6 А. Определить теплоту, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду(Q1), за вторую секунду

(Q2), а также найти отношение Q 2 . Q1

Решение. Закон Джоуля-Ленца в виде Q I2 Rt справедлив для постоянного тока (I=const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала и записывается в виде

dQ I2 Rdt .	(1)
В данном случае сила тока является некоторой функцией времени
I kt ,	(2)

где k – коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока:

k			6	3	A	.
	t
			2		c
С учетом (2) формула (1) примет вид
	dQ k 2 RI 2 qt .						(3)

43

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени t, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t1 до t2:

							t			1		k2R t32 t13		.
	Q k2R 2 t 2dt
							t1			3
	Произведем вычисления:
	Q			1			3220(1 0) 60 Дж;
	1		3
	Q				1		3220(8 1) 420 Дж.
		2
			3
	Следовательно,							Q2			420		7 .
								Q1		60

Пример 25. Если вольтметр соединить последовательно с сопротивлением R=10 кОм, то при напряжении U0=120 В он покажет U1=50 В. Если соединить его последовательно с неизвестным сопротивлением Rх, то при том же напряжении вольтметр покажет U2=10 В. Определить это сопротивление.

Решение. Данная цепь представляет собой последовательное соединение двух элементов: вольтметра и сопротивления. При последовательном соединении

сила тока одинакова на всех участках цепи. Рассматриваемая цепь является
однородной:		U0	U1
	U1			,	(1)
	R v		R

где U1 и RV − напряжение на вольтметре и его сопротивление; U0-U1=UR – напряжение сопротивления R (рис. 17).

Для случая, когда включено неизвестное сопротивление,
						U2	U0 U2		.	(2)
						R v		R х
Исключив из (1) и (2) величину RV, получим
R			U0	U2 U1		120		10 50 79 103		Oм.
	x
			(U0	U1 )U2		120		50 10

44

Контрольные задания

Вариант 1

1. Движение двух материальных точек выражаются следующими уравнениями: x1 = A1 + B1t + C1t2, x2 = A2 + B2t + C2t2, где A1 = 20 м; A2 = 2 м; B2 = B1 = 2 м/с;

C1 = 4 м/с2; C2 = 0,5 м/c2. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости и ускорения точек в этот момент.

2.С какой высоты H упало тело, если последний метр своего пути она прошло за время t = 0,1 с?

3.С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через промежуток времени t = 2 с камень упал на землю на расстоянии S = 40 м от основания вышки. Определить начальную v0 и конечную v скорости камня.

4.На невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный легкий

блок, подвешены грузы массой m1 = 400 г и m2 = 450 г. За некоторое время после начала движения грузы прошли путь h = 1,2 м, двигаясь с некоторым ускорением. Найти время t, ускорение a движения грузов и силу натяжения T нити.

5.Падающий вертикально шарик массой m=0,2 кг ударился об пол и подпрыгнул на высоту h=0,4 м. Найти среднюю силу Fср, действующую со

стороны пола на шарик, если длительность удара t = 0,01 с; к моменту удара об пол скорость шарика равна v = 5 м/с.

6. Тело массой m1=990 г лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массой m2=10 г и застревает в нем. Скорость пули равна v2=700 м/с и направлена горизонтально. Какой путь пройдет тело до остановки? Коэффициент трения между телом и поверхностью =0,05.

7.Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону = A + Bt + Ct2, где А = 10 рад; В = 20 рад/c; С= 2 рад/с2. Найти угловую скорость и угловое ускорение тела для момента времени t = 5 с.

8.Определить момент инерции J сплошного однородного диска радиусом R =

40см и массой m = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

9.На сплошной цилиндрический вал радиусом R=0,5 м намотан шнур, к концу

которого привязан груз массой m=10 кг. Найти момент инерции J вала и его массу m, если груз, при разматывании шнура опускается с ускорением a=2 м/с2.

10.Человек стоит в центре легко вращающейся платформы. Момент инерции платформы с человеком на ней относительно оси платформы равен J=1,5 кг·м2. При раздвижении рук в горизонтальном положении момент инерции человека возрастает вдвое. Если при этом в руках человека гантели, то угловая скорость уменьшается в 4 раза. Найти массу m гантели, если начальное расстояние между гантелями r1 = 0,4 м, а конечное r2 = 1,6 м.

11.Движение тела массой m = 2 кг описывается законом x = 0,8 sin(πt + π/2). Записать уравнения скорости v(t), ускорения a(t) и силы F(t) тела. Определить

45

энергию E колеблющегося тела, максимальную скорость vmax и ускорение amax, действующее на него.

12.К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая энергия колебаний груза ЕКmax=1 Дж. Амплитуда колебаний A= 5 см. Найти жесткость k пружины.

13.Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях,

происходящих вдоль оси х и описываемых уравнениями x1 = 3 cos2ωt см и х2 = 4 cos(2ωt +π) см. Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд. Построить график колебаний x1, x2 и результирующего колебания.

14.В баллоне находится газ массой m = 10 кг при давлении p = 10 МПа. Какую

массу m взяли из баллона, если давление стало равным 2,5 МПа? Температуру газа считать постоянной.

15.Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении p = 40 кПа составляет = 0,37 кг/м3.

16.Определить плотность смеси, состоящей из m1 = 4 г водорода, m2 = 32 г

кислорода, при температуре t = 7 С и давлении p = 93 кПа.

17.Одному молю двухатомного газа сообщили Q = 20 Дж тепла, в результате чего газ нагрелся на несколько градусов при постоянном объеме. Какое количество тепла нужно сообщить метану массой m = 30 г, чтобы нагреть его на такое же число градусов при постоянном давлении?

18.Кислород массой m = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под

давлением p1 = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3 = 0,5 МПа.

Найти изменение внутренней энергии U газа, совершаемую им работу A и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

19. Удельная теплоемкость газа при постоянном давлении равна ср=912 Дж/кг К, а при постоянном объеме сv=649 Дж/кг К. Определить молекулярный вес газа и число степеней свободы его молекул.

20.Расстояние между двумя точечными зарядами q1 = 1 мкКл и q2 = –1мкКл равно r = 10 см. Определить силу F, действующую на точечный заряд, равный q = 0,1 мкКл и удаленный на r1 = 6 см от первого и на r2 = 8 см от второго заряда.

21.Протон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор

параллельно его пластинам со скоростью v0 = 1,2 105 м/с. Напряженность поля внутри конденсатора E = 3 кВ/м, длина его пластин L = 10 см. Во сколько раз скорость протона при вылете из конденсатора будет больше его начальной скорости?

22. Шарик массой m = 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А, потенциал которой 600 В, в точку М с потенциалом, равным нулю. Какова была скорость шарика в точке А, если в точке М она стала равной vМ = 20 см/с?

23. Батарея состоит из 5-ти последовательно соединенных одинаковых элементов. ЭДС каждого элемента равна = 1,5 В, внутреннее сопротивление каждого элемента r = 0,2 Ом. Определить полную, полезную мощность и

46

коэффициент полезного действия батареи, если она замкнута на внешнее сопротивление R = 50 Ом.

24.Сила тока в проводнике сопротивлением R = 10 Ом равномерно убывает от

10А до 0 за t = 30 с. Определить выделившееся за это время количество теплоты.

25.По медному проводнику сечением S = 0,4 мм2 идет ток силой I = 0,2 А. Какова напряженность E электрического поля в проводнике?

Вариант 2

1.Точка движется по прямой согласно уравнению S = 6t + 1/8 t3 (длина в метрах, время в секундах). Определить среднюю скорость <v> и ускорение <a> точки за интервал времени от t1 = 2 с до t2 = 6 с.

2.Камень падает с высоты h = 1200 м. Какой путь пройдет камень за последнюю секунду своего падения?

3.Тело брошено под углом = 30 к горизонту. Найти тангенциальное а и нормальное аn ускорения тела в начальный момент движения.

4.Наклонная плоскость имеет длину L = 5 м и высоту H = 3 м. Тело массой m =

400кг прижимается к наклонной плоскости силой, параллельной ее основанию. Какой должна быть эта сила, чтобы тело двигалось равномерно вверх?

Коэффициент трения о плоскость = 0,1.

5.Шар массой m1 = 10 кг, движущийся со скоростью v1 = 4 м/с, сталкивается с шаром массой m2 = 4 кг, скорость которого v2 = 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти скорость шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг другу.

6.Пуля массой m1 = 10 г, летевшая горизонтально со скоростью v1 = 600 м/с, попала в баллистический маятник массой m2 = 5 кг и застряла в нем. На какую высоту h, откачнувшись после удара, поднялся маятник?

7.Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток времени t = 10 с достиг частоты вращения, равной n = 300 мин-1. Определить угловое ускорение

маховика и число оборотов N, которое он сделал за это время.

8. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 50 см приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения МТР = 2 Н м. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно = 12 рад/с2.

9.Обруч и диск имеют одинаковую массу и катятся без проскальзывания с одинаковой скоростью. Кинетическая энергия обруча равна 40 Дж. Найти кинетическую энергию диска.

10.Платформа в виде диска вращается по инерции вокруг вертикальной оси с

частотой n1 = 15 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до n2 = 25 об/мин. Масса человека m = 70 кг. Определить массу M платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

47

11. Полная энергия Е тела, совершающего гармонические колебания по синусоидальному закону, равна 30 мкДж; максимальная сила Fmax, действующая на тело, составляет 1,5 мН. Написать закон движения этого тела, если период колебания T равен 2 с и начальная фаза 0 равна π/3 рад.

12.Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.

13.Складываются два гармонических колебания одного направления,

описываемые уравнениями x1= 3 cos(2πt+π) см и x2 = 3 cos(2πt+π/2) см. Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму

сложения амплитуд. Построить график колебаний x1, x2 и результирующего колебания.

14.Из баллона со сжатым газом вследствие неисправности вентиля вытекал газ.

Какая часть газа осталась в баллоне, если первоначально при температуре t1 = 27° С манометр показывал давление p1 = 60 атм, а через некоторое время при температуре t2 = 12° С – p2 = 19 атм?

15.Во сколько раз изменится средняя квадратичная скорость молекул идеального газа при увеличении его объема в 2 раза? Давление газа при этом увеличится в 3 раза, масса неизменна.

16.Определить плотность смеси газов, находящихся при давлении p = 1 МПа и

температуре t = 27 С. Смесь состоит из 5 киломолей азота, 1,5 киломолей кислорода и 0,5 киломоля углекислого газа.

17.Водород массой m = 40 г, имевший температуру T = 300 К, адиабатически расширяется; при этом объем газа возрастает втрое. Затем при изотермическом сжатии объем газа уменьшается в 2 раза. Определить полную работу, совершенную газом, и конечную температуру газа. Построить график процесса.

18.В цилиндре объемом V1 = 190 см3 под поршнем находится газ при

температуре Т1 = 323 К. Найти работу расширения газа при нагревании его на ∆Т = 100 К. Масса поршня m = 120 кг, его площадь S = 50 см 2. Атмосферное давление р0 =0,1 МПа.

19.Температура нагревателя тепловой машины 227 С. Определите КПД идеального двигателя и температуру холодильника, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученного от нагревателя, двигатель совершает 350 Дж механической работы.

20.Поле образовано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с

поверхностной плотностью заряда =10-8 Кл/м2. Определить разность потенциалов двух точек поля, находящихся на расстоянии x1 = 5 см и х2 = 10 см от плоскости.

21. Какая работа совершается при перенесении точечного заряда q=20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r=1 см от поверхности шара радиусом R = 1 см с поверхностной плотностью заряда =10 мкКл/м2?

22. Площадь пластины плоского воздушного конденсатора S=0,01 м2, расстояние между ними d1=2 см. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=3 кВ. Какова будет напряженность поля конденсатора,

48

если, не отключая его от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстояния d2=4 см между ними. Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин.

23.От полюсов генератора с напряжением U=220 В идет линия для освещения помещения. В нее последовательно включены четыре лампы, каждая из которых требует напряжения U=42 В и силы тока I=10 А. Определить сопротивление реостата, который необходимо включить в линию,

изготовленную из алюминиевого провода длиной L=400 м и площадью поперечного сечения S=2,5 мм2.

24.Какой заряд пройдет по проводнику сопротивлением R=1 кОм при равномерном нарастании напряжения на его концах от 15 В до 25 В в течение

t = 20 с?

25. Электродвижущая сила батареи равна = 80 В, внутреннее сопротивление r = 5 Ом. Внешняя цепь потребляет мощность PR = 100 Вт. Определить силу тока в цепи, напряжение, под которым она находится, и ее сопротивление.

Вариант 3

1.Уравнения прямолинейного движения точек заданы в виде S1 = 4t2 + t и S2 = 5t3 + t2 (расстояние – в метрах, время – в секундах). В какой момент времени скорости точек будут равны? Определить ускорения точек в этот момент времени.

2.Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте

h = 8,6 м два раза с интервалом t = 3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

3.Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной

скоростью v0 = 30 м/с. Определить скорость v, тангенциальное а и нормальное аn ускорения камня в конце второй секунды после начала движения.

4.На наклонной плоскости укреплен блок, через который перекинута нить. К

одному концу нити привязан груз массой m1 = 1 кг, лежащий на наклонной плоскости. На другом конце нити висит груз массой m2 = 3 кг. Наклонная

плоскость образует с горизонтом угол = 30 . Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью = 0,1. Определить ускорение грузов.

5. На горизонтальных рельсах стоит платформа с песком (общая масса равна m1 = 5 103 кг). В песок попадает снаряд массой m2 = 5 кг, пролетевший вдоль рельсов. В момент попадания скорость снаряда равна v2 = 400 м/c и направлена сверху вниз под углом = 370 к горизонту. Найти скорость платформы v, если снаряд застревает в песке.

6. Камень массой m = 0,5 кг бросили под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью. Его начальная кинетическая энергия Eк0 = 25 Дж. На высоте h = 2 м скорость камня равна v. Определить начальную скорость камня v0, скорость камня на высоте h и угол , под которым бросили камень.

49

7.Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону = A + Bt + Ct2, где A = 10 рад; В = 20 рад/c; С = 2 рад/с2. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения, для момента времени, равного t = 4 с.

8.Маховое колесо, имеющее момент инерции J = 245 кг м2, вращается, делая n = 20 оборотов в секунду. Через t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти: а) момент сил

трения M ТР; б) число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки (после прекращения действия сил).

9.К ободу покоящегося диска массой m=5 кг приложена постоянная

касательная сила F = 20 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через t = 5 с после начала действия силы? Диск может свободно вращаться относительно оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной его плоскости.

10. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной L = 2,4 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамья с человеком вращается с частотой n1 = 1 с 1. С какой частотой n2 будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи равен J = 6 кг м2.

11.Точка совершает гармонические колебания с частотой = 10 Гц. В момент,

принятый за начальный, точка имела максимальное смещение хmax = 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить график этого движения.

12.Дифференциальное уравнение колебаний математического маятника имеет

	вид	d2		4 0	. Определить период T колебаний маятника.
		dt2

13.Точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = 3 cosωt и y = 4 cosωt. Определить уравнение траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба.

14.В неплотно закрытом баллоне объемом V = 10-2 м3 при температуре Т=239 К и давлении р = 10 МПа находился водород. Сколько водорода было потеряно, если из оставшегося водорода может образоваться вода массой m = 0,5 кг?

15.Плотность газа в баллоне газонаполненной электрической лампы равна

= 0,9 кг/м3. При горении лампы давление в ней возросло с p1 = 80 кПа до p2 = 110 кПа. Насколько увеличилась при этом средняя квадратичная скорость молекул газа?

16.Кислород, занимающий при давлении p1=1 МПа объем V1 = 5 л, расширился в 3 раза. Определить конечное давление и работу, совершенную газом, если процесс адиабатический.

17.Некоторая масса газа, занимающего объем V1 = 0,01 м 3, находится при давлении р1 = 0,1 МПа и температуре Т1 = 300 К. Газ нагревается вначале при

50

постоянном объеме до температуры Т2=320 К, а затем при постоянном давлении до температуры Т3 = 350 К. Найти работу, совершаемую газом, при переходе из состояния 1 в состояние 3.

18.Закрытый сосуд заполнен смесью газов, состоящей из неона, масса которого

m1=4 г, и аргона, масса которого m2=1 г. Газы считать идеальными. Определить удельную теплоемкость этой смеси газов.

19.Коэффициент полезного действия цикла Карно равен 0,3. При изотермическом расширении газ получил от нагревателя 200 Дж энергии. Определить работу, совершаемую при изотермическом сжатии.

20.К бесконечной вертикальной плоскости на нити подвешен заряженный шарик массой m = 5 г и зарядом q = 12 нКл. Нить образует с плоскостью угол

= 45о. Определить поверхностную плотность заряда на плоскости.

21.На капельке радиусом r = 10-3 м находится заряд q= 0,7 10-13 Кл. Семь таких капель сливаются в одну большую. Определить ее потенциал.

22.Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора составляет U 100 В. Площадь каждой пластины S = 200 см2, расстояние между пластинами d = 0,5 мм. Пространство между ними заполнено парафином. Определить силу F притяжения пластин.

23.Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от нуля до некоторого

максимального значения в течение t = 10 с. За это время в нем выделилась теплота, равная Q = 1 кДж. Определить скорость нарастания тока в проводнике, если его сопротивление R = 3 Ом.

24.Катушка и амперметр соединены последовательно и присоединены к источнику тока. К зажимам катушки присоединен вольтметр сопротивлением

RV=1 кОм. Показания амперметра IA=0,5 А, вольтметра UV = 100 В. Определить сопротивление катушки. Сколько процентов от точного значения сопротивления катушки составит погрешность, если не учитывать сопротивление вольтметра?

25.По медному проводнику длиной ℓ = 2 м и площадью поперечного сечения S = 0,4 мм2 идет ток. Мощность, выделяющаяся в проводнике, равна P=0,35 Вт.

Определить число электронов Ne, проходящих за t = 1 с через его поперечное сечение, и напряженность E электрического поля.

Вариант 4

1.Уравнение движения точки имеет вид: х = 5 + t + 2t2 + t3 (длина – в метрах,

время – в секундах). Найти положение точки в моменты времени t1=1 c и t2=4 c; скорости и ускорения в эти моменты времени.

2.Камень, брошенный с высоты h0 = 2,1 м под углом = 45 к горизонту, падает на землю на расстоянии S = 42 м (по горизонтали) от места бросания. Найти начальную скорость камня, время полета и максимальную высоту подъема над уровнем земли. Определить также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня.