М4 дифуры

ЗАДАНИЕ 4.

Найти общее решение уравнения.

1. y y x y

3. y 2y y2ex

5. xydy

y2 x dx

7. y x3 sin y xy 2y

9. 2 y x / y xy / x2 1

11. xy2 y x2

y3

13. y x y

xy2

15. xy 2x3 y y

13

2. ydx 2xdy 2y x sec2 ydy

4. y y4 cos x y tg x

6. xy 2y x5 y3ex

0

8. 2x2 y ln y x y

y

10. xy 2x2 y 4 y

12. x 1 y y2

y

14. y xy

y3e x2

16. y xy x3 y3

17. y x / ye2x

y

18. yx x

yx2

		14
19. x x 1 y y3	xy	20. 2x3 yy 3x2 y2	1 0

21. dx / x 1/ y 2x dy

22. y x 3 y 3y

23. xy y y2 ln x

24. xdx

x2 / y y3 dy

25. y 2xy 2x3 y3

26. y y x / y2

27. y y tg x y2 cos x 0
	28. y 2 y / x 2 y / cos2 x

29. y y y2 cos x 0	30. y x y xy / x2			1

ЗАДАНИЕ 5.

Найти линию, проходящую через точку М0 и обладающую тем свойством,

что в любой ее точке М нормальный вектор с концом на оси Oy имеет

длину, равную a, и образует острый угол с положительным направлением оси

Oy.

1.М0(15;1), a=25.

2.М0(12;2), a=20.

15

3.М0(9;3), a=15.

4.М0(6;4), a=10.

5.М0(3;5), a=5.

Найти линию, проходящую через точку М0 , если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в отношении a:b

(считая от оси Oy).

6.М0(1;1), a:b =1:2.

7.М0(-2;3), a:b=1:3.

8.М0(0;1), a:b =2:3.

9.М0(1;0), a:b=3:2.

10.М0(2;-1), a:b=3:1.

Найти линию, проходящую через точку М0 , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Oy делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении a:b (считая от оси Oy).

11.М0(2;-1), a:b =1:1.

12.М0(2;1), a:b=2:1.

13.М0(-1;1), a:b =3:1.

14.М0(2;1), a:b=1:2.

15.М0(1;-1), a:b=1:3.

16

Найти линию, проходящую через точку М0 , если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении a:b (считая от оси Oy).

16.М0(1;2), a:b =1:1.

17.М0(2;1), a:b=1:2.

18.М0(1;3), a:b =2:1.

19.М0(2;-3), a:b=3:1.

20.М0(3;-1), a:b=3:2.

Найти линию, проходящую через точку М0 и обладающую тем свойством,

что в любой ее точке М касательный вектор с концом на оси Ox имеет

проекцию на ось Ox, обратно пропорциональную абсциссе точки M. Коэффициент пропорциональности равен a.

21.М0(1;е), a=-1/2.

22.М0(2;е), a=-2.

23.М0(-1;√е), a=-1.

24.М0(2;1/е), a=2.

25.М0(1;1/е2), a=1/4.

Найти линию, проходящую через точку М0 и обладающую тем свойством,

что в любой ее точке М касательный вектор с концом на оси Oy имеет проекцию на ось Oy, равную a.

26. М0(1;2), a=-1.

17

27.М0(1;4), a=2.

28.М0(1;5), a=-2.

29.М0(1;6), a=3.

30.М0(1;1), a=1.

ЗАДАНИЕ 6.

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при x x0 с точностью до двух знаков после запятой.

1.	y		sin x, x0				/ 2,		y 0		1,		y	0		0,	y	0	0
2.	y	1/ x,			x0	2,	y 1		1/ 4,		y	1	0,		y	1	0
3.	y	1/ cos2 x,				x0	/ 3,		y	0		1,	y		0	3/ 5
4.	y'''		6	,	x0	2,	y(1)		0,	y'(1)		5,		y''(1)		1
			x3
5.	y	4cos 2x,				x0	/ 4,		y	0		1,	y		0	3
6.	y 1/ 1 x2 , x0						1, y 0				0, y 0				0
7.	xy	2,			x0	2, y 1		1/ 2,		y	1		0,		y 1		0
8.	y	e2 x , x0				1/ 2, y 0			9 / 8, y 0						1/ 4, y 0				1/ 2
9.	y	cos2 x,				x0	, y	0		1,	y		0		1/ 8,		y	0	0

18

10. y	1/	1 x2 ,	x	1, y 0	2,	y 0	3
			0
11. y	1/	sin2 2x	, x0	5 / 4 ,	y	/ 4	/ 4, y	/ 4 1

12.

y

x

sin x,

x0

5,

y

0

3,

y

0

0

13.

y

arctg x,

x0

1,

y 0

0,

y

0

0

14.

y

tg x / cos2 x,

x0

/ 4,

y

0

1/ 2,

y

0

0

15. . y

ex / 2

1, x0

2, y 0

8, y 0

5, y 0

2

16.

y

x / e2x ,

x0

1/ 2,

y

0

1/ 4,

y

0

1/ 4

17.

y

sin2 3x,

x0

/12,

y 0

2 /16,

y

0

0

18.

y

x sin x,

x0

/ 2,

y

0

0,

y

0

0,

y

0 0

19.

y

sin4 x

sin 2x,

x0

5

/ 2,

y

/ 2

/ 2,

y

/ 2

1,

y

/ 2

1

20.

y

cos x

e x ,

x0

,

y

0

e,

y

0

1

21.

y

sin3 x,

x0

5

/ 2,

y

/ 2

7 / 9,

y

/ 2

0

22.

y

x

sin 2x,

x0

1,

y

0

1/ 8,

y 0

1/ 8cos 2,

y

0

1/ 2

23.

y "

1/

cos2

x / 2 ,

x0

4

,

y

0

0,

y

0

1

19

24.	y	2sin x cos2 x,		x	/ 2,		y	0	5 / 9,		y	0	2 / 3
				0
25.	y	2sin2 x cos x,		x	,	y	0	1/ 9,		y	0	1
				0
26.	y	2sin2 x cos x		sin3 x,		x0		/ 2,	y 0		0,	y	0	1
27.	y	2sin2 x cos x		cos3 x,		x0		/ 2,	y	0	2 / 3,		y	0	2
28.	y	x ln x,	x0	2, y 1			5 /12,		y	1	1
29.	y	1/ x2 , x0	2,	y 1		3,	y	1	1
30.	y	cos 4x,	x0	,	y 0		2, y		0		15/16,		y	0	0

ЗАДАНИЕ 7.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

1. 1 x2 y xy 2

2. 2xy y

y 2

1

3. x3 y x2 y 1

4. y y tg x sin 2x

5. y x ln x y

6. xy y x2ex

20

7. y x ln x 2 y

8. x2 y xy 1

9. y

x / y

10. xy

y

11. y

y x

12. xy'' y' x2

13. xy

y ln y / x

14. xy

y ln x

15. y tg x y 1

16. y 2x y 2

0

17. 2xy y

y 2

1

18. y y / x 1 x x 1

19. y

y tg x sec x

20. y 2y ctg x sin3 x

21. y 4y 2x2

22. xy y 2x2ex

23. x y 1 y 0

24. y 4 y cos 2x

		21
25. y	y sin x	26. x2 y	y 2 .

27. 2xy y

y 2

4

28. y x ln x y

29. y ctg x y 2

30. 1 x2 y 2xy

ЗАДАНИЕ 8

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.

1. а) y 10 y 25y 0 ;

б) y 3y 2 y 0 ;

2. а) y y 2 y 0 ;

б) y 4 y 4 y 0 ;

3. а) y 4 y 13y 0 ;

б) y 3y 2 y 0 ;

4. а) y 5 y 6 y 0 ;

б) y 2 y 5 y 0 ;

5. а) y 2 y 10 y 0 ;

б) y y 2 y 0;

6. а) y 2 y 17 y 0 ;

7. а) y y 6 y 0 ;

8. а) y 49 y 0 ;

9. а) y 5y 4 y 0 ;

10. а) y y 2 y 0 ;

11. а) 4 y 8y 3y 0 ;

12. а) y 4 y 20 y 0 ;

13. а) 9 y 6 y y 0 ;

14. а) 2 y 3y y 0 ;

15. а) y 10 y 21y 0 ;

22

б) y y 12 y 0 ;

б) y 4 y 20 y 0 ;

б) y 2 y 3y 0 ;

б) y 16 y 0 ;

б) y 4 y 4 y 0 ;

б) y 2 y 10 y 0 ;

б) y 3y 10 y 0 ;

б) y 4 y 21y 0 ;

б) y 4 y 8 y 0 ;

б) y 2 y 2 y 0 ;

16. а) y 10 y 29 y 0 ;

б) y 8y 7 y 0 ;