М4 дифуры

43

дает ни с одним из корней характеристического уравнения, то в соответствии с приложением 3, частное решение данного неоднородного уравнения ищем в

виде:		4 x	ae	4 x	,		де a — пока что неизвестная постоянная.
	y Q (x) e					г
	0

Для определения a подставим в исходное дифференциальное уравнение. y

Тогда получим тождество e4x				5ae4x , из которого находим a=1/5. Следова-
	1		4 x
тельно, y		e	.
	5
3.Общее решение неоднородного уравнения запишется в виде
			y	C e	x	C	e	3x	1	e	4 x
				1		2			5

4.Используя начальные условия, найдем константы С1 и С2.

Подставив в общее решение, а также в производную от него, вместо x,y,y’ значения 0,1,0, соответственно, получим систему уравнений относительно С1 и

С2.

		0				0	1				0			1
1 C e			C e							e		; 1 C C				;
	1			2			5					1	2	5
	x				3x		4				4 x		0					0	4	0				4
y ' C e		3C		e					e			; 0 C e		3C			e			e	; 0	C 3C	2		.
1			2				5					1				2			5			1		5

1

C1 C2 5 1,

4 Решив эту систему, получим С1=4/5, С2=0.

C1 3C2 5 0.

	Итак, частное решение дифференциального уравнения:	y		4		e
			5
	Ответ:	y	4		e
			5

x15 e4 x

x15 e4 x

44

ЗАДАНИЕ 11.

Решить систему дифференциальных уравнений, u=u(x), v=v(x). u ' 2u v;

v ' 3u 4v.

Решение.

Решим первое уравнение относительно v: v=u’-2u, продифференцируем это равенство по x, считая u=u(x) и v=v(x): v’=u’’-2u’.

Подставим v и v’ во второе уравнение системы:

u’’-2u’=3u+4(u’-2u), u’’-6u’+5u=0.

Получили линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: λ2-6λ+5=0

Корни этого уравнения λ1=1 и λ2=5. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения будет u=C1ex+C2e5x

Подставив значение u в первое уравнение системы, найдем

v=( C1ex+C2e5x)’-2(C1ex+C2e5x)=- C1ex+3C2e5x.

Ответ: u=C1ex+C2e5x,

v=- C1ex+3C2e5x.

45

Приложение 1

Таблица основных интегралов

1.

du u

C.

3.

du

2

u

C.

u

5.

au du

au

C.

ln a

7.

sin u du

cosu

C.

9.

tgu du

ln

cosu

C.

11.

sh u du

ch u

C.

13.

du

tg u C.

cos2 u

du

u

15.

ln

tg

C.

sin u

2

17.

du

th u

C.

ch2u

19.

du

arcsin

u

C.

a

a2

u2

21.

du

1

arctg

u

C.

a2

u2

a

a

	2.	umdu			um 1
							C.
					m	1
	4.	du		ln u		C.
		u

6. eu du eu C.

8.

cosu du

sin u

C.

10.

ctgu du

ln

sin u

C.

12.

сh u du

sh u

C.

14.

du

ctg u

C.

sin2 u

du

u

16.

ln

tg

C.

cosu

2

4

18.

du

cth u

C.

sh2u

du

20.

ln

u

a2

u2

C.

a2 u2

22.

du

1

ln

a

u

C.

a2

u2

2a

a

u

46

u

a2

arcsin

u

23.

a2

u2 du

a2

u2

C.

2

2

a

u

a2

24.

u2

a2 du

u2

a2

ln

u

u2 a2

C.

2

2

Приложение 2

Структура решения линейных однородных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами

Для линейного однородного уравнения

y(n)	p y(n 1)	p y(n 2)	p	y ' p y 0,
	1	2	n 1	n

Все члены которого первой степени относительно функции и ее производных, а коэффициенты pi – постоянные, общий интеграл имеет вид

y C1 y1 C2 y2 Cn yn ,

и находится с помощью характеристического уравнения

n	p	n 1	p	n 2 p	p 0,
	1		2	n 1	n

Которое получается из этого уравнения, если сохраняя в нем все коэффициен-

ты pi, заменить функцию y единицей, а все ее производные соответствующими степенями λ. При этом:

47

1)если все корни λ1, λ2,…λn характеристического уравнения действительны и различны (однократны), то общий интеграл выражается формулой

y C1e 1x C2e 2 x Cne n x ;

2) если характеристическое уравнение имеет пару однократных комплекс-

ных сопряженных корней λ1,2=α±βi, то в общем интеграле соответствующая пара членов заменяется слагаемыми

e x (C cos x	C sin x);
1	2

3)если действительный корень λ1 имеет кратность k (λ1= λ2=…= λk), то соответствующие k членов в общем интеграле заменяются слагаемыми

e 1x (C C x C x2		C xk 1);
1 2	3	k

4) если пара комплексных сопряженных корней λ1,2=α±βi, имеет кратность k, то соответствующие k пар членов в общем интеграле заменяются слагаемыми

e x ((C	C x	C xk 1)cos x (C	k 1	C	k 2	x C	2k	xk 1)sin x);
1	2	k

48

Приложение 3

Структура решения линейных неоднородных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами

по форме правой части

Для линейного неоднородного уравнения

y(n)	p y(n 1)	p y(n 2)	p	y ' p y f (x),
	1	2	n 1	n

Все члены которого первой степени относительно функции и ее производных, а коэффициенты pi – постоянные, общий интеграл имеет вид

y y0 y,

Где y0 — общее решение соответствующего однородного уравнения,

а — частное решение неоднородного уравнения.

Если правая часть неоднородного уравнения имеет вид						f (x) P (x) e x ,
						m
						будем искать в виде
где Pm(x)—многочлен степени m, то частное решение y
	x	s	Qm (x) e	x	,
y

где s=0, если число γ не совпадает ни с одним из корней, и s равно кратности корня характеристического уравнения, если число γ с ним совпадает. Qm(x)—многочлен степени m, коэффициенты которого будем искать методом неопределенных коэффициентов.

49

Литература

Основная:

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике:

в2 ч. Ч.2/-5-е изд.-М.:Айрисс-пресс,2007.-256 с.

2.Сборник задач по высшей математике. 2 курс/ К.Н.Лунгу и др.-5-е изд.-М.: Айрис-пресс, 2007.-592с.

3.Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для

втузов: Учебник/ А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. - 9-е изд. - М.: Физ-

матлит, 2003. - 800 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т./ Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл-Пресс

5. Пискунов Н.С.Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т./ Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл-Пресс

6. Шипачев В.С. Математический анализ: Учеб. пособие для вузов/ Шипачев В.С.. - М.: Высшая школа, 1999. – 176с

Дополнительная:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для студентов естественнонаучных спец. пед. вузов/ И.И. Баврин. - М.: Академия; М.: Высшая школа, 2000. - 616 с

2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике: Таблицы, арифметика, геометрия, тригонометрия, функции и графики/ М.Я. Выгодский. - СПб.: Санкт-Петербургский оркестр, 1994. - 416

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 ч. Ч. 1/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС; М.: Мир и Образование, 2005. - 304 с.: ил

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 ч. Ч. 2/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС; М.: Мир и Образование, 2005. - 416 с.: ил

5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие для втузов/ В.П. Минорский. - 13-е изд. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 352 с

50

Оглавление

Введение………………………………………………………………. 3

Варианты контрольных работ…………….………………………..... 4

Образцы решения и оформления задач…………...……………….. 29

Приложения…………….…………………………………………….44

Литература……………………………………………………………48

Оглавление…………………………………………………………..…49