М4 дифуры

17. а) y 6 y 9 y 0 ;

18. а) y 7 y 8 y 0 ;

19. а) y 3y 4 y 0 ;

20. а) y 10 y 16 y 0 ;

21. а) y 3y 18y 0 ;

22. а) y 6 y 13y 0 ;

23. а) y 2 y y 0;

24. а) y 6 y 8 y 0 ;

25. а) 9 y 6 y y 0 ;

26. а) y 6 y 10 y 0 ;

23

б) y 2 y 2 y 0 ;

б) y 4 y 13y 0 ;

б) y 6 y 13y 0 ;

б) y 8 y 16 y 0 ;

б) y 2 y 5 y 0 ;

б) y 2 y 15y 0 ;

б) y 6 y 25y 0 ;

б) 4 y 4 y y 0 ;

б) y 6 y 8 y 0 ;

б) y 4 y 4 y 0 ;

	24
27. а) 4 y 8 y 5 y 0 ;	б) y 6 y 10 y 0 ;

28. а) y 8 y 25y 0 ;

б) 9 y 3y 2 y 0 ;

29. а) 6 y 7 y 3y 0 ;

б) 4 y 4 y y 0 ;

30. а) 9 y 6 y y 0 ;

б) y 12 y 37 y 0 ;

ЗАДАНИЕ 9.

Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения.

1.	y 7 y 6 y 0, y 0				0, y 0		0, y 0 30
2.	y	9y	0, y 0 1, y 0			1, y 0		0, y 0	0, y 0 0
3.	y	y 0, y 0		0, y 0		0, y 0		1
4.	y 4 y 0, y 0			0, y 0		2, y 0	4
5.	y	y 0, y 0		0, y 0 1, y 0 1
6. y		y 0, y 0		0, y 0		2, y 0	4
7.	y	2 y	2 y y	0, y 0	0, y 0		0,	y 0 30,	y 0 8

													25
8.	y	y 5y 3y 0, y 0									0, y 0 1, y 0											14
9.	y	y 0, y 0					0, y 0 1, y 0											1
10.	y	5y	8y	4 y			0,		y	0	1,		y		0			1,	y	0		0
11.	y	3y	2y	0,		y		0	0, y			0		0,		y		0	2
12.	y	3y	3y	y		0,		y	0		1,	y		0		0,		y	0	1
13.	y	2 y	9 y	18y			0,		y	0			2.5,			y	0		0,	y		0	0
14.	y	9 y	0,	y	0		0,		y	0	9,		y		0			18
15.	y	13y	12y		0,			y	0	0,		y	0			1,	y		0	133
16.	y	5y	4 y	0,			y	0		2,	y		0			1,	y		0	2,	y 0		0
17.	y	10 y	9 y		0,		y	0		0,	y	0			0,		y	0		8,	y	0	24
18.	y	y	y	y	0,		y		0	0,	y		0			1,	y		0	0
19.	y	3y	3y	y		0,			y 0		0,		y		0		0,		y	0		4
20.	y	y	4 y	4 y			0,		y	0		1,		y		0		0,		y 0		6
21.	y	2y	y	0,		y	0		0,	y	0		0,			y	0		1,	y	0	2
22.	y	y	0,	y	0		0,		y	0	0,		y			0		0,	y	0		4

										26
23.	y	16 y		0,	y	0	0,	y	0	0,	y	0	0,		y	0	8
24.	y	y	4 y	4 y		0,	y	0	0,	y	0	0,	y		0	12
25.	y	2 y	9 y		18y		0,	y 0	1,	y	0		3,	y	0	9
26.	y	6 y		9 y		0,	y	0	y 0		y	0	y	0		0, y	0 27
27.	y	y	y	y		0,	y 0		1,	y	0	0,	y	0		1

28.	y	2 y	y	0,	y	0	0,	y	0	2,	y	0	3
29.	y	5y	4 y	0,	y 0		1,	y 0		4, y	0		1, y	0	16
30.	y	10 y	9 y	0,	y	0	1,	y	0	3,	y	0	9,	y 0	27

ЗАДАНИЕ 10.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.

1.	y	2 y	y	12cos 2x		9sin 2x, y			0		2,	y	0	0
2.	y	6 y	9 y	9x2	39x	65,	y 0		1,	y	0	1
3.	y 2 y 2 y 2x2				8x	6, y 0 1, y 0 4
4.	y	6 y	25y	9sin 4x		24cos 4x,		y	0	2,	y	0		2
5.	y	14 y	53y	53x3 42x2			59x	14,	y	0	0,	y	0	7

												27
6.	y	6 y	ex	cos 4x		8sin 4x ,				y 0				0,	y 0			5
7.	y 4 y 20 y 16xe2 x , y 0 1, y 0 2
8.	y	12 y	36 y		32cos 2x			24sin 2x,						y	0	2,		y	0	4
9.	y	y	x3	4x2 7x			10,		y	0			2,		y	0		3
10.	y	y	14	16x e x ,			y 0			0,		y	0			1
11.	y	8y	16 y		16x2	16x		66,			y	0		3, y			0	0
12.	y	10 y	34 y		9e 5x ,		y	0			0,		y	0		6
13.	y	6 y	25y		32x	12 sin 4x,					y		0		4,	y	0		0
14.	y	25y	ex	cos5x		10sin 5x ,					y	0		3,		y	0		4
15.	y	2 y	5y		8e x sin 2x,				y		0		2,		y	0		6
16.	y	10 y	25y		e5x , y 0				1,		y		0		0
17.	y	y	12 y		16x	22 e4 x ,				y	0		3,		y	0		5
18.	y	2 y	5y		5x2	6x	12,		y		0		0,		y	0		2
19.	y	8y	16 y		16x3	24x2			10x			8,		y	0	1,		y	0	3
20.	y	2y	37 y		36ex cos 6x,				y	0		0,		y	0		6

										28
21.	y	8y	16 48x2		128x3 ,			y	0		1,		y 0		14
22.	y	12 y	36 y 72x3			18,		y	0	1,		y	0	0
23.	y	3y	40x 58 e2 x ,				y	0		0,	y	0		2
24.	y	9 y	18y	26cos x		8sin x,				y 0		0,		y 0	2
25.	y	8y	18x	60x2	32x3 ,			y	0	5,		y	0	2
26.	y	3y	2 y	sin x		7 cos x,			y	0		2,	y	0	7
27.	y	2 y	6x2	2x	1,	y	0	2,		y	0		2
28.	y	16 y	32e4 x , y		0		2,	y	0		0
29.	y	5y	6 y	52sin 2x,			y	0		2,	y		0	2
30.	y	4 y	8e2 x ,	y 0		1,	y	0		8

ЗАДАНИЕ 11.

Решить систему дифференциальных уравнений, u=u(x), v=v(x).

	u ' 2u v;			u '	u v;
1.	v ' 3u v.		2.	v '	4u v.	3.
	u '	2u 3v;		u '	u v;
4.	v '	u.	5.	v '	4u 4v.	6.

u ' u 8v; v ' u v.

u ' 2u v; v ' 3u 2v.

u ' 6u v;

7.

v ' 3u 2v.

u ' u 2v;

10.

v ' 3u 4v.

u ' 8u 3v;

13. v ' 2u v.

u ' u 2v;

16.

v ' 3u 6v.

u ' u 4v;

19.

v ' u v.

u ' 7u 3v;

22.

v ' u 5v.

u ' 5u 8v;

25.

v ' 3u 3v.

u ' 5u 2v;

28.

v ' u 6v.

29

	u '	2u v;		u '	v;
8.	v '	6u 3v.;	9.	v '	u.

	11.	u ' u 2v;	12.	u ' 4u 2v;
		v ' 2u v.		v ' 4u 6v.

	14.	u ' 3u v;	15.	u ' 2u 3v;
		v ' u 3v.		v ' 5u 4v.

	17.	u ' 5u 4v;	18.	u ' u 2v;
		v ' 4u 5v.		v ' 4u 3v.

	20.	u ' 3u 2v;	21.	u ' u 4v;
		v ' 2u 8v.		v ' 2u 3v.

	u ' 4u v;		u ' 2u 8v;
23.	v ' u 4v.	24.	v ' u 4v.

	u ' 3u v;		u ' u 5v;
26.	v ' 8u v.	27.	v ' u 3v.

	29.	u ' 6u 3v;	30.	u ' 4u 8v;
		v ' 8u 5v.		v ' 8u 4v.

30

Образцы решения и оформления задач

ЗАДАНИЕ 1.

Показать, что функция y удовлетворяет уравнению (F).

	C2	x2
y			, (F ) : x y xy ' 0
	2x

Решение.

Найдем производную данной функции

(C2

x2 ) ' 2x (2x) '(C2

x2 )

2x 2x 2(C2

x2 ) C2

3x2

y '

.

4x2

4x2

2x2

y

C2 x2

y '

C2

3x2

,

Подставив в данное уравнение

и

2x

2x2

убедимся, что оно обращается в тождество:

x

y

xy '

0;

x

C2

x2

x

C2

3x2

0;

2x

2x2

x 2x2

x(C2 x2 ) x(C2 3x2 ) 2x3

xC2

x3

xC2

3x3

0

0;

0

0,

2x2

2x2

2x2

Тождество получено.

ЗАДАНИЕ 2.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

					б) (x2	y2 )dx 2xydy 0
а) ( xy			x ) y ' y 0 ;

				31
	Решение.
	а) ( xy			x ) y ' y 0
	Выразим производную через дифференциалы переменных: y '					dy	,
						dx
	Умножим обе части уравнения на dx и разложим коэффициент						при dy на
	множители:

					)	dy
	( xy			x			y 0,
						dx

(xy x )dy ydx,

(

y

1) xdy

ydx.

(

y

1)

dy

Далее разделяем переменные:

y

и, интегрируя, находим общий интеграл

(

y

1)

dy

1

dx,

y

x

1

1

1

)dy

( y 2

x 2 dx,

y

2

y

ln

y

2

x

C.

1 dx, x

Ответ:	С 2 y ln	y	2 x.

32

б) (x2

y2 )dx 2xydy

0

Разрешая данное уравнение относительно производной

1 (

y

)

2

dy

x2

y2

y

x

y '

(

),

dx

2xy

2

y

x

x

Устанавливаем, что она является функцией только отношения переменных

y

,

x

т.е. устанавливаем, что данное уравнение является однородным.

Далее вводим новую функцию u, полагая y=ux, y’=u+xu’ и после подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

(x2

y2 )

2xy

y ';

(x2

(ux)2 ) 2x(ux)

(u xu ');

u

xu '

1

u2

;

2u

u

x

du

1

u2

;

dx

2u

1

u2

udx

xdu

dx;

2u

xdu

1

u

2

dx.

2u

	2u	du	dx
Разделим переменные: 1 u2			x

и, интегрируя, найдем