Доказательство.

Поскольку , и , то

.

Замечание. Если одна из прямых перпендикулярна оси (не существует один из угловых коэффициентов), то угол между прямыми вычисляется по формуле .

Следствие. Из формулы (2.6) можно получить условия параллельности и перпендикулярности прямых. Пусть прямые заданы уравнениями и . Если они параллельны, то и из формулы (2.6) следует, что . Если же они перпендикулярны, то не существует, а это возможно лишь в случае, когда .

Теорема 2.7. Угол между двумя прямыми, заданными уравнениями и , вычисляется по формуле

.

Следствие. Пусть прямые заданы уравнениями и . Если они параллельны, то ; если они перпендикулярны, то .

Теорема 2.8. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

. (2.7)

Пример 2.5. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями и , а его диагонали пересекаются в начале координат. Необходимо найти: а) острый угол параллелограмма; б) координаты его вершин и уравнения оставшихся двух сторон; в) длину и уравнение высоты, проведённой к большей стороне.

Решение. Шаг 1. Перепишем уравнение второй прямой в виде (2.1): . Поскольку угловые коэффициенты прямых различны (), то они не являются параллельными и, следовательно, содержат смежные стороны параллелограмма (например, и ). Шаг 2. Найдём координаты точки из системы то есть . Шаг 3. Найдём координаты точки с помощью формулы координат середины отрезка (в параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам): то есть . Шаг 4. Найдём уравнение прямой , как проходящей через точку параллельно прямой : , поэтому из уравнения (2.2) находим . Шаг 5. Найдём координаты точки как точку пересечения прямых и (самостоятельно) . Шаг 6. Найдём координаты точки с помощью формулы координат середины отрезка (самостоятельно) . Шаг 7. Найдём уравнение прямой , как проходящей через точки и (с помощью формулы (2.3)): . Шаг 8. Построим искомый параллелограмм. Шаг 9. Ответим на вопрос а), найдя . Поскольку и , по формуле (2.6) получаем и . Шаг 10. Для ответа на вопрос в) необходимо найти длины сторон: и . Таким образом будем искать длину и уравнение высоты , проведённой к стороне . По формуле (2.7) . Шаг 11. Уравнение прямой найдём по формуле (2.2) (она проходит через точку перпендикулярно ). Поскольку (смотри следствие из теоремы 2.6), то .

Кривые второго порядка

Определение 2.3. Окружностью с центром в точке и радиусом называется геометрическое место точек координатной плоскости, удалённых от точки на расстояние .

Теорема 2.9. Уравнение окружности имеет вид . Доказать самостоятельно.

Пример 2.6. Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

Решение. – Из данного уравнения вытекает, что центр окружности находится в точке , а радиус равен 5.

Определение 2.4. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна и больше расстояния между этими точками. Заданные точки называются фокусами, расстояние между ними – фокальным расстоянием.

Обозначим фокальное расстояние эллипса , сумму расстояний от точки эллипса до фокусов - .

Теорема 2.10. Уравнение эллипса имеет вид , где . Без доказательства.

Замечание. Величины и называются большей и меньшей полуосями эллипса соответственно, точки с координатами , , и – вершинами эллипса. Координаты фокусов равны и .

Пример 2.7. Построить эллипс, заданный уравнением .