Решение.

.

Поделив последнее соотношение на 16, получим нормальное уравнение эллипса

,

из которого следует, что центр эллипса находится в точке , , . В новой системе координат вершины эллипса находятся в точках , , и , а фокусы – в точках и (поскольку ).

Определение 2.5. Гиперболой называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек постоянен и меньше расстояния между этими точками. Заданные точки называются фокусами, расстояние между ними – фокальным расстоянием.

Обозначим фокальное расстояние , модуль разности расстояний от точки на гиперболе до фокусов – .

Теорема 2.11. Уравнение гиперболы имеет вид , где . Без доказательства.

Замечание. Величины и называются действительной и мнимой полуосями гиперболы соответственно, точки с координатами и – вершинами гиперболы, точки и – фокусами гиперболы, прямые и – асимптотами гиперболы.

Пример 2.8. Построить гиперболу, заданную уравнением .

Решение.

.

Поделив последнее соотношение на 144, получим (после соответствующих преобразований) нормальное уравнение гиперболы

,

из которого следует, что центр гиперболы находится в точке , , . В новой системе координат вершины гиперболы находятся в точках и , фокусы – в точках и (поскольку ), уравнения директрис имеют вид .

Замечание. Если уравнение второго порядка после преобразования примет вид , то его графиком является сопряжённая гипербола, вершины которой находятся в точках с координатами и , а фокусы – в точках с координатами и .

Определение 2.6. Параболой называется геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки (фокуса) и заданной прямой (директрисы), причём фокус не находится на директрисе. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром и обозначается .

Теорема 2.12. Уравнение параболы имеет вид . Без доказательства.

Замечание. Точка с координатами называется вершиной параболы. Координаты фокуса равны , уравнение директрисы имеет вид: .

Пример 2.9. Построить параболу, заданную уравнением .

Решение. . Из данного уравнения следует, что вершина параболы находится в точке , . В новой системе координат фокус находится в точке , уравнение директрисы имеет вид .

Замечание. Если после преобразования уравнения второго порядка оно примет вид (1) , (2) , (3) , то его графиком будет парабола

После изучения уравнений эллипса, гиперболы и параболы естественным образом возникает вопрос: любое ли уравнение второго порядка определяет одну из данных кривых.

Рассмотрим общее уравнение второго порядка с двумя неизвестными:

. (2.11)

С помощью поворота системы координат на угол уравнение (2.11) можно привести к виду

. (2.12)

Затем, применяя к уравнению (2.12) выделение полных квадратов и параллельный перенос системы координат, получим одно из следующих уравнений

, (2.13)

, (2.14)

, (2.15)

, (2.16)

причём переход от уравнения (2.12) к уравнению (2.13) возможен при , от (2.12) к (2.14) – при , от (2.12) к (2.15) или (2.16) – при .

Уравнение (2.13) при определяет эллипс, при – вырожденный эллипс, при – мнимый эллипс. Уравнение (2.14) при определяет гиперболу, при – пару пересекающихся прямых, при – сопряжённую гиперболу. Уравнения (2.15) определяют параболы различных видов. Уравнения (2.16) при определяют пары параллельных прямых, а при – оси координат.