- •Тема 4. Случайные величины
- •2. Закон распределения случайной дискретной величины
- •2.1. Табличный способ задания случайной дискретной величины.
- •2.2. Графический способ задания случайной дискретной величины.
- •3. Непрерывная случайная величина.
- •3.1. Определение интегральной функции распределения Свойства интегральной функции распределения.
- •Свойства интегральной функции распределения
- •3.2. Дифференциальная функция распределения или плотность распределения вероятности. Свойства дифференциальной функции распределения.
- •Свойства дифференциальной функции распределения
- •4. Действия над случайными величинами
- •4.1. Умножение случайной величины на число.
- •4.2. Возведение случайной величины в степень.
- •4.3. Функции одной случайной величины
- •4.4. Сумма, разность, произведение случайных величин.
2.1. Табличный способ задания случайной дискретной величины.
Пусть для случайной дискретной величины известны все ее возможные значения и соответствующие им вероятности, причем, каждое значение встречается только один раз. Тогда записывая в верхней строке таблицы возможные значения случайной величины в порядке возрастания или убывания, а в нижней – вероятности, соответствующие этим значениям, получим закон распределения случайной величины, число значений которой конечно (таблица 1), и закон распределения случайной величины, число значений которой счетно (таблица 2):
Таблица 1 Таблица 2
Х |
|
|
… |
|
|
или |
X |
|
|
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
Пример.
2.2. Графический способ задания случайной дискретной величины.
Закон распределения случайной дискретной величины можно задать графически.
… |
|
Пример. В денежной лотерее разыгрываются 20 билетов, из которых 5 выигрышей по 10 грн., 3 выигрыша по 20 грн. и 2 выигрыша по 50 грн. Найти закон распределения случайного выигрыша для владельца одного лотерейного билета, построить полигон распределения вероятностей.
Решение.
0 |
10 |
20 |
50 |
| ||
0,5 |
0,25 |
0,15 |
0,1 |
| ||
|
Для заданной случайной дискретной величины строим полигон распределения вероятностей. Для этого по горизонтальной оси откладываем возможные значения, а по вертикальной соответствующие им вероятности. Полученные точкисоединяем последовательно отрезками прямых. Полученная ломанная является многоугольником распределения вероятностей заданной случайной величины. |
Пример. Каждый из двух стрелков стреляет по мишени один раз. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,9, для второго стрелка – 0,8.
Требуется:
а) найти закон распределения числа попаданий в мишень;
б) построить полигон распределения вероятностей.
Запишем условие задачи, вводя соответствующие обозначения.
Дано: событие состоит в том, что попал первый стрелок;;
событие состоит в том, что попал второй стрелок;;
случайная величина число попаданий в мишень.
Требуется:а) найти закон распределения Х;
б) построить полигон распределения вероятностей.
Решение. а)
0 |
1 |
2 |
| ||
0,02 |
0,26 |
0,72 |
| ||
|
|
3. Непрерывная случайная величина.
3.1. Определение интегральной функции распределения Свойства интегральной функции распределения.
Аналитически закон распределения случайной величины можно задать с помощью ее интегральной функции распределения. Отметим, что с помощью функции распределения или интегральной функции распределения можно задать как дискретную, так и непрерывную случайную величину.
Определение. Функцией распределения или интегральной функцией распределения вероятностей называется вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем произвольное действительное число, т.е.
.