4. Действия над случайными величинами

Над случайными величинами можно производить арифметические действия,

а также образовывать функции.

Рассмотрим случайную дискретную величину, закон распределения которой задается таблицей

Таблица 1.

			…
			…

4.1. Умножение случайной величины на число.

Определение. Произведением случайной величины на число называется случайная величина, которая принимает значенияс вероятностями.

Таким образом, закон распределения случайной величины запишется в виде

Таблица 2.

			…
			…

Пример. Закон распределения случайной величины задан таблицей 3:

Таблица 3.

	1	2	3
	0,1	0,3	0,6

Найти закон распределения случайной величины .

Решение.

4.2. Возведение случайной величины в степень.

Определение. Квадратом случайной величины называется случайная величина, которая принимает значенияс вероятностями.

Закон распределения случайной величины запишется в виде таблицы 5:

Таблица 5.

			...
			…

Заметим, что для случайных величин .

Пример. Закон распределения случайной величины задан таблицей 3.

Найти закон распределения случайной величины .

Решение.

Аналогично можно определить возведение случайной величины в любую степень.

Определение. ой степенью случайной величины называется случайная величина, которая принимает значенияс вероятностями.

Если закон распределения случайной величины задан таблицей 1, то закон распределения случайной величины имеет вид:

Таблица 7.

			...
			…

4.3. Функции одной случайной величины

Определение. Функцией одной случайной величины называется случайная величина , которая принимает значения с вероятностями.

Если закон распределения случайной величины задан таблицей 1, то закон распределения случайной величины можно записать в виде:

Таблица 8.

			...
			…

Пример 3. Закон распределения случайной величины задан таблицей 9:

Таблица 9.

	0,2	0,7	0,1

Найти закон распределения случайной величины .

Решение. Возможными значениями случайной величины являются

; ;.

Так как случайной величины принимает значение, если случайная величинапримет значенияили, причем событияинесовместны, то по теореме сложения находим

=.

Вероятность события совпадает с вероятностью события.

Поэтому закон распределения случайной величины можно записать в виде таблицы 10

Таблица 10.

	0,5	1
	0,9	0,1

4.4. Сумма, разность, произведение случайных величин.

Пусть заданы законы распределения двух дискретных случайных величин: случайная величина принимает значенияс вероятностями, а

случайная величина принимает значенияс вероятностями.

Определение. Две случайных величины иназываютсянезависимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Если случайные величины инезависимы, то независимы любые событияи, а поэтому

,

если случайные величины изависимы, то

.

Примером двух независимых величин могут служить – размер выигрыша

в одной лотерее, а – размер выигрыша в другой.

Аналогично определяется независимость событий ,,...,.

Определение. Случайные величины ,,...,называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не изменяется в зависимости от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины.

Будем в дальнейшем рассматривать только независимые случайные величины и .

Определение. Суммой двух случайных величин иназывается случайная величина, возможными значениями которой являются допустимые суммы, а вероятности этих значений находятся по формуле

.

Аналогично определяются такие действия как разность и произведение двух случайных величин.

Определение. Разностью (произведением) двух случайных величин иназывается случайная величина, возможными значениями которой являются допустимые разности(произведения ), а вероятности этих значений находятся по формуле

.

Введенные операции над случайными величинами можно обобщить на любое конечное количество случайных величин.

Пример. Заданы законы распределения двух дискретных случайных величин.

Таблица 11. Таблица 12.

	1	3	5			0	3
	0,1	0,3	0,6			0,2	0,8

Найти закон распределения случайной величины .

59