4. Теорема Чебышева

Теорема Чебышева. Если случайные величины , ,…, независимы, имеют соответственно математические ожидания , ,…, и дисперсии , ,…, , каждая из которых ограничена одним и тем же числом, то с возрастанием средняя арифметическая случайных величин , ,…, сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий

6. Теорема Бернулли

Теорема Бернулли. Частость событияв независимых повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью, при неограниченном увеличении числа испытанийсходится по вероятности к вероятностиэтого события в отдельном испытании

.

7. Теорема Пуассона.

Теорема Пуассона. Частость событияв независимых повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями,, …,при неограниченном увеличении числа испытанийсходится по вероятности к средней арифметической вероятностей этого события в отдельных испытаниях

7. Интегральная теорема Муавра – Лаплапса.

7.3. Центральная предельная теорема Ляпунова. Следствия.

Рассмотренные выше теоремы закона больших чисел устанавливали факт приближения средней большого числа случайных величин к определенным постоянным. Но этим не ог­раничиваются закономерности, возникающие в результате сум­марного действия случайных величин. Оказывается, что при не­которых условиях совокупное действие случайных величин при­водит к определенному, а именно — к нор­мальному закону распределения.

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых воз­никает нормальный закон распределения.

Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Если случайные величины , ,…, независимы, и у каждой из них существует математическое ожидание , дисперсия , абсолютный централь­ный момент третьего порядка , причем

,

то закон распределения суммы принеограниченно приближается к нормальному закону распределения с математическим ожиданиеми дисперсией.

Теорему принимаем без доказательства.

Смысл теоремы состоит в том, чтобы в сумме влияние слагаемых должно быть мало по сравнению с суммарным влия­нием остальных, т.е. удельный вес каждого отдель­ного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.

Так, например, потребление электроэнергии для бытовых нужд за месяц в каждой квартире многоквартирного дома можно представить в виде различных случайных величин. Если по­требление электроэнергии в каждой квартире по своему значе­нию резко не выделяется среди остальных, то на основании тео­ремы Ляпунова можно считать, что потребление электроэнергии всего дома, т.е. сумма независимых случайных величин будет случайной величиной, имеющей приближенно нормальный за­кон распределения. Если, например, в одном из помещений до­ма разместится вычислительный центр, у которого уровень по­требления электроэнергии несравнимо выше, чем в каждой квартире для бытовых нужд, то вывод о приближенно нормаль­ном распределении потребления электроэнергии всего дома бу­дет неправомерен, т.к. потреб­ление электроэнергии вычислительного центра будет играть превалирующую роль в образовании всей суммы потребления.

Следствие 1. Если случайные величины , ,…, независимы, и у каждой из них существует математическое ожидание , дисперсия , абсолютный централь­ный момент третьего порядка , то закон распределения суммы принеограниченно приближается к нормальному закону распределения.

Следствие 2. Если все случайные величины , ,…, одинаково распре­делены, то закон распределения их суммы неограниченно приближа­ется к нормальному закону при .