7.4. Интегральная и локальная теоремы Муавра – Лапласа. Следствия.
Интегральная теорема Муавра—Лапласа. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отличнаот и, то вероятность того, что числонаступления события в независимых испытаниях заключено в пределах отдо(включительно), при достаточно большом числе приближенноравна
, (1)
где -функция Лапласа.
Формула (1) называется интегральной формулой Муавра— Лапласа.
Чем больше , тем точнее эта формула. При выполнении условия интегральная формула (1) дает незначительную погрешность вычисления вероятностей.
Следствия
Следствие 1. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отличнаот и, топри достаточно большом числе независимых испытаний вероятность того, что частотанаступления событияотличается от произведенияпо абсолютной величине не более, чем на величину , определяется по формуле
. (2)
Доказательство.
Следствие 2. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отличнаот и, топри достаточно большом числе независимых испытаний вероятность того, что частостьнаступления событияотличается от вероятности этого события в отдельном испытаниипо абсолютной величине не более, чем на величину , определяется по формуле
.(3)
Доказательство.
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отличнаот и, топри достаточно большом числе независимых испытаний вероятностьтого, чтособытие произойдетраз внезависимых испытаниях определяется по формуле
, (4)
где ,.
Формула (4) называется локальной формулой Муавра—Лапласа.
Чем больше , тем точнее эта формула. При выполнении условия локальная формула (4) дает незначительную погрешность вычисления вероятностей.
Таблица значений функции приведена в приложении 1.