Контр 1 Математика

Н а й т и п р о и з в о д н ы е

dy

д а н н ы х ф у н к ц и й .

dx

11.

а)

y

3x

6 4

x ;

б)

y sin3 2x ;

в)

y x arcsin x 1 x2 ;

3

2 x

г)

y xe

x

;

д) exy x2

y2 0 ; е)

x 2t sin 2t,

sin

3

t.

y

12.

а)

y

1 3x2

;

б)

y e x 2

cos(2x 3) ;

в) y x3 arctg5x ln tgx ;

2 3x2

x 2cos3 t,

г)

y (sin 3x)

x ;

д)

y ln x x ln y x y ;

е)

y sin3 2t.

13.

y 3

y

1 sin 2x

;

в) y 5arctg3x ;

x

а)

x ;

б)

1 sin 2x

2

x 2t t 2 ,

г)

y xln

2

;

д) ex y

x y 0 ;

x

е)

y 3t t3.

14.

1 x

6

а)

y (5x2

x 3)7 ;

б)

y ln

;

в)

y arctg

x2 1 ;

1 x6

г)

y (x2 1)tg 2 x ;

д) x sin y cos y cos 2y 0 ;

е)

x cos t t sin t,

y sin t t cos t.

15.

а)

y x

3

1 x

;

б)

y e

cos2

3x

;

в)

y ln(arcsin x) ;

1

x

г)

y (x2 x)x ;

д) tg(x y) x y 0 ;

е) x t sin t,

y 1 cos t.

16.

1 x

3

1

а)

y 3

;

б) y

1 ln2 x ;

в) y arccos

;

1 x3

x

t

1

sin 2t,

г)

y xarctgx ;

д)

y sin x cos(x y) cos x ;

е) x

2

3

y cos

t.

17.

2

1 x

sin x

3x

а)

y

1

;

б)

y

;

в)

y arctg(e

) ;

x

1

1 tgx

е) x ctgt ,

г)

y x

x 1 ;

д)

y arcsin( x y) 3x 0 ;

y (cos t) 2.

18.

1

tg 3 x tgx x ;

y arcctg

3 x

;

а)

y

x2 1 3

x3 1

;

б)

y

в)

3

x 2

г)

y (ln x)x ;

д)

x y ey arctgx 0 ;

е)

x cos 3t,

y sin 3t.

19.

в) y

e

x 2

1

;

а) y 3 1 x

б) y 1 ln2 x ;

x 3 ;

sin 3x

г)

y (cos x)tgx ;

д) ex y

sin(x y) ;

е)

x tgt,

y (sin t) 2.

20.

а)

y

3

2

6x 5 ;

б)

y cos 2x sin2 x ;

в)

y ln(arctgx) ;

3

x3 3x 1

2

x 3cos t,

г)

y x x ;

д)

ex

y

(x 2y) 0 ;

е)

4sin

2

t.

y

11

Н а й т и п р о и з в о д н у ю

d 2 y

д а н н о й ф у н к ц и и .

dx2

21.

y arctg(x2 ) .

22.

y ln(ln x) .

23.

24.

y x2 ln x .

y x

1 x2 .

25.

y x3 ln x .

26.

y ln(sin x) .

27.

1

28.

y ln2 x .

y x

e x .

29.

y

1

x2 (2ln x 3) .

30.

y

x

.

4

1 x2

Н а й т и п р е д е л ы , и с п о л ь з у я п р а в и л о Л о п и т а л я .

31.

lim

x cos x sin x

.

lim

tgx sin x

.

33.

lim

1 cos x

.

32.

x

3

4x sin x

tgx

x 0

x 0

x 0

34.

35.

lim

tg 3x

.

36.

1 cos x2

x

.

tg 5x

lim

x

2

sin x

2 .

lim

x 0

x

x 2

x 0

ctg

2

37.

lim

tgx x

.

38.

lim

x cos x sin x

.

39.

lim

tgx x

.

x sin x

x

3

x 0

x 0

x 0

2sin x x

40.

lim

x

.

1 cos x

x 0

Найти наименьшее и наибольшее значения функции y f (x) на отрезке

a, b .

41.	y 2x 12				, 1 ; 0 .					42.	y			3x		,			0; 5 .		43.	y	2	x	3	, 1; 1 .
														2
		(x 1)											x 1
						2																	x x 1
44.	y	x3 4	,		1;	2 .				45.	y				x		, 2; 2 .				46.			y x2 2x				2		,
														x		2											x 1
		x2									9
																					1;	3 .
47.	y 108x x4 , 1;								4 .	48.	y		x4		6x3				7 , 16;	20 .	49.				y 3x4 16x3			2 ,
											4										3;	1 .
50.	y x5 5x4				5x3 1, 1;					2 .

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию

y f (x) и, используя результаты исследования, построить гр афик.

12

	y			x2						y	x2		1			53.										y	x2		5			y	x		4
51.						.			52.						.										54.					.	55.					.
				x	1						x2		1				4x	3	5								x		3				x3 1
																y						.
																		x
56. y			x2		2x 2			.	57.							58. y				4x3				.	59.						60.
					x		1		y	x 1		.								x3		1			y	x2		.			y	2 x2		.
										2
										(x 1)																4x2 1						1 4x2

13