Контр 4,5,6

ХВ О С Т Е Н К О Е . Е .

КО Н Т Р О Л Ь Н Ы Е Р А Б О Т Ы П О М А Т Е М А Т И К Е

для студентов заочной формы обучения

(II семестр, контрольные работы № 4, 5, 6)

С а н к т - П е т е р б у р г 2 0 1 2

2

Номера заданий для выполнения контрольной работы № 4

Номера заданий контрольной работы №4 студент определяет по последним двум цифрам номера зачетной книжки (номер на магнитной карточке) из приведённой ниже таблицы. Например, № 5038, тогда студенту нужно выполнить задания, номера которых указаны в ячейке на пересечении 3 строки и 8 столбца.

П р е д п о с л е д н я я ц и ф р а н о м е р а з а ч е т н о й к н и ж к и

	П о с л е д н я я ц и ф р а н о м е р а з а ч е т н о й к н и ж к и
			1		2		3		4		5		6		7		8		9
		0
0		1,20,	2,11,		3,12,		4,13,		5,14,		6,15,		7,16,		8,17,		9,18,		10,19,
		29,38	30,39		21,40		22,31		23,32		24,33		25,34		26,35		27,36		28,37
1		1,11,	2,12,		3,13,		4,14		5,15,		6,16,		7,17,		8,18,		9,19,		10,20,
		21,31	22,32		23,33		24,34		25,35		26,36		27,37		28,38		29,39		30,40
2		10,11,	9,20,		8,19,		7,18,		6,17,		5,16,		4,15,		3,14,		2,13,		1,12,
		22,33	21,32		30,31		29,40		28,39		27,38		26,37		25,36		24,35		23,34
3		1,12,	2,11,		3,14,		4,13,		5,16,		6,15,		7,18,		8,17,		9,20,		10,19,
		21,32	22,31		23,34		24,33		25,36		26,35		27,38		28,37		29,40		30,39
4		2,11,	3,12,		4,13,		5,14,		6,15,		7,16,		8,17,		9,18,		10,19,		1,20,
		21,32	22,38		23,39		24,40		25,31		26,32		27,33		28,34		29,35		30,36
5		3,12,	4,13,		5,14,		6,15,		7,16,		8,17,		9,18,		10,19,		1,20,		2,11,
		27,33	25,39		28,38		24,31		23,40		22,33		28,32		25,35		26,34		21,37
6		4,11,	5,12,		6,13,		7,14,		8,15,		9,16,		10,17,		1,18,		2,19,		3,20,
		21,34	22,40		23,37		24,32		25,39		26,34		29,31		24,36		27,33		22,38
7		5,13,	6,18,		7,19,		8,14,		9,15,		10,20,		1,11,		2,16,		3,17,		4,12
		28,35	24,31		29,36		25,33		22,38		27,35		26,40		23,37		28,32		23,39
8		6,14,	7,17,		8,20,		9,13,		10,16,		1,19,		2,12,		3,15,		4,18,		5,11,
		27,36	23,32		30,35		26,34		21,37		28,36		27,39		22,38		29,31		24,40
9		7,15,	8,16,		9,11,		10,12,		1,17,		2,18,		3,13,		4,14,		5,19,		6,20,
		26,37	22,33		21,34		27,35		30,36		29,37		30,38		21,39		30,40		25,31

3

З а д а н и я к к о н т р о л ь н о й р а б о т е № 4 Найти неопределенные интегралы [в заданиях а), б), в) правиль-

ность результатов проверить дифференцированием ].

1. а)

б)

5

1

6

x

5

5x

2

3

dx .

3 2x

dx .

2x 9

x

в)

1

г)

8 2x

dx .

sin(9x 1)

dx .

4x

2

7

1 3x

2

12

д) (x

2

3) cos xdx .

е)

dx .

(x 2)(x 2 2x 3)

2. а)

в)

д)

3. а)

в)

д)

4. а)

в) д)

5. а)

в)

д)

6. а)

в)

2x3 x5 1 dx . x

			1
cos(3x 7)			9 8x	2		dx .

x 2 e x dx .

4x 2x 5 dx .

x2

			1
sin(7x 1)					dx .
			2
		4x		3

x sin x cos xdx .

3x2 x3 7 dx .

x3

			14
cos(5x 8)		2x	2		7		dx .

x sin 2 xdx .

x3 3x4 2 dx . x

1

sin(5x 3)

2

1

dx .

3x

x 2 cos 2xdx .

2

6 x

x

3 dx .

x

5

cos(3

4x)

3 4x

2

dx .

б)

г)

е)

б) г)

е)

б)

г)

е)

б) г)

е)

б)

г)

4

1

2 5x

dx .

7

3x

1 3x

dx .

x 2 1

x 2

19x 6

dx .

(x 1)(x 2

5x 6)

3

1

5 2x

dx .

1

7x

x 4

dx .

9 x 2

2x 2

41x 91

dx .

(x 2 2x 3)(x 4)

1

1

dx .

(3 x)5

5 4x

5x 1

dx .

x 2 3

3x 2 15

dx .

(x 1)(x 2

5x 6)

5

1

3 2x

dx .

3

2x

5 x

dx .

2

2 x

3x 2

3x 24

dx .

(x 2 x 2)(x 3)

1

1

dx .

3

5 3x

(1 4x)5

	x 3
	9x 2 7 dx .

4

д)

7. а)

в)

д)

8. а)

в)

д)

9. а)

в)

д)

10. а)

в)

д)

ln(x 5)dx .

2x3 x 4 dx .

x2

1

sin(3 4x)

3 5x

2

dx .

ln(x 4)dx .

2 4 x

3

x

x

3 dx .

3

cos(5

2x)

7x

2

dx .

4

ln

x

dx .

x

2

x x 2 3

dx .

3

x

9

cos(2

3x)

9x

2

dx .

3

ln 2

xdx .

3 3 x

2

2x

dx .

x

3

3x)

sin(2

9x

2

3

dx .

ln(x 2)dx .

е)

б)

г)

е)

б)

г)

е)

б)

г)

е)

б)

г)

е)

x 2 6x 6

dx .

(x 1)(x 2

x 2)

1

1 3x

dx .

4

3x

1 5x

dx .

2

1 25x

2x 2

26

dx .

(x 2 4x 3)(x 5)

7

1

(1 4x)

dx .

3x

2

5 3x

dx .

2x 2 1

					8x					dx .
		(x 2		6x 5)(x 3)
				1				1
									dx .
	1 x					1		4x
		6x 1			dx .
		2x 2		1

			7x 2 17x
								dx .
		(x 2)(x 2				2x 3)
						1
			3 x				dx .
						3 x
		2 3x
				dx .
		x 2	2

3x 2 20x 9

(x 2 4x 3)(x 5) dx .

В ы ч и с л и т ь о п р е д е л ё н н ы е

11.	а)	ln(3x 2)dx .
		2
		1
12.
	а)	(x 3)sin xdx .
13.	а)
		arctg(2x 3)dx .
		2
			3
14.	а)	2
		(x 2) cos x dx .

0	2

и н т е г р а л ы :

	7
	3							xdx
б)															.
	2							2 3x
	3
	5							xdx
б)												.
	0							x 4
	ln 29								dx
б)																	.
									e x 4
			ln 5
	13							x 1
б)															dx .
							3
								2x		1
	0

5

15. а)

16.

а)

17. а)

18.

а)

19.а)

20.а)

e2

x ln xdx .

1

2

x cos xdx .

0

2

( y 1) ln ydy .

1

1

2

arccos 2xdx .

12

x2 sin xdx .

0

3

y ln( y 1)dy .

2

0

x

б)

1

e

dx .

x

1 e

ln 3

2 ln 2

dx

б)

.

e

x

1

ln 2

5

dx

б)

.

2x

3x

1

0

4

dx

б)

.

0 1

2x 1

8

x 1

1

б)

dx .

3

x 1 1

29

3 (x 2) 2

б)

dx .

3

3

3

(x 2) 2

В ы ч и с л и т ь	и н т е г р а л с п о м о щ ь ю	ф о р м у л ы С и м п с о н а ,
р а з б и в и н т е р в а л и н т е г р и р о в а н и я н а 1 0 ч а с т е й .

21.

1,5

dx

26.

1,4

dx

																	.																														.
							1 2x				2																					2x					2				3
22.	0,6																							27.	0,8
	1,2						dx																		1,2								dx
													.																														.
							3 x			2																						x		2			1
23.	0,4																							28.	0,2
	2,4						dx																		2										dx
																			.																															.
							0,5 x							2																	2x					2
24.	1,2																							29.	1														1,3
	2,1						dx																		2,7											dx
																.																																			.
							3x	2																									x		2
25.	1,4										1													30.	1,2													3,2
	1,2							dx																	1,6									dx
																					.																								.
							2 0,5x											2														2x					2
	0,4																								0,8																1
В ы ч и с л и т ь п л о щ а д ь п л о с к о й ф и г у р ы ,																																																				о г р а н и ч е н н о й
з а д а н н ы м и л и н и я м и .
31.	y (x 1)2 ,																					y 1 x ,	y 0 .	36.						y x 2													1,									y 3 x .
32.	y 4 x 2 ,																					y x 2 ,	y 0 .	37.						y (x 2)2 ,																						y x 2 .
33.	y 4x x 2 ,																					y 4 x ,	y 0 .	38.						y 4 x 2 ,																						y x 2 .
34.																	y (x 2)2 ,							39.						xy 4 ,																	x y 5 0 .
	y x ,																						y 0 .
35.	y x3 ,											y 2x x 2 , y 0 .												40.														x 2															x 2
																														y												,									y 3x			.
																																							4														2

6

Номера заданий для выполнения контрольных работ № 5, 6

Номера заданий контрольной работы №4 студент определяет по последним двум цифрам номера зачетной книжки (номер на магнитной карточке) из приведённой ниже таблицы. Например, № 5038, тогда студенту нужно выполнить задания, номера которых указаны в ячейке на пересечении 3 строки и 8 столбца.

П о с л е д н я я ц и ф р а н о м е р а з а ч е т н о й к н и ж к и

			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	и	0	1,20,	2,11,	3,12,	4,13,	5,14,	6,15,	7,16,	8,17,	9,18,	10,19,
			29,38,	30,39,	21,40,	22,31,	23,32,	24,33,	25,34,	26,35,	27,36,	28,37,
	к		47	48	49	50	41	42	43	44	45	46
	ж
	н и	1	1,11,	2,12,	3,13,	4,14	5,15,	6,16,	7,17,	8,18,	9,19,	10,20,
			21,31,	22,32,	23,33,	24,34,	25,35,	26,36,	27,37,	28,38,	29,39,	30,40,
	к
			41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
	о й
			10,11,	9,20,	8,19,	7,18,	6,17,	5,16,	4,15,	3,14,	2,13,	1,12,
	н	2
			22,33,	21,32,	30,31,	29,40,	28,39,	27,38,	26,37,	25,36,	24,35,	23,34,
	е т
			44	43	42	41	50	49	48	47	46	45
	а ч
			1,12,	2,11,	3,14,	4,13,	5,16,	6,15,	7,18,	8,17,	9,20,	10,19,
	з	3
			21,32,	22,31,	23,34,	24,33,	25,36,	26,35,	27,38,	28,37,	29,40,	30,39,
	а
			41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
	м е р
		4	2,11,	3,12,	4,13,	5,14,	6,15,	7,16,	8,17,	9,18,	10,19,	1,20,
	о		21,32,	22,38,	23,39,	24,40,	25,31,	26,32,	27,33,	28,34,	29,35,	30,36,
	н		43	49	45	41	47	43	49	45	41	42
	р а
		5	3,12,	4,13,	5,14,	6,15,	7,16,	8,17,	9,18,	10,19,	1,20,	2,11,
	ф
			27,33,	25,39,	28,38,	24,31,	23,40,	22,33,	28,32,	25,35,	26,34,	21,37,
	и
			44	50	46	42	48	44	50	46	42	41
	ц
	я я
		6	4,11,	5,12,	6,13,	7,14,	8,15,	9,16,	10,17,	1,18,	2,19,	3,20,
			21,34,	22,40,	23,37,	24,32,	25,39,	26,34,	29,31,	24,36,	27,33,	22,38,
	д н
			45	41	47	43	49	45	41	47	43	50
	л е
			5,13,	6,18,	7,19,	8,14,	9,15,	10,20,	1,11,	2,16,	3,17,	4,12
	с	7
	о		28,35,	24,31,	29,36,	25,33,	22,38,	27,35,	26,40,	23,37,	28,32,	23,39,
	п		46	42	48	44	50	46	42	48	44	49
	е д
			6,14,	7,17,	8,20,	9,13,	10,16,	1,19,	2,12,	3,15,	4,18,	5,11,
	р	8
	П		27,36,	23,32,	30,35,	26,34,	21,37,	28,36,	27,39,	22,38,	29,31,	24,40,
			47	43	49	45	41	47	43	49,59	45	48
		9	7,15,	8,16,	9,11,	10,12,	1,17,	2,18,	3,13,	4,14,	5,19,	6,20,
			26,37,	22,33,	21,34,	27,35,	30,36,	29,37,	30,38,	21,39,	30,40,	25,31,
			48	44	50	46	42	48	44	50	46	47

7

З а д а н и я к к о н т р о л ь н о й р а б о т е № 5

Найти общее решение (общий уравнения.

1.а) (1 y 2 )dx (1 x2 )dy 0 ,

2.а) (1 y 2 )dx xydy 0 ,

3.а) (1 y 2 )dx xdy ,

4.а) xyy 1 x 2 ,

5.а) y tgx y a ,

6.а) xy y y 2 ,

7.	а)	y a x y ,
8.	а)	y 10 x y ,
9.	а)	y	1 y 2					,
			1		x 2
10.	а)	y 2
						y ln x ,

интеграл) дифференциального

б)	x2	2xy xyy 0 .
б)	y 2	x2 y xyy .
б)	xyy y 2					2x 2 .
б)	x2	y 2 xyy 0 .
б)	(x 2 y 2 ) y xy 0 .
б)	xy y x 2 cos x .
б)	xy 2y x3 cos x .
б)	y		2 y			(1 x)3 .
			1 x
б)	y		2 y				x 1		.
			x				x
б)	y		y			x 2 .

x 1

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

11.	y 6y 9y x2 x 3;	4			1
		y 0		,	y 0			.
			3			27
12.	y 3y x cos x ;	y 0 0 ,			1
					y 0				.
							9
13.	y 6y 9y e3x ;	y 0 1,			y 0 0 .
14.	y y 9x e2 x ;	y 0 0 ,			y 0 5 .
15.	y 2y 5y 5x2 4x 2 ;	y 0 0 ,			y 0 2 .
16.	y 4y 4y 2 sin 2x x ;	y 0 0 ,			y 0 1.
17.	y 4y 8sin 2x ;	y 0 0 ,			y 0 0 .
18.	y 4y 4y e3x 25sin x ;	y 0 2 ,			y 0 0 .
19.	y 9y 6 e3x ;	y 0 0 ,			y 0 0 .
20.	y 3y 2y e3x 3 4x ;	y 0 0 ,			y 0 0 .

8

И с с л е д о в а т ь

21.				n			n
					.
	n 1	n 1
22.				n
					.
		2n 1
	n 1
23.				n
						.
		5n 2
	n 1
24.		3n n!
				n n	.
	n 1
25.		n 1					2n
					.
				n
	n 1

по л о ж и т е л ь н ы й ч и с л о в о й р я д н а с х о д и м о с т ь .

26.(2n)! .n

n 1 n! 5

27.
	cos										.
						n
	n 0				2
28.
				n		1
	3									.
				n		1
	n 1
29.
	cos								.
						n
	n 1				5
30.		n 2			2n 1
															.
				3n			2						5
	n 1

Н а й т и о б л а с т ь с х о д и м о с т и с т е п е н н о г о р я д а un (x) .

n 1

31.

un

(x)

x n

.

n(n 2)

32.

un

(x)

x n

.

2n (n 1)

33.

un

(x)

x n

.

3n (n

2)

34.

2n x n

un

(x)

.

n

35.

un

(x)

x n

.

n n 1

36.	un	(x)				n 2	x n				.
						3n
37.	un	(x)				(n 1) x n
							n!
38.	un	(x)				x n		.
						n 5n
39.	un	(x)				n x n			.
						n 2
							1
40.	un	(x)				(n 1) x n
							n 4n

.

.

Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, разложив по-

дынтегральную функцию в ряд и почленно интегрируя этот ряд.													x 2
41. 1	x		2		45.	0,5					48.	1
e				dx .			1 x	2	dx .
	2
												arctg		2	dx .
0						0						0

42.	0,5
			x cos xdx .
43.	0,2
	0,2
			x e x dx .
	0

46.	1
	x 2 sin xdx .
47.	0
	0,2
	ln 1 x3	dx .
	0

49.	arctg x dx .
	0,5
	0	x
50.			dx .
	e x 2
	0,5
	0

44.	0,25
	ln 1		dx .
		x
	0

9

З а д а н и я к к о н т р о л ь н о й р а б о т е № 6

y

1 z

1 z

z

1.

Дана функция z

. Показать, что

.

x 2

y 2

5

x x

y y

y 2

2.

Дана функция z x ln

y

. Показать, что x

z

y

z

z .

x

x

y

3.

Дана функция z x 2

y 2

tg

x

. Показать, что

x

z

y

z

2z .

x

y

y

4.

Дана функция z ln x2

y 2 2x 1 . Показать, что

2 z

2 z

0 .

x 2

y 2

5.

Дана функция z arcsin

x y

. показать, что

x

z

y

z

0 .

x

y

x y

6.

Дана функция z

2x 3y

. Показать, что x

z

y z

z .

x 2

y 2

x

y

7.

Дана функция z

x 2

y 2

. Показать, что

z

z

2 x y

.

y

y

x y

x

x

8.

Дана функция z ln

x

x3 y 3 . Показать, что

x

z

y

z

3 x3 y 3 .

y

x

y

9.

Дана функция z sin x sin y sin 2x y .

Показать, что z

z

cos x cos y 3cos 2x y

x

y

10. Дана функция z

y 2

arcsin xy . Показать, что x

2

z

xy

z

y 2 0 .

3x

x

y

Дана функция z f x,

y и две точки A x0 , y0

и B x1 , y1 . Требуется:

1)вычислить значение z1 функции в точке B ;

2)вычислить приближённое значение z1 функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A , заменив приращение функции при пере-

ходе от точки A к точке B дифференциалом, и оценить в процентах отно-

сительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом;

3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z f x, y в точке C x0 , y0 , z0 и проверить, лежит ли точка D x1 , y1 , z1 в этой плоскости.

11.	z x2 2xy 3y 2 ;		A 2,1 ,	B 1,96;1,04 .
12.	z xy 2 y 2	2x ;	A 1, 2 ,	B 0,97; 2,03 .
13.	z 2x 2 y 2	3y ;	A 2, 2 ,	B 2,03; 2,04 .

				10
14.	z 2x 2 3xy y 2 ;			A 1, 2 ,	B 0,96;1,95 .
15.	z x2	y 2	2x y 1;	A 2, 4 ,	B 1,98; 3,91 .
16.	z x 2	2xy y 2 ;		A 3, 4 ,	B 2,94; 4,05 .
17.	z 2y 2 9xy y ;			A 3,1 ,	B 2,94;1,07 .
18.	z x2	y 2	4x 2y ;	A 3, 2 ,	B 2,98; 2,05 .
19.	z 2xy 2x y ;			A 2,1 ,	B 1,93;1,05 .
20.	z x2	y 2	2x 2y ;	A 1, 2 ,	B 1,08;1,94 .

Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области.

21.z x2 2xy y x 3 .

22.z x2 2xy y

y 0 , x 2 .

2

2

4x в треугольнике, ограниченном прямыми y x 1, y 0 ,

2x 2y в треугольнике, ограниченном прямыми y x 2 ,

23.	z x2 2xy y 2		4x 1		в треугольнике, ограниченном прямыми x y 1 0 ,
	y 0 ,	x 3 .
24.	z 4x 2y 4x2		y 2	6	в треугольнике, ограниченном прямыми x 0 ,	y 0 ,
	x y 2 0 .
25.	z 5x2	3xy y 2 4		в треугольнике, ограниченном прямыми x 1,		y 1,
	x y 1.
26.	z 4x2	9y 2 4x 6y 3 в треугольнике, ограниченном прямыми				x 0 ,
	y 0 ,	x y 1.

27.z x 2 2xy 52 y 2 2x в квадрате 0 x 2 , 0 y 2 .

28.z 2x2 4xy 5y 2 8x 6 в квадрате 0 x 4 , 0 y 4 .

29.z 5x2 8xy 5y 2 18x 18y в прямоугольнике 0 x 2 , 0 y 3.

30.z 2xy 3x 2 3y 2 4x 4y 4 в прямоугольнике 0 x 3 , 0 y 2 .

Даны: функция z z x, y , точка A и вектор a . Требуется найти:
1) grad z в точке A ; 2) производную в точке A в направлении вектора a .
31.	z 3x2	2xy ;	A 1, 2 ;		4i 3 j .
				a
32.	z 2x 2	3xy y 2 ;	A 2,1 ;		3i 4 j .
				a
33.	z ln x2 3y 2 ;		A 1,1 ;		3i 2 j .
				a