Часть-I.-Сфероидическая-геодезия

где p = (a +b + c) / 2; a, b, c −стороны треугольника, выраженные

в градусной мере.

Для получения точных значений плоских углов треугольника вычисленный сферический избыток распределяется в соответствии с соотношениями:

A1 = Aсф −ε / 3 − A ;

B1 = Bсф −ε / 3 − B ;

C1 = Cсф −ε / 3 − C ,

где m2 =

a2 +b2 +c2

;

A =

ε m2 −a2

;

=

ε

m2 − b2

;

C =

ε m2 −c2

60 Rm2

B

60 Rm2

3

60 Rm2

Для контроля вычисляют сферические углы треугольника по формулам полупериметра:

tg 2 ( A / 2) =	sin( p −b) sin( p −c)	; tg 2	(B	сф	/ 2) =	sin( p − a) sin( p −c)	;
сф	sin p sin( p − a)					sin p sin( p −b)

tg 2 (Cсф	/ 2) =	sin( p − a) sin( p −b)	.
		sin p sin( p −c)

Пример вычисления

		Исходные данные		Таблица 2.1
Точки	Значение углов		Широты точек	Расстояния, м
А	30°03'56",842		52°00'00"	804 666,593
В	90	03 56,391	56 43 42
С	60	03 56,966	54 00 00

Таблица 2.2 Вычисление поправок в углы за сфероидичность треугольника

	Формулы	Результаты	Формулы	Результаты
		вычислений		вычислений
	a	6 378 245	1−1,25e2 sin 2 BC	0,99452
	a(1 − e2 )	6 335 553	1−1,25e2 sin 2 Bm	0,99449
	ВА	52°00'00"	MА	6 375293
	BB	56 43 42	MB	6 380 290
	BC	54 00 00	MC	6 377 406
	Bm	54 14 36	Mm	6 377 662
	0,25e2	0,00167	0,75e2	0,00502
	1,25e2	0,00837	0,75e2 sin 2 BA	0,00312
	sin BA	0,78801	0,75e2 sin 2 BB	0,00351

11

Таблица 2.2 (продолжение)

	Формулы	Результаты	Формулы	Результаты
		вычислений		вычислений
	sin BB	0,83608	0,75e2 sin 2 BC	0,00329
	sin BC	0,80902	0,75e2 sin 2 Bm	0,00331
	sin Bm	0,81151	1 −0,25e2 sin 2 BA	0,99896
	sin 2 BA	0,62096	1 −0,25e2 sin 2 BB	0,99883
	sin 2 BB	0,69903	1 −0,25e2 sin 2 BC	0,99891
	sin 2 BC	0,65451	1−0,25e2 sin 2 Bm	0,99890
	sin 2 Bm	0,65855	1 −0,75e2 sin 2 BA	0,99688
	0,25e2 sin 2 BA	0,00104	1 −0,75e2 sin 2 BB	0,99649
	0,25e2 sin 2 BB	0,00117	1 −0,75e2 sin 2 BC	0,99671
	0,25e2 sin 2 BC	0,00109	1 −0,75e2 sin 2 Bm	0,99669
	0,25e2 sin 2 Bm	0,00110	N A	6 391553
	1,25e2 sin 2 BA	0,00520	NB	6 393 222
	1,25e2 sin 2 BB	0,00585	NC	6 392 323
	1,25e2 sin 2 B	0,00548	Nm	6 392 387
	C
	1,25e2 sin 2 Bm	0,00551	e /12	59,074”
	1 +0,25e2 sin 2 BA	1,00104	(K A − K) / K	0,00050
	1 +0,25e2 sin 2 BB	1,00117	(KB − K) / K	-0,00054
	1 +0,25e2 sin 2 B	1,00109	(KC − K) / K	0,00005
	C
	1 +0,25e2 sin 2 Bm	1,00110	δA	0,030”
	1 −1,25e2 sin 2 BA	0,99480	δB	-0,032
	1 −1,25e2 sin 2 BB	0,99415	δC	0,003

Таблица 2.3

Вычисление сферических углов

Aсф	= A −δA	30°03'56",812
Bсф	= B −δB	90 03 56 ,423
Cсф	= C −δC	60 03 56 ,963

12

Таблица 2.4

Вычисление приближенного значения сферического избытка

	Формулы	Результаты вычислений	Формулы	Результаты вычислений
	f	0,002530	sin A	0,500 993 95
	b2 , км2	647 488,320	sin B	0,999 999 34
			sin C	0,866 599 24
	ε"	711”,212	εo	11’51”,212

Таблица 2.5

Вычисление приближенных значений сторон треугольника

	Вершины	Углы сферического	Поправки из	−ε / 3	Углы	Синусы	Стороны,
					плоского
		треугольника	уравнивания −w / 3			углов	м
					треугольника
	А	90°03'56",423	0,338	-3'57",071	89°59'59",690	1,000 00000	804 666,593
	В	30 03 56 ,812	0,338	-3 57 ,070	30 00 00 ,080	0,500 00034	402 333,560
	С	60 03 56 ,963	0,338	-3 57 ,071	60 00 00 ,230	0,866 02596	696 862,150
	Σ	180 11 50,198	1,014	-11 51,512	180 00 00,000
	ε	11 51,212
	w = Σ −	- 1,014
	−(ε +180o )

13

Таблица 2.6 Вычисление точного значения сферического избытка

	Формулы		Результаты	Формулы
			вычислений
	ρ"/ Rm		0,032 304 551	( p −c) / 2
	aρ"/ Rm		12 997",205=	tg( p / 2)
			3°36'37",205
	bρ"/ R	m	25 994,393=	tg[( p −a) / 2]
			7°13'14",393
	cρ"/ R		22 511,818=	tg[( p −b) / 2]
	m		6°15'11",818
	2 p		17°05'03",416	tg[( p −c) / 2]
	p		8 32 31 ,708	tg 2 (ε / 4)
	p / 2		4 16 15 ,854	ε / 4
	( p −a) / 2		2 27 57 ,252	εo
	( p −b) / 2		0°39'38",658

Вычисление поправок ∆

	Формулы	Результаты	Формулы
		вычислений
	a2	161 871,84	2c2
	b2	647 787,37	a2 +c2
	c2	485 616,64	2b2
	(MN)m	40 768 318,64	ε / 60
	3(MN)m	123 304 950,0	A
	b2 +c2	1 133 404,0	B
	2a2	323 743,68	C
	2b2	809 659,21

Результаты

вычислений

1 08 39 ,945

0,074 68263

0,043 06472

0,011 53257

0,019 97671

0,000 86078 0°02'57",550 0 11 50 200

Таблица 2.7

Результаты

вычислений

971 233,28

647 488,48

1 295 574,70

11",8366

+0",078

-0,063

-0,016

Вычисление плоских углов треугольника

A = A −ε / 3 −		A	= 30o03'56",812 −3'56",733 −0",078 = 30o00'00",001
1	сф

B = B			−ε / 3 −	B	= 90o03'56",423 −3'56",733 +0",063 =89o59'59",753
1	сф
C = C		сф	−ε / 3 −	C	= 60o03'56",953 −3'56",733 +0",016 = 60o00'00",246
1

14

Таблица 2.8

Точное решение треугольников

	Вершины	Углы плоского	Синусы	Стороны
		треугольника
	B
		89°59'59",753	1,000 000 00	804 666,593
	A
		30 00 00 ,000	0,500 000 00	402 333,298
	C
		60 00 00 ,246	0,866 026 00	696 862,182

Σ180 00 00 ,000

Таблица 2.9

Контрольные вычисления (вычисления сферических углов)

	Формулы	Результаты вычислений		Формулы	Результаты
					вычислений
	ρ" / Rm	0,032 304551		sin( p −a)	0,085 970 03
	aρ' / Rm	12 997",205=		sin( p −b)	0,023 062 05
		3°36'37",205
	bρ" / Rm	25 994,393=		sin( p −c)	0,039 937 46
		7°13'14",393
	cρ" / Rm	22 511,818=		sin p	0,148 536 77
		6°15'11",818
	2 p	17°05'03",416		tg 2 ( A / 2 )	0,072 126 90
	p	8 32 31	,708	tg( A / 2)	0,268 564 52
	p −a	4 55 54	,508	A / 2	15°01'58",399
	p −b	1 19 17	,312	Aсф	30°03'56",798
	p −c	2 17 19	,884

Формулы		Результаты вычислений
tg 2	( B / 2 )
		1,002 295 10
tg(B / 2)		1,001 146 90
	B / 2
		45°01'58",215
	Bсф
		90°03'56",430
tg 2	( C / 2 )
		0,334 218 55
tg(C / 2)		0,578 116 38
	C / 2	30°01'58",477
	Cсф	60°03'56",954

15

Таблица 2.10

Варианты для самостоятельного решения

	№	Углы сфероидические				Широты точек		Расстояние b
		А	B	C	А	В	С
	1	77°52'28",641	36°23'23",350	65°46'55",341	59°50'08",341	57°48'47",602	58°11'35",500	210 227,583
	2	29",641	22",350	55",241	58°40'08",341	56 38 47,602	57 01 35,500	210 327,583
	3	30",641	21",350	55",141	57°30'08",341	55 28 47,602	55 51 35,500	210 427,583
	4	31",641	20",350	55",041	56°20'08",341	54 18 47,602	54 41 35,500	210 527,583
	5	32",641	19",350	54",941	55°10'08",341	53 08 47,602	53 31 35,500	210 627,583
	6	33",641	18",350	54",841	54°00'08",341	51 58 47,602	52 21 35,500	210 727,583
	7	34",641	17",350	54",741	53°50'08",341	51 48 47,602	51 11 35,500	210 827,583
	8	35",641	16",350	54",641	52°40'08",341	50 38 47,602	51 01 35,500	210 927,583
	9	36",641	15",350	54",541	51°30'08",341	49 28 47,602	49 51 35,500	211 027,583
	10	37",641	14",350	54",441	50°20'08",341	48 18 47,602	48 4135,500	211 127,583
	11	38",641	13",350	54",341	58°40'08",341	56 48 47,602	57 1135,500	211 227,583
	12	39",641	12",350	54",241	57°30'08",341	55 28 47,602	56 01 35,500	211 327,583
	13	40",641	11",350	54",141	56°20'08",341	54 18 47,602	54 41 35,500	211 427,583
	14	41",641	10",350	54",041	55°10'08",341	53 08 47,602	53 31 35,500	211 527,583
	15	42",641	09",350	53",941	54°00'08",341	51 58 47,602	52 21 35,500	211 627,583
	16	43",641	08",350	53",841	53°50'08",341	51 48 47,602	52 11 35,500	211 727,583
	17	44",641	07",350	53",741	52°40'08",341	50 38 47,602	51 01 35,500	211 827,583
	18	45",641	06",350	53",641	51°30'08",341	4928 47,602	49 51 35,500	211 927,583
	19	46",641	05",350	53",541	50°20'08",341	48 18 47,602	48 41 35,500	212 027,583
	20	47",641	04",350	53",441	58°30'08",341	56 28 47,602	56 51 35,500	212 127,583
	21	48",641	03",350	53",341	57°20'08",341	55 18 47,602	55 41 35,500	212 227,583
	22	49",641	02",350	53",241	56°10'08",341	54 08 47,602	54 31 35,500	212 327,583
	23	50",641	01",350	53",141	55°00'08",341	52 58 47,602	53 2135,500	212 427,583
	24	51",641	00",350	53",041	54°50'08",341	52 48 47,602	53 11 35,500	212 627,583
	25	52",641	22'59",350	52",941	53°40'08",341	51 38 47,602	52 01 35,500	212 727,583
	26	53",641	58",350	52",841	52°30'08",341	50 28 47,602	50 51 35,500	212 827,583
	27	54",641	57",350	52",741	51°20'08",341	4918 47,602	49 4135,500	212 927,583
	28	55",641	56",350	52",641	50°10'08",341	48 08 47,602	48 31 35,500	213 027,583

16

Таблица 2.10 (продолжение)

	№	Углы сфероидические				Широты точек		Расстояние b
		А	B	C	А	В	С
	29	56",641	55",350	52",541	59°00'08",341	56 58 47,602	57 21 35,500	213 127,583
	30	57",641	54",350	52",441	58°50'08",341	56 48 47,602	57 11 35,500	213 227,583
	31	58",641	53",350	52",341	57°40'08",341	55 38 47,602	56 01 35,500	213 327,583
	32	59",641	52",350	52",241	56°30'08",341	54 28 47,602	54 51 35,500	213 427,583
	33	53'00",641	51",350	52",141	55°20'08",341	53 18 47,602	53 41 35,500	213 527,583
	34	01",641	50",350	52",041	54°10'08",341	52 08 47,602	52 31 35,500	213 627,583
	35	02",641	49",350	51",941	53°00'08",341	51 58 47,602	52 21 35,500	213 727,583
	36	03",641	48",350	51",841	52°50'08",341	50 48 47,602	51 1135,500	213 827,583
	37	04",641	47",350	51",741	51°40'08",341	49 38 47,602	50 01 35,500	213 927,583
	38	05",641	46",350	51",641	50°30'08",341	48 28 47,602	49 51 35,500	214 027,583
	39	06",641	45",350	51",541	59°20'08",341	57 18 47,602	57 41 35,500	214 127,583
	40	07",641	44",350	51",441	58°10'08",341	56 08 47,602	56 31 35,500	214 227,583
	41	08",641	43",350	51",341	57°00'08",341	54 58 47,602	55 21 35,500	214 327,583
	42	09",641	42",350	51",241	56°50'08",341	54 48 47,602	55 11 35,500	214 427,583
	43	10",641	41",350	51",141	55°40'08",341	53 38 47,602	54 0135,500	214 527,583
	44	11",641	40",350	51",041	54°30'08",341	52 28 47,602	52 51 35,500	214 627,583
	45	12",641	39",350	50",941	53°20'08",341	51 18 47,602	51 41 35,500	214 727,583
	46	13",641	38",350	50",841	52°10'08",341	50 08 47,602	50 3135,500	214 827,583
	47	14",641	37",350	50",741	51°00'08",341	48 58 47,602	49 21 35,500	214 927,583
	48	15",641	36",350	50",641	50°50'08",341	48 48 47,602	49 11 35,500	215 027,583
	49	16",641	35",350	50",541	59°40'08",341	57 38 47,602	58 0135,500	215 127,583
	50	17",641	34",350	50",441	58°30'08",341	56 28 47,602	56 51 30,500	215 227,583

17

2.2. Вычисление сфероидических углов треугольника по измеренным сторонам

В качестве исходных данных в этой задаче заданы длины сторон треугольника и широты его вершин. Решение выполняют

вследующем порядке:

1.Определяют сферические углы треугольника и сферический избыток по формулам:

tg 2 ( A	/ 2) =				sin( p −b) sin( p −c)
сф					sin p sin( p − a)
tg 2 (Bсф	/ 2)	=		sin( p − a) sin( p −c)
					sin p sin( p −b)
tg 2 (Cсф	/ 2)	=	sin( p − a) sin( p −b)
					sin p sin( p −c)

tg 2 (ε / 4) = tg( p / 2)tg[( p − a) / 2]tg[( p −b) / 2]tg[( p −c) / 2],

где p = (a +b + c) / 2; a,b, c −стороны треугольника, выраженные

вградусной мере.

2.Вычисляют поправки за сфероидичность по формулам

δA =

ε

K

A

− K

ε

K

B

− K

ε K

C

− K

; δB =

; δC =

,

12

K

12

K

12

K

где K =

1

=

1

− гауссова кривизна эллипсоида на средней

Rm2

(MN)m

треугольника; K A , KB , KC −

широте

расположения

гауссовы

кривизны

эллипсоида

в

вершинах

рассматриваемого

треугольника.

Вычисляют

по формуле

K

=

1

=

1

;

i

R2

(MN)

i

M , N −

i

радиусы кривизны меридиана и первого вертикала на

средней широте расположения треугольника, либо в каждой из вершин треугольника.

3. Вычисляют искомые сфероидические углы треугольника по формулам

A = Aсф +δA; B = Bсф +δB и C = Cсф +δC ,

где Aсф , Всф,Ссф −сферические углы треугольника, δA, δВ, δС − поправки за сфероидичность треугольника.

18

Пример вычисления

Таблица 2.11

Исходные данные

Точки	Расстояния, м	Широты точек
А	402 333,593	52°00'00"
В	804 666,593	56 43 42
С	696 862,182	54 00 00
	Bm	54 14 36

	Вычисление сферических углов и сферического избытка					Таблица 2.12
Формулы	Результаты вычислений		Формулы	Результаты	Формулы	Результаты
				вычислений		вычислений
ρ" / Rm	0,032 304551		tg 2 ( A / 2 )	0,072 126 90	p / 2	4° 16'15",854
aρ' / Rm	12 997",205 = 3°36'37",205		tg( A / 2)	0,268 564 52	( p −a) / 2	2 27 57 ,252
bρ" / Rm	25 994,393 = 7°13'14",393		A / 2	15°01'58",399	( p −b) / 2	0 39 38 ,658
cρ" / Rm	22 511,818 = 6°15'11",818		Aсф	30°03'56",798	( p −c) / 2	1 08 39 ,945
2 p	17°05'03",416		tg 2 ( B / 2 )	1,002 295 10	tg( p / 2)	0,074 682 63
p	8 32 31 ,708		tg(B / 2)	1,001 146 90	tg[( p −a) / 2]	0,043 064 72
p −a	4 55 54	,508	B / 2	45°01'58",215	tg[( p −b) / 2]	0,011 532 57
p −b	1 19 17	,312	Bсф	90°03'56",430	tg[( p −c) / 2]	0,019 976 71
p −c	2 17 19 ,884		tg 2 ( C / 2 )	0,334 218 55	tg 2 (ε / 4)	0,000 860 78
sin( p −a)	0,085 970 03		tg(C / 2)	0,578 116 38	ε / 4	0°02'57",550
sin( p −b)	0,023 062 05		C / 2	30°01'58",477	ε o	0 11 50 200
sin( p −c)	0,039 937 46		Cсф	60°03'56",954
sin p	0,148 536 77

19

Таблица 2.13 Вычисление поправок в углы за сфероидичность треугольника

Формулы				Результаты	Формулы			Результаты
				вычислений				вычислений
a				6 378 245	1−1,25e2 sin 2		BC	0,99452
a(1−e2 )				6 335 553	1−1,25e2 sin 2		Bm	0,99449
BA				52°00'00"	M A			6 375293
BB				56 43 42	M B			6 380 290
BC				54 00 00	M C			6 377 406
Bm				54 14 36	M m			6 377 662
0,25e2				0,00167	0,75e2			0,00502
1,25e2				0,00837	0,75e2 sin 2	BA		0,00312
sin BA				0,78801	0,75e2 sin 2	BB		0,00351
sin BB				0,83608	0,75e2 sin 2	BC		0,00329
sin BC				0,80902	0,75e2 sin 2	Bm		0,00331
sin Bm				0,81151	1−0,25e2 sin 2		BA	0,99896
sin 2	BA			0,62096	1−0,25e2 sin 2		BB	0,99883
sin 2	BB			0,69903	1−0,25e2 sin 2		BC	0,99891
sin 2	BC			0,65451	1−0,25e2 sin 2		Bm	0,99890
sin 2	Bm			0,65855	1−0,75e2 sin 2		BA	0,99688
0,25e2 sin 2		BA		0,00104	1−0,75e2 sin 2		BB	0,99649
0,25e2 sin 2		BB		0,00117	1−0,75e2 sin 2		BC	0,99671
0,25e2 sin 2		BC		0,00109	1−0,75e2 sin 2		Bm	0,99669
0,25e2 sin 2		Bm		0,00110	N A			6 391553
1,25e2 sin 2		BA		0,00520	N B			6 393 222
1,25e2 sin 2		BB		0,00585	NC			6 392 323
1,25e2 sin 2		BC		0,00548	Nm			6 392 387
1,25e2 sin 2		Bm		0,00551	e /12			59,074”
1+0,25e2 sin 2			BA	1,00104	(K A −K) / K			0,00050
1+0,25e2 sin 2			BB	1,00117	(K B −K) / K			-0,00054
1+0,25e2 sin 2			BC	1,00109	(KC − K) / K			0,00005
1+0,25e2 sin 2			Bm	1,00110	δA			0,030”
1−1,25e2 sin 2			BA	0,99480	δB			-0,032
1−1,25e2 sin 2			BB	0,99415	δC			0,003

20