Часть-I.-Сфероидическая-геодезия

Таблица 2.14 Вычисление сфероидических углов треугольника

		Сферические	Поправки за	Сфероидические
	Вершины	углы
			сфероидичность	углы треугольника
		треугольника
	B	30°03'56",798	0”,030	30°03'56",828
	A	90°03'56",430	-0 ,032	90°03'56",398
	C	60°03'56",954	0, 003	60°03'56",957
	Σ пр	180 00 00 ,000		180 11 50,183
	Σтеор =180o +ε			180 11 50,200

Таблица 2.15 Варианты для самостоятельного решения

	Стороны сфероидического			BA	BB	BC
№	треугольника, м
	a	b	c
1	303 811	283 589	261 114	59°50'08",341	61°26' 55",700	58°46'25",350
2	911	689	214	58°40'08",341	60 16 55 ,700	57 36 25 , 350
3	304 011	789	314	57°30'08",341	59 06 55 ,700	56 26 25 , 350
4	111	889	414	56°20'08",341	57 56 55 ,700	55 16 25 , 350
5	211	989	514	55°10'08",341	56 46 55 ,700	54 06 25 , 350
6	311	284 089	614	54°00'08",341	55 36 55 ,700	52 56 25 , 350
7	411	189	714	53°50'08",341	55 26 55 ,700	52 46 25 , 350
8	511	289	814	52°40'08",341	54 16 55 ,700	51 36 25 , 350
9	611	389	914	51°30'08",341	53 06 55 ,700	50 26 25 , 350
10	711	489	262 014	50°20'08",341	51 56 55 ,700	49 16 25 , 350
11	811	589	114	58°40'08",341	60 16 55 ,700	57 36 25 , 350
12	911	689	214	57°30'08",341	59 06 55 ,700	56 26 25 , 350
13	305 011	789	314	56°20'08",341	57 56 55 ,700	55 16 25 , 350
14	111	889	414	55°10'08",341	56 46 55 ,700	54 06 25 , 350
15	211	989	514	54°00'08",341	55 36 55 ,700	52 56 25 , 350
16	311	280 089	614	53°50'08",341	55 26 55 ,700	52 46 25 , 350
17	411	189	714	52°40'08",341	54 16 55 ,700	51 36 25 , 350
18	511	289	814	51°30'08",341	53 06 55 ,700	50 26 25 , 350
19	611	389	914	50°20'08",341	51 56 55 ,700	49 16 25 , 350
20	711	489	263 014	58°30'08",341	60 06 55 ,700	57 26 25 , 350
21	811	589	114	57°20'08",341	58 56 55 ,700	56 16 25 , 350
22	911	689	214	56°10'08",341	57 46 55 ,700	55 06 25 , 350
23	306 011	789	314	55°00'08",341	56 36 55 ,700	53 56 25 , 350
24	111	889	414	54°50'08",341	56 26 55 ,700	53 46 25 , 350
25	211	989	514	53°40'08",341	55 16 55 ,700	52 36 25 , 350
26	311	281 089	614	52°30'08",341	54 06 55 ,700	51 26 25 , 350
27	411	189	714	51°20'08",341	52 56 55 ,700	50 16 25 , 350
28	511	289	814	50°10'08",341	51 46 55 ,700	49 06 25 , 350
29	611	389	914	59°00'08",341	60 36 55 ,700	57 56 25 , 350
30	711	489	264 014	58°50'08",341	60 26 55 ,700	57 46 25 , 350
31	811	589	114	57°40'08",341	59 66 55 ,700	56 36 25 , 350
32	911	689	214	56°30'08",341	58 06 55 ,700	55 26 25 , 350

21

Таблица 2.15 (продолжение)

33	306 011	789	314	55°20'08",341	56 56 55 ,700	54 16 25 , 350
34	111	889	414	54°10'08",341	55 46 55 ,700	53 06 25 , 350
35	211	989	514	53°00'08",341	54 36 55 ,700	51 56 25 , 350
36	311	282 089	614	52°50'08",341	54 26 55 ,700	51 46 25 , 350
37	411	189	714	51°40'08",341	53 16 55 ,700	50 36 25 , 350
38	511	289	814	50°30'08",341	52 06 55 ,700	49 26 25 , 350
39	611	389	914	59°20'08",341	60 56 55 ,700	58 16 25 , 350
40	711	489	265 014	58°10'08",341	59 46 55 ,700	57 06 25 , 350
41	811	589	114	57°00'08",341	58 36 55 ,700	55 56 25 , 350
42	911	689	214	56°50'08",341	58 26 55 ,700	55 46 25 , 350
43	307 011	789	314	55°40'08",341	57 16 55 ,700	54 36 25 , 350
44	111	889	414	54°30'08",341	56 06 55 ,700	53 26 25 , 350
45	211	989	514	53°20'08",341	54 56 55 ,700	52 16 25 , 350
46	311	283 089	614	52°10'08",341	53 46 55 ,700	51 06 25 , 350
47	411	189	714	51°00'08",341	52 36 55 ,700	49 56 25 , 350
48	511	289	814	50°50'08",341	52 26 55 ,700	49 46 25 , 350
49	611	389	914	59°40'08",341	61 16 55 ,700	58 36 25 , 350
50	711	489	266 014	58°30'08",341	60 06 55 ,700	57 26 25 , 350

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

3.Решение прямой и обратной геодезических задач

3.1.Прямая геодезическая задача

Прямая геодезическая задача состоит в том, что по известным геодезическим координатам B1 , L1 начальной точки,

прямому азимуту A12 и расстоянию S между B2 , L2 точками Q1 и Q2 необходимо найти координаты конечной точки и обратный

азимут A21 .

Существует целый ряд методов решения поставленной задачи в зависимости от расстояния между точками и требуемой точностью передачи координат. Здесь рассматривается метод вычисления приращений координат B, L и A, основанный на численном решении соответствующих дифференциальных уравнений. Этот метод известен в литературе как метод Рунге – Кутта – Ингланда. Формулы имеют вид

B		= B +	1	( B + 4 B		+ B	); L		= L +	1	( L + 4 L + L			);
	2				3			2
		1	6	1		4			1	6	1	3	4

22

A = A +

1

( A + 4 A + A ),

21

12

6

1

3

4

sin αi

где

B = S V 3

cosα

,

L = S V

,

A =

L sin ϕ

,

i

0 i

i

i

0 i cosϕi

i

i

i

V

=

1 +0,6γi

,

γ

= β cos

2 ϕ

,

S

=

S

ρ"= 0,0322304S.

Для

i

1 +0,2γi

i

i

0

C

эллипсоида Красовского β = 0,00842316 .

Значения αi

и ϕi

в методе Рунге – Кутта – Ингланда при

i =1...6

вычисляют

в

соответствии

со

следующими

соотношениями:

Таблица 3.1

i

αi

ϕi

1

A1

B1

2

A1 +0,5

A1

B1 + 0,5

B1

3

A1 +0,25( A1 +

A2 )

B1 +0,25( B1 + B2 )

4

A1 − A2 +2 A3

B1 − B2 +2 B3

5

A1 +1 / 27 (7 A1 +10 A2 + A3 )

B1 +1 / 27 (7 B1 +10 B2 + B3 )

6

A1 +1 / 625(28

A1 −125

A2 +54 A3

B1 +1 / 625(28 B1 −125 B2

+54

B3 +

+54

A4 −378

A5 )

54

B4 −378

B5 )

Локальные ошибки для координат и азимута вычисляют по формулам:

M

=

1

(−42

B − 224

B

− 21

B

+162

B

+125

B

) ;

B

3

4

5

336

1

6

M

=

1

(−42

L − 224

L − 21

L

+162

L +125

L

) ;

L

4

336

1

3

5

6

M

=

1

(−42

A − 224

A − 21

A +162

A +125 A ).

A

336

1

3

4

5

6

23

Пример вычисления

Исходные данные

B1 = 50o07'40",97 ;

A12 = 3o29'45",83;

L1 = 23o45'13",43;

S = 281260,08

Вычисления

B = 16 (9085",87 + 4 9082",95 +9079",96) = 9082",94 = 2o31'22",94

L = 16 (863",48 + 4 911",19 +963",91) = 912",02 = 0o15'12",02

A = 16 (662",70 + 4 712",02 + 766",27) = 712",84 = 0o11'52",84

B2 = B1 + B = 50o07'40",97 + 2o31'22",94 = 52o39'03",91

L2 = L1 + L = 23o45'13",43 + 0o15'12",02 = 24o00'25",45

A21 = A12 + A ±180o = 3o29'45",83 + 0o11'52",84 =183o41'38",67

M B =1/ 336(−381606"−2034580"−190679"+1471279"+1135591") = = 4",4 / 336 = 0",013

M L =1/ 336(−36266"−204106"−20242"+150342"+110251") = = −21" / 336 = −0",063

M A =1/ 336(−27833"−159492"−16092"+118164"+85235") = = −18" / 336 = −0",054

Все промежуточные вычисления приведены в следующей таблице:

24

Таблица 3.2

Схема решения

Формулы									i
			1		2		3		4		5		6
	S0		9 065,125		9 065,125		9 065,125		9 065,125		9 065,125		9 065,125
	αi		3°29'45",83		3°35'17",18		3°35'29",34		3°41'38",52		3°37'27",47		3°32'00",33
	ϕi		50 07 40 ,97		51 23 23 ,91		51 23 23, 18		52 39 03 ,89		51 48 37 ,04		50 37 58 ,02
cos αi			0,998 139 0		0,998 039 8		0,998 036 2		9,997 992 6		0,998 000 1		0, 998 099 2
	sin αi		0,060 980 0		0,062 583 3		0,062 642 1		0,064 228 3		0,063 213 7		0 061 630 8
	cos ϕi		0,641 074 0		0,624 016 2		0, 624 019 1		0,606 667 4		0,618 267 2		0,634 288 3
	sin ϕi		0,767 479 1		0,781 411 4		0,781 409 1		0,794 955 8		0,785 967 9		0,773 096 6
cos 2 ϕi			0,410 975 9		0 389 306 2		0, 389 399 8		0,0 368	045 3	0,382 354 3		0,402 321 6
	γi		0,003 461 7		0,003 271 9		0,003 280 0		0,003 100 1		0,003 219 8		0,003 388 8
1+0,6γi			1,002 077		1,001 968		1,001 968		1,001	860	1,001 931		1,002 033
1+0,2γi			1,000 692		1,000 656		1,000 656		1,000	620	1,000 644		1,000 677
	Vi		1,001 384		1,001 311		1,001 311		1,001	239	1,001 287		1,001 355
	V 3 i		1,004 157		1,003 938		1,003 938		1,003	721	1,003 866		1,004 071
	sin αi		0 095 121 6		0,100 291 1		0,100 384 9		0,106 200 3		0,102 243 3		1,097 165 3
	cosφi
	Bi"		9 085",87		9 082",98		9 082",95		9 079",96		9 081",97		9 084",73
	Bio		2°31'25",87		2°31'22",98		2°31'22",95		2°31'19",96			2°31'21",97	2°31'24",73
	L"i		863",48		910",34		911",19		963",91			928",04	882",01
	Loi		0°14'23",48		0°15'10",34		0°15'11",19		0°16'03",91			0°15'28",04	0°14'42",01
	A"		662",70		711",35		712",02		766",27			729",41	681",88
	i
	Ao		0°11'02",70		0°11'52",35		0°11'52",02		0°12'46",27			0°12'09",41	0°11'21",88
	i

25

Таблица 3.3. Варианты для самостоятельного решения

	№№	В		L	S, A
	1	51°51'59",6644	80°19'15",4352
	2	7644	20 16,4352
	3	8644	21 17,4352
	4	9644	22 18,4352
	5	52 00, 0644	23 19,4352
	6	1644	24 20,4352
	7	2644	25 21,4352
	8	3644	26 22,4352
	9	4644	27 23,4352
	10	5644	28 24,4352
	11	6644	29 25,4352
	12	7644	30 26,4352
	13	8644	31 27,4352
	14	9644	32 28,4352
	15	52 01, 0644	33 29,4352
	16	1644	34 30,4352
	17	2644	35 31,4352
	18	3644	36 32,4352
	19	4644	37 33,4352
	20	5644	38 34,4352
	21	6644	39 35,4352
	22	7644	40 36,4352
	23	8644	41 37,4352
	24	9644	42 38,4352		Aij =162 o07'17",522
	25	52 02, 0644	43 39,4352
					Sij =35 128,077
	26	1644	44 40,4352
	27	2644	45 41,4352
	28	3644	46 41,4352
	29	4644	47 43,4352
	30	5644	48 44,4352
	31	6644	49 45,4352
	32	7644	50 46,4352
	33	8644	51 47,4352
	34	9644	52 48,4352
	35	52 03, 0644	53 49,4352
	36	1644	54 50,4352
	37	2644	55 51,4352
	38	3644	56 52,4352
	39	4644	57 53,4352
	40	5644	58 54,4352
	41	6644	59 55,4352
	42	7644	81	00 56,4352
	43	8644	01 57,4352
	44	9644	02 58,4352
	45	52 04, 0644	03 59,4352
	46	1644	05 00,4352
	47	2644	06 01,4352
	48	3644	07 02,4352

26

3.2. Обратная геодезическая задача

Обратная геодезическая задача предполагает вычисление по заданным геодезическим координатам B1 , L1 и B2 , L2 точек 1 и

2 вычислить расстояние S между ними, а также прямой A12 и обратный A21 геодезические азимуты. Решение задачи

осуществляется по формулам со средними аргументам (способ Гаусса).

В этом способе предварительно вычисляют вспомогательные величины

S sin A

= D(a l + a

2

B2l + a

3

l3 ) = DΣ

,

m

1

1

S cos A = D(a

4

B + a

5

Bl 2 + a

6

B3 ) = DΣ

2

,

m

A = sin Bm (a7l + a8

B2l + a9l3 ) = sin Bm Σ3 ,

где

m = 593,602160;

n =197,867385;

l = (L

2

− L )" 10−4

;

1

B = (B

− B )" 10−4

; D =

m +cos 2

B

m

;

2

1

n

+cos 2 Bm

a1

=103422,05 cos Bm ;

a2

= 9,5144 cos Bm +0,5525 cos3 Bm −0,0078 cos5 Bm ;

a3

= −10,1287 cos Bm +10,1287 cos3 Bm ;

a

4

=103422,05 −696,9116cos2 B

+ 4,6954cos4 B

−0,0310cos6

B ;

m

m

m

a5

= −30,3860 +10,3334 cos 2 Bm − 0,2061 cos 4 Bm + 0,0014 cos 6 Bm ;

a6

= −0,2048 +0,4192 cos 2 Bm −0,0124 cos 4 Bm ;

a7

=104 ;

a8

= 2,9381 +0,0132 cos 2 Bm ;

a9

=1,9587 cos 2 Bm +0,0132 cos4 B.

Искомое решение обратной геодезической задачи получают по формулам

A = arktg

Σ1

;

S

1

=

DΣ1

;

S

2

=

DΣ2

; S

ср

=

S1 + S2

;

m

Σ2

sin Am

cos Am

2

A = A

−

1

A;

A

= A

+

1

A ±180o.

12

m

2

21

m

2

27

Пример вычисления

	Исходные данные		Таблица 3.4
			L
Номера точек		B
1		50°07'40",97	23°45'13",43
2		52°39'03",91	24°00'25",46

				Решение задачи				Таблица 3.5
	Формулы			Результаты вычислений	Формулы			Результаты
								вычислений
	B1			50°07'40",97		a7		10 000,000
	B2			52 39 03 ,91		a8		2,943
	B			+2 31 22 ,94		a9		0,765
	B"			+9 082, 94		D		2,996 071 76
	Bm			51 23 22 ,44		a1 l		5 886,024 9
	L			23 45 13 ,43	a	2	B2 l	0,456 5
	1
	L2			24 00 25 ,46		a3l 3		-0,003 1
	l			+0 15 12 ,03		Σ1		5 886,478 3
	l"			+912 ,03	a4		B	93 691,779 5
	Bрад			0,908 294	a5		Bl 2	- 0,200 6
	lрад			0,091203	a		B3	- 0,032 2
						6
	B2			0,825 0		Σ2		+ 93 691,546 7
	l 2			0,008 3		a7 l		912,030 0
	B2 l			0,075 2	a8 B2l			0,221 3
	Bl 2			0,007 6		a9l3		0,000 6
	B3			0,749 3		Σ3		912,251 9
	l3			0,000 8	S sin Am = DΣ1			17 636,312
	cos Bm			0,624 021 90	S cos Am = DΣ2			280 706,597
	cos2	Bm		0,389 403		tgAm		0,062 828 28
	cos3	B	m	0,243 0		A		3 35 42 ,25
							m
	cos4	B	m	0,151 6	sin A			0,062 704 64
							m
	cos5	B	m	0,094 6	cos A			0,998 032 13
							m

28

Таблица 3.5 (продолжение)

	Формулы	Результаты вычислений	Формулы							Результаты
										вычислений
	cos6 Bm	0,059 0	S1	=		DΣ1				281 260,08
						sin Am
	sin Bm	0,781 407	S2	=		DΣ2				281 060,08
						cos	Am
	a1	64 537,624				S				281 060,08
	a2	6,070				A"				+ 712 ,82
	a3	- 3,859				Ao				0 11 52 ,84
	a4	103 151,380			A / 2					0 05 56 ,42
	a5	- 26,393	A12 = Am −				A / 2			3 29 45 ,83
	a6	- 0,43	A21 = Am +				A / 2			183 41 38 ,67
			±180o

Варианты для самостоятельного решения

Обратную геодезическую задачу необходимо решить, используя геодезические координаты точек 1 и 2 из предыдущей задачи. После решения необходимо провести сравнение значений расстояния и геодезического азимута, полученного из решения обратной геодезической задачи и заданных значений в прямой геодезической задаче. Результаты сравнения представить в таблице.

29