2) Построение эмпирической функции распределения случайной величины.
Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:
,
где
- число экспериментальных точек, лежащих
левее Х.
Таблица значений F (x):
|
1 |
0 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
|
2 |
0,01 |
0,11 |
0,21 |
0,31 |
0,41 |
0,51 |
0,61 |
0,71 |
0,81 |
0,91 |
|
3 |
0,02 |
0,12 |
0,22 |
0,32 |
0,42 |
0,52 |
0,62 |
0,72 |
0,82 |
0,92 |
|
4 |
0,03 |
0,13 |
0,23 |
0,33 |
0,43 |
0,53 |
0,63 |
0,73 |
0,83 |
0,93 |
|
5 |
0,04 |
0,14 |
0,24 |
0,34 |
0,44 |
0,54 |
0,64 |
0,74 |
0,84 |
0,94 |
|
6 |
0,05 |
0,15 |
0,25 |
0,35 |
0,45 |
0,55 |
0,65 |
0,75 |
0,85 |
0,95 |
|
7 |
0,06 |
0,16 |
0,26 |
0,36 |
0,46 |
0,56 |
0,65 |
0,76 |
0,86 |
0,96 |
|
8 |
0,07 |
0,17 |
0,27 |
0,37 |
0,47 |
0,57 |
0,67 |
0,77 |
0,87 |
0,97 |
|
9 |
0,08 |
0,18 |
0,28 |
0,38 |
0,48 |
0,58 |
0,68 |
0,78 |
0,88 |
0,98 |
|
10 |
0,09 |
0,19 |
0,29 |
0,39 |
0,49 |
0,59 |
0,69 |
0,79 |
0,89 |
0,99 |
График эмпирической функции распределения случайной величины
представлен на рис. 2:
6. Находим доверительные области для распределения f(х) и функции распределения F(х).
1) Построение доверительной области для плотности распределения f (x) соответствующей заданной доверительной вероятности (1-)=0,85
- для каждого разряда находим частоту попадания случайной величины Х
,
где ni
– число экспериментальных точек,
попавших в i-ый
разряд
Это было определено в (5) пункте.
- находим доверительную вероятность (1-α1) для построения доверительной области на каждом разряде:
(1–α1) = 1 – α/r, r = 12 – число разрядов, включая полубесконечные.
(1– α)=0,85 α=0,15
(1–α1) = 1 – α/r=1–0,15/12=0,9875
- находим величину εα из условия: 2Φ(εα) = 1 – α1, Φ(εα) – функция Лапласа
Φ(εα) = (1 – α1)/2 = 0,9875/2=0.49375
По таблице для функции Лапласа находим εα = 2,5
- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для вероятности попадания случайной величины в этот разряд по формулам в (4) пункте.
-
для каждого разряда гистограммы находим
доверительную область для плотности
распределения:
и
(для
полубесконечных разрядов считаем, что
они лежат в доверительной области )
Рассчитываем и строим следующую таблицу.
|
Разряд
|
Частота
попадания случайной величины X
в разряд
|
Доверительная область для вероятности попадания случайной величины в разряд
|
Доверительные границы для плотности распределения f (x) |
|||
|
711 |
775.1 |
0.01 |
0.001232 |
0.076415 |
0.00001921 |
0.001192 |
|
775.1 |
839.2 |
0.04 |
0.012369 |
0.121749 |
0.00019296 |
0.001899 |
|
839.2 |
903.3 |
0.11 |
0.053662 |
0.21222 |
0.00083717 |
0.003311 |
|
903.3 |
967.4 |
0.21 |
0.12681 |
0.327308 |
0.00197832 |
0.005106 |
|
967.4 |
1031.5 |
0.24 |
0.150588 |
0.36 |
0.00234927 |
0.005616 |
|
1031.5 |
1095.6 |
0.21 |
0.12681 |
0.327308 |
0.00197832 |
0.005106 |
|
1095.6 |
1159.7 |
0.13 |
0.067345 |
0.236184 |
0.00105063 |
0.003685 |
|
1159.7 |
1223.8 |
0.03 |
0.007886 |
0.107408 |
0.00012303 |
0.001676 |
|
1223.8 |
1287.9 |
0 |
0 |
0.058824 |
0 |
0.000918 |
|
1287.9 |
1352 |
0.02 |
0.004075 |
0.092396 |
0.00006357 |
0.001441 |
Гистограмма с доверительной областью изображена на рис. 3:
