Белорусско-российский университет

КАФЕДРА “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА”

ЮДЕНКОВ Ю.Т.

Электронная версия курса математика

технического вуза

Часть 1 .

Линейная и векторная алгебра. Аналитическая

геометрия.

Пособие разработано на основе лекций, читаемых на протяжении ряда лет

студентам специальности АЭП (электропривод)

по дисциплине “ Высшая математика.”

2006 г.

Математика для самообразования

данном пособии в краткой, не очень строгой математической форме изложены основные понятия, методы рассуждения и принципы решения основных задач из приведенных разделов высшей математики, изучаемых студентами указанной специальности в дисциплине “ Высшая математика.” Пособие может быть полезно при начальном знакомстве с курсом математики технического ВУЗа или для более простого восприятия математического аппарата, изложенного в более строгих курсах.

1.Матрицы, определители и системы линейных уравнений

1.1.Матрицы и математические действия с ними

1.2.Определители и их свойства

1.3.Системы линейных алгебраических уравнений.

1.4.Формулы Крамера.

1.5.Общий алгоритм решения системы линейных уравнений

1.6.Матричный метод решения линейной системы.

1.7.Понятие о приближенных методах решения линейных систем

1.8.Линейное, евклидово и нормированное пространства.

1.9.Линейные операторы и матрицы

1.10.Задача о собственных значениях

1.11.Свойства симметрических матриц

1.12.Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

2.Векторная алгебра

В этом разделе рассматриваются основные действия с векторами, изучаемыми в курсе математики технического ВУЗа и применяемыми в специальных дисциплинах.

2.1.Линейные операции над векторами

2.2.Скалярное произведение векторов

2.3.Векторное произведение векторов

2.4.Смешанное произведение векторов

2.5.Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры

3.Аналитическая геометрия.

Отличительной особенностью разделов аналитической геометрии является принцип манипулирования с формулами , истолковывая действия как геометрические преобразования некоторых геометрических объектов.Важно усвоить этот принцип и тогда решение задач принимает простой и интересный процесс.

3.1.Уравнение линий и поверхностей

3.2.Уравнение 1-й степени на плоскости

3.3.Уравнения первой степени в пространстве

3.4.Уравнения первой степени в пространстве

3.5.Уравнения 2-й степени на плоскости

3.6.Уравнения 2-й степени в пространстве

3.7.Цилиндры и поверхности вращения

3.8.Упрощение кривых 2-го порядка

1. Матрицы, определители и системы линейных уравнений

1.1.Матрицы и математические действия с ними

Определение. Матрицейназывают таблицу объектов произвольной структуры, расположенных в виде строк и столбцов.

Обозначают матрицы заглавными латинскими буквами - А, В, .... Допустимо использование правых нижних и верхних индексов - А^Т, А^-1и т.д.. Фактический вид матрицы. В этой матрице m строк и n столбцов. Строго следите за порядком -сначала строка, затем столбец! Говорят: матрица А имеет размерность m на n. Это - первая и простейшая классификация матриц. В частности матрица может быть матрицей-строкой. А также матрицей-столбцом.

Выражения a_ij- называют элементами матрицы и читают “а-и-жи”. Первый индекс - номер строки, в которой расположен данный элемент; второй индекс - номер столбца, в котором расположен этот элемент. При чтении строго называйте индексы в указанном порядке “ строка- столбец” - этим самым элемент однозначно локализуется в матрице.

По содержанию элементов матрицу тоже классифицируют: если элементы - функции, то матрица функциональная; если элементы - числа, то матрица числовая. Примером матрицы может служить платежная ведомость, понижающий или повышающий трансформатор с двумя обмотками.

Важным частным случаем является единичная матрица, обозначаемая всегда Е , имеющая вид квадратной матрицы нужной в данный момент размерности

Следующие классы матриц будут введены по необходимости позднее.

Определение. Две матрицы будем называть равными, если равны их соответствующие элементы.

Это определение указывает, что для сравнения матриц следует:

- проверить равенство конфигураций матриц (подразумевается по умолчанию - “default”);

- сопоставить между собой в матрицах все элементы, имеющие одинаковые индексы.

Все сказанное символически записывают так : А=В a_ij=b_iji,j.

Определение. Суммойматриц А и В называют матрицу С, для которой справедливо соотношение a_ij+b_ij=с_ij i,j.

Это определение указывает, что для суммирования матриц следует:

- проверить равенство конфигураций;

- суммировать между собой в матрицах все элементы, имеющие одинаковые индексы.

Определение. При умножении матрицы А на величину следует на эту величину умножить все элементы матрицы.

Символически Аa_{ij .}

Определение. Матрицы А и В перемножают по правилу

АВ=С с_ij =.

Это определение указывает, что для умножении матриц следует:

- проверить, чтобы число столбцов первой матрицы-сомножителя было равно числу строк второй матрицы-сомножителя;

- выбрать элемент матрицы С, который нужно вычислить - с_ij;

- поэлементно перемножить строку i матрицы А на столбец j матрицы В и результаты просуммировать;

- результат занести в матрицу С на требуемое место.

При практической реализации умножения матрицу С заполняют построчно - так привычней и легче контролировать результат.

Следует отметить, что при умножении матриц не всегда справедлив переместительный закон, т.е. не всегда верно АВ=ВА.

Для дальнейшей работы с матрицами и их применению введем