Высшая математика

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Высшая математика»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания к практическим занятиям для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей, обучающихся по белорусским и российским образо-

вательным стандартам

Линейное преобразование. Квадратичные формы

Могилев 2008

2

УДК 517

ББК 22.1я 73 В 93

Рекомендовано к опубликованию учебно-методическим управлением

ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет»

Одобрено кафедрой «Высшая математика» «25» апреля 2008 г., протокол № 6

Составители: канд. физ.-мат. наук, проф. В. А. Карпенко; доц. И. У. Примак; ст. преподаватель А. Г. Козлов;

ассистент Д. В. Роголев; Э. М. Пальчик; В. Л. Штукарь; ассистент Н. М. Карпович

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Л. В. Плетнёв

Выполнены методические разработки практических занятий по теме «Линейное преобразование. Квадратичные формы». Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей, обучающихся по белорусским и российским образовательным стандартам.

Учебное издание

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Ответственный за выпуск		Л. В. Плетнёв
Технический редактор		Н. В. Русецкая
Компьютерная верстка		Н. П. Полевничая
Подписано в печать	. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.
Печать трафаретная. Усл.-печ. л.	. Уч.-изд. л.	.Тираж 99 экз. Заказ №

Издатель и полиграфическое исполнение Государственное учреждение высшего профессионального образования

«Белорусско-Российский университет» ЛИ № 02330/375 от 29.06.2004 г. 212000, г. Могилев, пр. Мира, 43

© ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет», 2008

3

Содержание

1 Линейное преобразование. Матрица линейного ............................
преобразования. Собственные числа и собственные векторы ....................
линейного преобразования.............................................................................		4
1.1	Линейные преобразования (операторы) .......................................	4
1.2	Матрица линейного преобразования............................................	5
1.3	Матрица перехода от одного базиса к другому базису.
Связь между координатами вектора в различных базисах.........................		7
Собственные числа и собственные векторы линейного
оператора (матрицы) .......................................................................................		9
1.5	Упражнения...................................................................................	11
1.6	Контрольные задания ...................................................................	12
2 Квадратичные формы.....................................................................		13
2.1	Преобразование матрицы линейного оператора .......................	13
2.2	Квадратичная форма и её матрица..............................................	15
2.3	Канонический вид квадратичной формы ...................................	16
2.4	Положительно и отрицательно определённые квадратичные
формы ...........................................................................................................		19
2.5	Упражнения...................................................................................	20
2.6	Контрольные задания ...................................................................	21
3 Применение квадратичных форм к исследованию кривых............
и поверхностей второго порядка.................................................................		21
3.1	Канонические уравнения кривых 2-го порядка.........................	21
3.2	Приведение общего уравнения кривых 2-го порядка
к каноническому виду...................................................................................		22
3.3	Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка..............	25
3.4	Приведение общего уравнения поверхностей 2-го порядка
к каноническому виду...................................................................................		28
3.5	Упражнения...................................................................................	30
3.6	Контрольные задания ...................................................................	30
Cписок литературы.............................................................................		31

4

1 Линейное преобразование. Матрица линейного преобразования. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования

Цель занятия: разъяснение понятия линейного преобразования k - мерного пространства и его матрицы, выработка навыков нахождения собственных чисел и собственных векторов линейных преобразований.

1.1 Линейные преобразования (операторы)

1.1.1 Определение. Преобразованием (или оператором) A в линей-

ном пространстве E называется отображение E		в себя, т. е. A : E → E	k	,
k	k	k
при котором каждому элементу (вектору)	x Ek	ставится в соответствие
элемент (вектор) y Ek :
y = A x .		(1)

Вектор y называется образом вектора x , а x – прообразом вектора

yпри отображении A .

1.1.2Пример. Любая действительнозначная функция действительного аргумента

f : R → R, f (x) = y

является оператором в одномерном пространстве E1 = R .

1.1.3 Определение. Преобразование (оператор) A в линейном пространстве Ek называется линейным, если оно сумму векторов из Ek пере-

водит в сумму образов слагаемых, а произведение вектора на число переводит в произведение этого числа на образ данного вектора:

A* (x + y) = A* x + A* y , x, y E ;	(2)
k
A* (α x ) = α (A* x ), α R, x Ek .	(3)

1.1.4 Пример. Проверить линейность следующего оператора в пространстве E1 R : y = kx .

Решение

Пусть x1, x2 R и α R . Тогда

A (x1 + x2 ) = k (x1 + x2 ) = kx1 + kx2 = A x1 + A x2 ;

A (α x1 ) = k (α x1 ) = α (kx1 ) = α (A x1 ).

5

Условия (2) и (3) выполняются, поэтому данная функция является линейным оператором на E1 .

1.1.5 Пример. Пусть в двумерном пространстве E2 задано преобразование A следующим образом:

A (x ) = x + a ,

где a – фиксированный ненулевой вектор.

Установить, является ли A линейным преобразованием в E2 .

Решение

Заметим, что A является параллельным переносом на вектор a . Пусть x, y E2 . Тогда

A (x + y) = x + y + a ≠ (x + a ) + ( y + a ) = A x + A y .

Значит, параллельный перенос A не является линейным оператором.

1.2 Матрица линейного преобразования
Пусть
e1 ,e2 ,e3 ,…,ek	(4)

есть некоторый фиксированный базис линейного k -мерного пространства Ek . Тогда имеет место теорема.

1.2.1 Теорема. Каждому линейному преобразованию A простран-

ства Ek соответствует определённая матрица A типа k × k	такая, что её
столбцы состоят из координат векторов
A e1 , A e2 , A e3 ,…, A ek ,	(5)

причём для любого вектора a Ek матрица-столбец X из координат этого вектора в базисе (4) связана с матрицей-столбцом Y из координат вектора A*a в том же базисе (4) соотношением

						Y = A X .					(6)
Итак, имеем
a11			a12	… a1k		A*e1 = a11e1 + a21e2 +…+ ak1ek ;
a			a	a		A*e = a e + a e +…+ a e ;
A =		21	22	… 2k	;		2	12 1	22 2	k 2 k	(7)
	…		… … …			…………………………………
			ak 2			A*e		= a e	+ a e	+…+ a e .
ak1				… akk
							k	1k 1	2k 2	kk k

6

1.2.2 Пример. Пусть в обычном 3-мерном пространстве E3 задан стандартный ортонормированный базис {i , j,k} . Найти в данном базисе

матрицу линейного преобразования A* , где A* – поворот пространства вокруг оси Oy на угол π 2 против часовой стрелки. Найти координаты об-

раза точки M (1; 2; 4) при данном преобразовании.

Решение

Найдём координаты векторов A*i , A* j, A*k (рисунок 1). Отметим, что поворот A* совершается против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора j .

Имеем

A*i = −k = 0 i + 0 j + (−1) k ;				z
A* j = j = 0 i + 1 j + 0 k ;
A*k = i = 1 i + 0 j + 0 k ,				k	j
поэтому		1		0	y
0	0			i
A = 0	1	0 .	x	Рисунок 1
−1	0	0

Пусть теперь M ′ – образ точки M при преобразовании A* . Тогда координаты M ′ совпадают с координатами вектора OM ′ , координаты точ-

ки M совпадают с координатами вектора OM , поэтому по формуле (6) получаем

x′y′z′

Замечание –

	0	0	1						4
					1
= 0		1	0		2 =			2		, т. е. M ′ (4; 2; − 1).
	−1 0		0			4			−1

Проверка линейности преобразования A* опущена.

1.2.3 Пример. Выберем на плоскости E2 декартову прямоугольную систему координат {0, i , j} и рассмотрим линейное преобразование A* пространства E2 , заключающееся в повороте относительно точки O на угол ϕ против часовой стрелки. Найти матрицу этого преобразования.

Решение

Имеем (рисунок 2):

A*i = cosϕ i + sinϕ j ;

							7
A	*	π			π			j =	y
		j = cos	2	+ ϕ	i + sin	2	+ ϕ		y′

= − sinϕ i + cosϕ j.		A* j	j A*i x′
Отсюда получаем матрицу A :		O	i
cosϕ	− sinϕ		x
A =	.	Рисунок 2
sinϕ	cosϕ

1.3 Матрица перехода от одного базиса к другому базису. Связь между координатами вектора в различных базисах

Пусть
		e1,e2 ,e3 ,…,ek					(8)
и
		v1 ,v2 ,v3 ,…,vk					(9)
– два базиса линейного пространства Ek . Каждый вектор vi							(i =		) базиса
								1,k
(9) однозначно разлагается по базису (8):
vi = t1i e1 + t2i e2			+ …+ tki ek , i =			.	(10)
					1,k
Составим матрицу T , располагая по столбцам координаты соответ-
ствующих векторов vi (i =		) в базисе (10):
	1,k
		t11	t12	… t1k
		t21	t22	… t2k			(11)
	T =			.
		… … … …
		tk1	tk 2	… tkk

Матрица T невырождена и называется матрицей перехода от базиса

(8) к базису (9). Имеем

[v1 ,v2 ,v3 ,…,vk ] = [e1 ,e2 ,e3 ,…,ek ] T ;
[e1 ,e2 ,e3 ,…,ek ] = [v1 ,v2 ,v3 ,…,vk ] T−1 .
Если X – столбец координат вектора a в базисе (8), а X′	– столбец
координат вектора a в базисе (9), то
X = T X′ , X′ = T−1 X .	(12)

Формулы (12) выражают правило преобразования координат вектора при замене базиса.

8

Укажем теперь связь между матрицами линейного преобразования A* в различных базисах.

1.3.1 Теорема. Пусть A – матрица линейного преобразования A* в базисе (8), B – матрица того же преобразования в базисе (9). Тогда

				B = T−1 A T ,					(13)
где T – матрица (11) перехода от базиса (8) к базису (9).
1.3.2 Пример. Пусть				−2		0	1
					1	1
		A =					1
					3	5	0
есть матрица линейного оператора A*						в некотором базисе {e1 ,e2 ,e3} трёх-
мерного пространства E3 . Найти матрицу B этого преобразования в базисе
{e1′,e2′ ,e3′} , где	′				′			′
	e1 = e1	+ e2 , e2 = e1 + e2 + e3 , e3 = e2 .
Решение
Находим матрицу T перехода от базиса {e1 ,e2 ,e3}									к базису {e1′,e2′ ,e3′} :
′	= 1 e1 + 1 e2			+ 0	e3;			1 1 0
e1
′	= 1 e1 + 1 e2			+ 1	e3;
e2							T = 1 1 1		.
e′	= 0 e + 1	e		+ 0 e ;				0 1 0
3	1		2		3
Вычисляем обратную матрицу T−1 :
					1	0
							−1
	T		−1		0	0	1
				=				.
					−1	1	0

Находим по формуле (13) матрицу B преобразования A* в базисе

{e1′,e2′ ,e3′} :

				1	0					−2 0		1				1	1	0				−10	−9 −5
						−1
B = T	−1	A T =		0	0	1				1	1						1			=		8	8	5
												1			1			1							.
				−1 1		0				3	5	0			0		1	0				7	7	4

9

1.4 Собственные числа и собственные векторы линейного оператора (матрицы)

1.4.1 Определение. Собственным вектором линейного оператора A* , действующего в линейном пространстве Ek , называется ненулевой вектор

x Ek такой, что

A* x = λ x ,

(14)

где λ R – действительное число. Число λ называется собственным значением оператора A* , соответствующим собственному вектору x .

Пусть в пространстве Ek выбран базис {e1 ,e2 ,…,ek } . Тогда оператор A* имеет определённую матрицу A в данном базисе, согласно (7), поэто-

му соотношение (14) можно записать в матричной форме
A X = λ X , (A − λE)X = 0 ,	(15)

где X – столбец из координат вектора x в данном базисе; E – единичная матрица типа k × k .

Матричное равенство (15) эквивалентно следующей системе уравне-

ний:

(a11 − λ ) x1 + a12 x2 + …+ a1k xk = 0;
a21x1 + (a22 − λ ) x2 + …+ a2k xk = 0;	(16)
……………………………………
ak1x1 + ak 2 x2 + …+ (akk − λ ) xk = 0,

где x1 , x2 ,…, xk – координаты вектора x в данном базисе.

Нас интересуют ненулевые решения однородной системы уравнений (16). Известно, что система (16) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, т. е.

a11 − λ	a12	…	a1k
a21	a22 − λ	…	a2k	= 0 .	(17)
…	…	…	…
ak1	ak 2	… akk − λ

Уравнение (17) является уравнением k -й степени относительно λ , а действительные решения этого уравнения будут собственными значениями

оператора A* и его матрицы A . Пусть найдено собственное значение λi R . Подставляя это значение в систему (16) и решая эту систему, мож-

но найти координаты соответствующего вектора

10

x(i) = (x1(i) , x2(i) ,…, xk (i) ) .

1.4.2 Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

2

2

−1

−1

−3

0

A =

.

2

4

−1

Решение

Составляем уравнение вида (17):

2 − λ

2

−1

= 0 , т. е. λ 3 + 2λ 2 − λ − 2 = 0 .

−1

−3 − λ

0

2

4

−1 − λ

Тогда λ 2

(

λ + 2

)

−

(

λ + 2

)

= 0

,

(

λ +

2

)(

λ 2

−

)

(

λ + 2

)(

λ +

)(

)

= 0,

1 = 0 ,

1

λ − 1

откуда λ1 = −2,

λ2

= −1, λ3 = 1. Итак, найдены собственные значения мат-

рицы A . Находим соответствующие собственные векторы,

4x1 + 2x2 − x3 = 0;

4x1 + 2x2 = x3;

λ1 = −2: − x1 − x2 = 0;

x3 = 2x1 ;

2x + 4x + x = 0.

x2 = − x1.

1

2

3

x2

= − x1

x(1) = ( x1;− x1;2x1 )T ,

x1 ≠ 0 ,

т. е. в частности можно взять

x(1)

=

(

−1;2

)

1;

T .

3x1 + 2x2 − x3 = 0;

3x1 + 2x2 = x3;

1

x1

x3 ;

λ2 = −1: − x1

− 2x2 = 0;

=

2x

+

4x = 0.

x1

+ 2x2 = 0.

2

1

2

x = −

1

x x(2) =

1

x ; −

1

x

; x

T , x ≠ 0 .

2

4

3

3

4

3

3

3

2

В частности получаем x

(2)

1

1

T

=

; −

;1 .

2

4

x1 + 2x2 − x3 = 0;

x1 + 2x2 = x3;

λ3 = 1:

= 0;

x1 = 2x3 ;

− x1 − 4x2

2x

+ 4x

− 2x

= 0.

x1 + 4x2 = 0.

1

2

3