1. Понятие о первообразной и неопределенном интеграле.

Пусть функция f(x) и F(x) определены на некотором множестве X. Если функция F(x) дифференцируема на множестве X и для всех x X выполняется равенство: , то функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном множестве X.

Если F(x) одна из первообразных для функции f(x) на некотором множестве X, то любая первообразная (x) для функции f(x) на множестве X имеет вид: Ф(x)=F(x)+C, где C – некоторая постоянная.

Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x) на множестве X называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом множестве X.

Неопределенный интеграл обозначается . В этом обозначении знак ∫ называется знаком интеграла, - подынтегральной функцией, - подынтегральное выражение , x – переменная интегрирования.

Если F(x) некоторая первообразная для функции f(x) на множестве X, то , где C – const.

Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функции, которая является обратной операции дифференцирования, называется интегрированием.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

1) . Действительно

2) . Действительно , где dC=0

3)

4)

5)

3. Основные методы интегрирования. Метод замены переменной интегрирования.

Если первообразная F(x) функции f(x) является элементарной функцией, то говорят, что интеграл выражается в элементарных функциях.

Однако интеграл от элементарной функции может и не быть функцией элементарной.

Общего метода, позваляющего судить о том, выражается ли данный неопределенный интеграл через элементарные функции, не существует.

Однако можно указать ряд приемов позваляющих выразить некоторые интегралы через элементарные функции, а так же классы функций, для которых задача нахождения первообразных всегда разрешима.

Метод замены переменной интегрирования

Существует два варианта метода замены переменной интегрирования:

1)Метод подведения функции под знак дифференциала.

По определению дифференциала функции . Переход в этом равенстве с лева на право называют подведением множителя под знак дифференциала.

Пусть требуется найти интеграл вида . Если и дифференцируемая функция, то

2)Метод подстановки

Пусть требуется вычислить интеграл , где функция f(x) определена на некотором множестве X. Введем новую переменную формулой где функция дифференцируема на некотором множестве T и осуществляет взаимно однозначное отображение T на X, т.е. имеет обратную функцию . Справедливо равенство: . Таким образом, вычисление сводится к вычислению интеграла , который может оказаться проще исходного, и последующей подстановке .

4. Основные методы интегрирования. Интегрирование по частям.

Если первообразная F(x) функции f(x) является элементарной функцией, то говорят, что интеграл выражается в элементарных функциях.

Однако интеграл от элементарной функции может и не быть функцией элементарной.

Общего метода, позваляющего судить о том, выражается ли данный неопределенный интеграл через элементарные функции, не существует.

Однако можно указать ряд приемов позваляющих выразить некоторые интегралы через элементарные функции, а так же классы функций, для которых задача нахождения первообразных всегда разрешима.

Интегрирование по частям

Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на множестве X и кроме того, на этом множестве существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем . Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Ее используют в тех случаях, когда подынтегральное выражение f(x)dx можно так представить в виде , что интеграл, полученный в правой части формулы, может оказаться проще исходного интеграла. При этом за u удобно принимать множитель, который упрощается при дифференцировании.

Большая часть интегралов, берущихся по формуле интегрирования по частям может быть разбито на 3 группы:

1)Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: .

Для вычисления интегралов первой группы следует применить формулу интегрирования по частям, полагая в ней за u(x) одну из этих указанных функций. В случае если подынтегральная функция содержит в качестве множителя формулу интегрирования по частям придется применять m раз.

2)Интегралы вида: , , , где - многочлен степени n. Для вычисления интегралов второй группы формулу интегрирования по частям следует применять n раз, причем в качестве u(x) каждый раз выбирают многочлен соответствующей степени. После каждого интегрирования по частям эта степень будет понижаться на единицу.

3)Интегралы вида .