МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
для студентов-заочников экономических специальностей первый курс, первый семестр
Брест 2007
УДК 517.9 ББК 22.11
В соответствии с действующей программой для студентов-заочников 1 курса экономических специальностей составлены индивидуальные задания к контрольной работе и дано решение типового варианта. Подобраны задания к практическим занятиям и задания для самостоятельной работы студентов. Приведены основные теоретические сведения из курса высшей математики, рассмотрено достаточное количество примеров.
Составители: Лебедь С.Ф., доцент, к.ф.-м.н., Тузик Т.А., доцент
Рецензент: Рогозин С. В., доцент кафедры теории функций Белорусского государственного университета, к.ф.-м.н.
© Брестский государственный технический университет, 2007
Общие методические указания
Основной формой изучения курса высшей математики для студентов-заочников является самостоятельная работа с учебниками, учебными пособиями, сборниками задач и упражнений, справочниками. Список основных и наиболее доступных из них приводится в конце пособия.
Изучение любого раздела курса следует начинать с конспекта установочных лекций, соответствующих глав учебника, учебного пособия или руководства к решению задач, в которых имеется необходимая теория, приводятся расчетные формулы и решения задач по темам. После этого, по аналогии с решением типового варианта к контрольной работе, можно приступать к решению самой контрольной работы.
Номер варианта контрольной работы совпадает с двумя последними цифрами номера зачетной книжки (шифра).
При выполнении контрольной работы следует руководствоваться следующими требованиями:
1.Контрольная работа должна быть выполнена и представлена на проверку в срок, предусмотренный учебным планом.
2.Контрольную работу желательно выполнять в отдельной тетради, оставляя поля для замечаний рецензента.
3.Условия всех задач нужно записывать полностью, а их решения располагать в порядке номеров, указанных в заданиях.
4.В конце работы надо указать перечень использованной литературы, поставить подпись и дату.
5.В случае, если работа «не допущена к защите», студент в этой же тетради должен исправить все отмеченные ошибки и недочеты и представить ее на повторное рецензирование.
Вслучае необходимости студент может обращаться за консультациями к преподавателю кафедры, проверяющему контрольные работы в группе, лектору потока, либо к преподавателям, проводящим консультации студентов-заочников по графику, утвержденному на кафедре.
3
Вопросы учебной программы
Iсеместр
1.Определители 2, 3, n-го порядков, их свойства, вычисление.
2.Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
3.Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (методом исключения).
4.Матрицы. Действия над ними.
5.Обратная матрица, ее нахождение.
6.Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом.
7.Векторы и линейные операции над ними.
8.Прямая на плоскости. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности, расстояние от точки до прямой.
9.Кривые второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола).
10.Предел функции и числовой последовательности. Односторонние пределы.
11.Свойства бесконечно малых функций.
12.Основные теоремы о пределах.
13.Первый и второй замечательные пределы.
14.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация.
15.Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
16.Определение производной, ее геометрический, механический и экономический смысл.
17.Производная суммы, произведения и частного дифференцируемых функций.
18.Производная сложной функции.
19.Производные основных элементарных функций.
20.Дифференциал функции, его геометрический смысл.
21.Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях.
22.Производные и дифференциалы высших порядков. Механический смысл второй производной.
23.Исследование возрастания и убывания функции с помощью производной.
24.Локальный экстремум функции одной переменной. Необходимое условие существования локального экстремума.
25.Достаточные условия существования локального экстремума.
26.Глобальные экстремумы непрерывной функции, заданной на отрезке.
4
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1.
Задание 1. В таблице приведены данные по балансу за некоторый период между тремя отраслями промышленности.
Отрасл |
Потребление |
Конечный |
Валовой |
Заданный |
||||||||
и |
|
|
|
продукт |
выпуск |
конечный |
||||||
I |
II |
III |
||||||||||
произ- |
|
|
продукт |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
водства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
х11 |
х12 |
х13 |
у1 |
х1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
||||||||||
II |
х21 |
х22 |
х23 |
у2 |
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
||||||||||
III |
х31 |
х32 |
х33 |
у3 |
х3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
y3 |
||||||||||
Для расчета межотраслевого баланса по Леонтьеву составляется матричное уравнение вида A X + Y = X .
Требуется:
1.Записать матрицу A = (aij )3×3 - матрицу коэффициентов прямых
затрат; Х – вектор объемов производства; У – вектор-столбец конечного продукта, соответствующий данному валовому выпуску Х;
2.Найти матрицу полных затрат;
3.Рассчитать валовый выпуск X , необходимый для обеспечения
заданного конечного продукта Y .
Необходимые числовые данные для каждого варианта приведены в таблице 1.
Таблица 1.
Вар |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
х11 |
15 |
14 |
13 |
17 |
4 |
3 |
7 |
18 |
15 |
10 |
16 |
10 |
5 |
61 |
21 |
х12 |
23 |
16 |
17 |
14 |
23 |
13 |
21 |
26 |
13 |
13 |
14 |
13 |
8 |
15 |
45 |
х13 |
51 |
50 |
14 |
23 |
50 |
15 |
14 |
12 |
12 |
17 |
5 |
21 |
11 |
30 |
15 |
х21 |
18 |
34 |
15 |
30 |
10 |
15 |
12 |
9 |
11 |
12 |
14 |
17 |
16 |
70 |
60 |
х22 |
13 |
17 |
16 |
16 |
15 |
10 |
15 |
17 |
5 |
13 |
17 |
9 |
19 |
40 |
14 |
х23 |
14 |
10 |
17 |
15 |
30 |
14 |
14 |
23 |
10 |
14 |
10 |
8 |
12 |
10 |
13 |
х31 |
21 |
28 |
21 |
20 |
15 |
12 |
20 |
25 |
8 |
16 |
15 |
9 |
7 |
10 |
12 |
х32 |
18 |
26 |
18 |
15 |
40 |
20 |
30 |
12 |
6 |
10 |
13 |
14 |
10 |
40 |
17 |
х33 |
15 |
36 |
10 |
12 |
9 |
17 |
20 |
20 |
7 |
19 |
25 |
12 |
13 |
15 |
60 |
х1 |
150 |
100 |
110 |
100 |
120 |
50 |
100 |
100 |
70 |
80 |
90 |
100 |
60 |
200 |
150 |
х2 |
100 |
90 |
100 |
110 |
100 |
100 |
110 |
110 |
50 |
90 |
90 |
100 |
70 |
200 |
120 |
х3 |
110 |
120 |
80 |
70 |
100 |
80 |
100 |
90 |
50 |
70 |
90 |
90 |
70 |
100 |
100 |
5
Продолжение таблицы 1.
Вар |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
||||
|
у1 |
61 |
20 |
66 |
46 |
43 |
19 |
58 |
44 |
30 |
40 |
55 |
56 |
36 |
94 |
69 |
|||
|
у2 |
55 |
29 |
52 |
49 |
45 |
61 |
69 |
61 |
24 |
51 |
49 |
66 |
23 |
80 |
33 |
|||
|
у3 |
56 |
30 |
31 |
23 |
36 |
31 |
30 |
33 |
29 |
25 |
37 |
55 |
40 |
35 |
11 |
|||
|
|
|
|
|
65 |
25 |
70 |
50 |
50 |
20 |
60 |
50 |
35 |
50 |
60 |
60 |
40 |
100 |
70 |
|
y1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
60 |
35 |
60 |
55 |
60 |
70 |
70 |
70 |
30 |
60 |
50 |
70 |
30 |
90 |
40 |
|
y2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
60 |
40 |
40 |
30 |
40 |
40 |
35 |
40 |
35 |
30 |
40 |
60 |
45 |
40 |
20 |
|
y3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вар |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
||||
х11 |
27 |
52 |
12 |
31 |
3 |
50 |
70 |
15 |
14 |
21 |
30 |
14 |
15 |
12 |
21 |
||||
х12 |
15 |
14 |
13 |
22 |
10 |
40 |
60 |
8 |
13 |
14 |
21 |
19 |
14 |
17 |
15 |
||||
х13 |
19 |
23 |
51 |
81 |
15 |
13 |
10 |
20 |
60 |
10 |
15 |
11 |
13 |
9 |
4 |
||||
х21 |
16 |
17 |
21 |
17 |
7 |
17 |
15 |
3 |
70 |
17 |
27 |
21 |
12 |
17 |
70 |
||||
х22 |
17 |
50 |
16 |
33 |
12 |
20 |
14 |
7 |
21 |
16 |
34 |
15 |
11 |
16 |
18 |
||||
х23 |
21 |
81 |
14 |
15 |
17 |
16 |
50 |
21 |
15 |
15 |
28 |
30 |
16 |
24 |
16 |
||||
х31 |
31 |
33 |
71 |
16 |
14 |
31 |
10 |
14 |
20 |
13 |
14 |
10 |
9 |
9 |
13 |
||||
х32 |
18 |
40 |
15 |
51 |
16 |
23 |
20 |
12 |
51 |
15 |
33 |
25 |
8 |
30 |
17 |
||||
х33 |
37 |
50 |
13 |
37 |
18 |
20 |
40 |
15 |
30 |
20 |
27 |
18 |
17 |
16 |
21 |
||||
|
х1 |
120 |
200 |
150 |
200 |
50 |
150 |
200 |
80 |
150 |
100 |
120 |
100 |
100 |
80 |
150 |
|||
|
х2 |
80 |
200 |
100 |
150 |
50 |
120 |
150 |
100 |
150 |
80 |
140 |
100 |
100 |
90 |
190 |
|||
|
х3 |
110 |
200 |
150 |
150 |
100 |
100 |
150 |
100 |
150 |
70 |
110 |
100 |
100 |
90 |
100 |
|||
|
у1 |
59 |
111 |
74 |
66 |
22 |
47 |
60 |
37 |
63 |
55 |
54 |
56 |
58 |
42 |
110 |
|||
|
у2 |
26 |
52 |
49 |
85 |
14 |
67 |
71 |
69 |
44 |
32 |
51 |
34 |
61 |
33 |
86 |
|||
|
у3 |
24 |
77 |
51 |
46 |
52 |
39 |
80 |
59 |
49 |
22 |
36 |
47 |
66 |
35 |
49 |
|||
|
|
|
|
|
65 |
120 |
80 |
70 |
25 |
50 |
65 |
40 |
70 |
60 |
60 |
60 |
60 |
45 |
120 |
|
y1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
30 |
60 |
50 |
90 |
20 |
70 |
75 |
70 |
50 |
35 |
55 |
40 |
65 |
35 |
90 |
|
y2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
35 |
80 |
60 |
50 |
60 |
40 |
85 |
60 |
55 |
30 |
40 |
50 |
70 |
40 |
50 |
|
y3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задание 2. Даны вершины треугольника АВС. Найти: а) уравнение стороны (АВ); б) уравнение высоты (СН); в) уравнение медианы (АМ); г) точку пересечения медианы (АМ) и высоты (СН); д) расстояние от точки С до прямой (АВ).
Вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
А |
(-7;-2) |
(4;-4) |
(-4;-2) |
(0;2) |
(4;-3) |
(-4;2) |
В |
(3;-8) |
(8;2) |
(8;-6) |
(4;-4) |
(7;3) |
(6;-4) |
С |
(-4;6) |
(3;8) |
(2;6) |
(3;2) |
(1;-16) |
(4;10) |
6
Вар. |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
А |
(-3;-2) |
(-2;4) |
(1;7) |
(1;0) |
(4;-3) |
(-5;2) |
В |
(14;4) |
(3;1) |
(-3;-1) |
(-1;4) |
(7;3) |
(0;-4) |
С |
(6;8) |
(10;7) |
(11;-3) |
(9;5) |
(1;10) |
(5;7) |
Вар. |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
А |
(-3;8) |
(10;-2) |
(2;5) |
(1;-6) |
(4;-4) |
(6;-9) |
В |
(-6;2) |
(4;-5) |
(-3;1) |
(3;4) |
(6;2) |
(10;-1) |
С |
(0;-5) |
(-3;1) |
(0;4) |
(-3;3) |
(-1;8) |
(-4;1) |
Вар. |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
А |
(4;1) |
(3;-1) |
(5;7) |
(4;-5) |
(3;4) |
(3;-8) |
В |
(-3;-1) |
(11;3) |
(0;-4) |
(10;-2) |
(-3;3) |
(-4;6) |
С |
(7;-3) |
(-6;2) |
(-5;2) |
(-3;1) |
(1;-6) |
(-7;2) |
Вар. |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
А |
(2;6) |
(1;-16) |
(10;7) |
(1;10) |
(11;-3) |
(6;8) |
В |
(-4;-2) |
(7;3) |
(3;1) |
(7;3) |
(1;7) |
(-3;2) |
С |
(8;-6) |
(4;-3) |
(-2;4) |
(4;-3) |
(-3;-1) |
(14;4) |
Задание 3. Найти пределы функций:
1. а) lim |
3x3 − 5x + 2 |
б) lim |
x2 + 2x −15 |
|
x − 2 − 4 − x |
||
x→∞ 7x3 − 2x 2 + 4 |
x→3 |
||
|
в) |
lim |
1 − cos 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→0 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
а) |
lim |
|
2x3 − 4x 2 +1 |
б) |
lim |
x +12 − 4 −x |
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4x |
+ 7x |
x |
2 |
+ x −12 |
|||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
x →−4 |
|
||||||||||
|
в) lim |
sin 5x − sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x→0 |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
а) |
lim |
|
5x 4 − 3x2 + 6 |
б) |
lim |
x 2 |
+ 2x − 3 |
|||||||||
|
|
2x 4 − x3 + x |
x +10 − 4 − x |
||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x→−3 |
||||||||||||
|
в) lim |
cos 5x − cos x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→0 |
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
а) |
lim |
|
2x 2 + 5 |
|
б) |
lim |
2 − x − x + 6 |
|||||||||
|
|
7x 2 + |
3x − 4 |
x 2 + 3x + 2 |
|||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x→−2 |
||||||||||||
в) lim sin x x→0 tg3x
7
5. а) lim |
4x3 − x2 +17x |
б) lim |
3 + 2x − 4 + x |
|
5x3 + 3x −1 |
x 2 + 5x − 6 |
|||
x→∞ |
x→1 |
|
в) lim |
|
tgx − sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2x3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
а) |
lim |
|
|
3x 2 − 7x + 3 |
|
б) lim |
3x2 − 2x −8 |
|||||||||||||
|
|
|
2x 2 − 5x − 3 |
5 − x − x +1 |
|||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x→2 |
||||||||||||||||
|
в) lim |
|
arcsin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
sin 5x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7. |
а) |
lim |
|
|
−3x 4 +5x 2 − x |
б) lim |
2x 2 − 5x − 7 |
||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
x 4 +5x +1 |
x→−1 |
x + 3 − 5 + 3x |
||||||||||||
|
в) |
lim(x −1) tg πx |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
а) |
lim |
|
|
5x 2 −4x +3 |
|
б) lim |
5 − x − |
x − 3 |
||||||||||||
|
|
|
2x 2 +7x +3 |
2x2 − 7x − 4 |
|||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x→4 |
||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
π − 2x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 − sin x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x→π |
/ 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
9. |
а) |
lim |
|
|
− x 2 + 5x + 2 |
б) lim |
2x +1 − |
x + 6 |
|||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
3x2 + x − 7 |
x→5 |
2x 2 − 9x − 5 |
||||||||||||||
|
в) lim |
|
tg3x − sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|||||||||||
10. |
а) |
lim |
|
|
4x3 − 3x 2 +10 |
|
б) lim |
3x2 |
− 75 |
||||||||||||
|
|
|
|
7x3 + 5x + 2 |
3x +17 − 2x + 22 |
||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
x→5 |
|||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
x tgx |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x→0 1 − cos2 x |
|
|
|
||||||||||||||||
11. |
а) |
lim |
|
|
4x 2 − 5x + 7 |
|
б) lim |
x 2 + 4 − 2 |
|||||||||||||
|
|
|
2x2 + x + 3 |
||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x→0 |
x2 +1 −1 |
|||||||||||||||
|
в) lim |
sin (x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x→2 |
|
|
|
|
x3 −8 |
|
|
|
|||||||||||
12. |
а) |
lim |
|
|
|
|
3x 4 + x +1 |
|
б) lim |
9 − x − |
x + 9 |
||||||||||
|
|
|
2x 4 + x3 + 2x |
x |
|
||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x→0 |
|
|||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
sin 2 5x − sin 2 x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13. |
а) |
lim |
|
|
3x3 + 2x + 9 |
|
б) lim |
4x |
|
||||||||||||
|
|
|
2x3 − 4x 2 −1 |
x +1 − 1 − x |
|||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x→0 |
||||||||||||||||
в) lim sin 3x x→0 sin 8x
8
14. |
а) |
lim |
|
3x 2 + 7x − 3 |
|
б) lim |
|
2x +1 − 3 |
||||||||||||||
|
|
3x 2 − x +1 |
|
|
x − 2 |
|||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
x→4 |
|
|
||||||||||||||||
|
в) |
lim |
1 − cos 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
15. |
а) |
lim |
|
2x3 + 7x + 2 |
|
б) lim |
|
8 − x − 3 |
||||||||||||||
|
|
3x3 − x + 4 |
|
x + 5 − 2 |
||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
x→−1 |
||||||||||||||||||
|
в) lim |
cos 2x − cos 4x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
2x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
16. |
а) |
lim |
|
|
3x 2 + 5x |
|
б) lim |
|
x −1 − 2 |
|||||||||||||
|
|
8 − 3x − 9x2 |
|
x + 4 − 3 |
||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
x→5 |
|
|||||||||||||||||
|
в) lim |
arctg 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
tg2x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
17. |
а) |
lim |
|
|
3x 2 + 5x |
|
б) lim |
|
x + 2 − 3 |
|||||||||||||
|
|
8 − 3x − 9x2 |
|
x − 3 − 2 |
||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
x→7 |
|
|||||||||||||||||
|
в) lim |
sin 2x − tg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
18. |
а) |
lim |
|
8x 2 − 4x + 5 |
|
б) lim |
|
5x − 6 − 3 |
||||||||||||||
|
|
2 − 3x + 4x2 |
|
x 2 − 9 |
||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
x→3 |
|
|||||||||||||||||
|
в) |
lim |
1 − sin 2x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x→π |
/ 4 π − 4x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
19. |
а) |
lim |
|
8x 4 + 4x 2 − 2 |
|
б) lim |
|
5x +1 − 4 |
||||||||||||||
|
|
|
2x 4 − 5 |
x 2 − 5x + 6 |
||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x→3 |
|||||||||||||||||
|
в) |
lim |
cos 4x − cos3 4x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
5x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20. |
а) |
lim |
|
3x 2 − 4x +1 |
б) lim |
|
x 2 |
+ 4 − 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 + 5x + 2x2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
x→0 |
|
|
5x 2 |
||||||||||||||||
|
в) |
lim |
sin(x +1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x2 |
−1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
21. |
а) |
lim |
|
7x3 |
− 3x |
б) lim |
|
x2 |
+16 − 4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x→∞ x3 + 4x − 2 |
x→0 |
|
x 2 + 4 − 2 |
|||||||||||||||||
|
в) |
lim |
cos2 x − cos2 2x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
22. |
а) |
lim |
|
1 + 4x − x 4 |
б) lim |
|
|
3x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − x − 2 + x |
||||
|
|
x→∞ x − 5x 2 + 2x 4 |
x→0 |
|
||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
x2 − x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x→0 arcsin 3x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
9
23. |
а) |
lim |
|
2x3 |
|
|
− 5x 2 |
+ 3 |
|
б) lim |
|
|
x − 3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
16x3 − 7x +1 |
|
2x + 7 − 5 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
x→9 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
в) lim |
sin(x − 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x→3 |
|
|
27 − x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
24. |
а) |
lim |
|
|
3x −14x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
6x +1 − 5 |
|||||||||||||||
|
1 + 5x + 7x2 |
|
2 − x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x→4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x→0 1 − cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
25. |
а) |
lim |
|
x − 2x2 |
+ 3x 4 |
|
б) lim |
|
3x − x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 − x 2 + 5x 4 |
|
x3 − 27 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
x→3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
в) lim |
cos 5x − cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
26. |
а) |
lim |
|
3x 4 |
|
|
− 2x2 |
+ 7 |
|
б) |
lim |
|
1 + 3x2 −1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
3x 4 |
|
− 3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 5x |
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x→0 sin x + sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
27. |
а) |
lim |
|
4x 2 |
|
+ 2x + 3 |
|
|
б) |
lim |
|
x3 |
+ 64 |
||||||||||||||||||
|
|
2 − 3x + 2x2 |
|
|
x + 20 − 4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
x→−4 |
|||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
sin 4 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28. |
а) |
lim |
|
3x 2 |
|
|
+ 5x +1 |
|
|
б) lim |
|
x + 8 − 3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
5x2 − x + 4 |
|
|
x 2 −1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
x→1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x→0 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
29. |
а) |
lim |
|
5x3 |
|
− 7x + 3 |
|
|
б) lim |
|
x −1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
4 + 2x2 − x3 |
|
3 x −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
x→1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
cos3 x − cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
30. |
а) |
lim |
|
4 − 2x 2 |
− 3x5 |
|
б) lim |
|
|
sin x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x5 + 2x + 8 |
|
4 |
− x +16 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
x→0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
в) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim |
|
|
− |
1 |
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x→1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10
|
Задание 4. Найти производную y′ |
следующих функций: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
а) y = 3 x7 + 3 |
|
− 4x6 + |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x7 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = (x3 + 4x) tg 2 3x |
|
в) |
y |
= |
|
7x2 + 3x − 4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5x3 + 4x2 + 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
а) y = 3x6 + 5 − x7 |
+ 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
x4 |
|
|
|
|
(x +1)3 |
|
|||||||||
|
б) y = (x − 2)4 sin 6x |
|
в) |
y |
= |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x(2x + 7) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
а) y = 5x3 − 8 |
|
+ 4 |
x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
(x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = (2x − x2 ) tg 4 x |
|
в) |
y |
= |
|
+1)(x + 4) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8x |
2 + 2x +1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
а) y = 2x5 − 4 |
|
+ 6 + 3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = (2x − x2 ) tg 4 x |
|
в) |
y |
= |
|
|
x 4 + 3x3 − 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 4x + 3)(x −1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
а) y = 3x4 + 5 x |
3 − 2 |
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
x3 |
|
|
|
|
(x + 4)2 (4x +1) |
|
|||||||||
|
б) y = (x2 + 3x) tg x |
|
в) |
y |
= |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6x3 + 7x + 4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
а) y = 7 x5 − 2 − 3x4 + |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x5 |
|
|
x |
|
|
|
(5x + 3)(4x + 2) |
|
||||||||
|
б) y = cos3 5x − x sin 3x |
|
в) y |
= |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9x2 − 7x − 3 |
||||||||||||
7. |
а) y = 4 + 5 x2 − 3x6 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = cos 2x ctg(x2 ) |
|
в) |
y |
= |
|
3x2 −8x + 5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)(4x + 5) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
а) y =8x2 + 6 |
|
− 6 x |
5 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
(x −8)(x + 8) |
|
||||||
|
б) y = (x5 − 4x4 + 3x3 − 2x2 ) cos 7x |
|
|
в) |
y = |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
9. |
а) y = 5x 2 − 3 x4 + 4 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x3 |
x |
|
|
|
(3x −1)(x + 2) |
|
|||||||||
|
б) |
y = (x − 7)6 ctg3x |
|
в) |
y = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 3)2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. |
а) |
y = 3x5 − 4 + |
x5 |
+ 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
x5 |
|
|
|
(x +1)(4x −1) |
|
||||||||
|
б) |
y = (x + 5)3 sin 2 x |
|
в) |
y = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 4)(x −1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
а) |
y = 5x3 − 8 + |
8 |
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x2 |
|
|
x |
|
|
|
(6x −1)(x + 2) |
|
||||||||
|
б) |
y = (2x −1)3 (2 − sin x) |
в) |
y = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3x +1)2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12. |
а) |
y = 4x 4 − 3 − 5 |
x2 |
+ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
x2 |
|
|
|
(x − 2)(x + 6) |
|
||||||||
|
б) |
y = (3x − 9)2 cos |
x |
|
в) |
y = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(7x +1)2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13. |
а) |
y = 2 |
|
x3 + 7 |
− 6x2 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x5 |
|
|
|
(x + 4)2 (1 − 6x) |
|
||||||||
|
б) |
y = (x2 − 9x + 7) sin 7x |
в) |
y = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14. |
а) |
y = 6x4 − 5 − 3 |
x7 |
+ |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
x2 |
|
|
|
(x + 7)(x − 3) |
|||||||||
|
б) |
y = sin 6x cos2 4x |
|
в) |
y = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4x + 2 |
|
|
|||||||||
15. |
а) |
y = 4x3 − 3 − 3 |
x5 |
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
x4 |
|
|
|
(x + 3)(x + 5) |
|||||||||
|
б) |
y = (x2 − 3x +1) ln (x − 3) |
в) |
y = |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 − 5x + 6 |
|
|
|||||||||
16. |
а) |
y = 4x5 − 5 − |
x7 |
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = ln (x + 4) tg2x |
|
в) |
y = |
(x − 4) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7x2 − 6x +1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
17. |
а) |
y = 7 |
+ |
4 − 3 x5 |
− 2x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
(x + 7)(x − 3)2 |
|||||||||
|
б) |
y = |
x2 −1 sin 6x |
|
в) |
y = |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)(x −1) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
18. |
а) |
y = |
6 |
− |
3 + 3x3 − |
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x4 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 3)2 (x + 2) |
|
|||||
|
б) |
y = 3 6x +1 cos2 x |
|
|
|
|
в) |
y = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2)(x −1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
19. |
а) |
y =8x3 − |
4 − 7 + |
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)(x + 2) |
|||||||
|
б) |
y =(2x − 5)3 tg 2 x |
|
|
|
|
в) |
y = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 − 6x + 8 |
|
|
|
|
|
|||
20. |
а) |
y =8x5 − |
5 |
|
+ |
1 − 4 |
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x4 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
(x − 7)(3x + 2) |
|
||||||
|
б) |
y = |
(x +1)5 ln (3x −1) |
в) |
y = |
|||||||||||||||||
|
(2x +1)(x −1) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
21. |
а) |
y = 4 x6 − 3 |
|
+ |
4 |
+ 3x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
(x + 4)(4x −1) |
|||||||
|
б) |
y = tg 3 x sin 2x |
|
|
|
|
|
|
в) |
y = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x 2 + 2x + 7 |
|
|
||||||
22. |
а) |
y = 4x3 + |
3 − 3 |
x2 |
|
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
(x +1)(6x −1) |
|
|
|
|
|||
|
б) |
y = 5 (x + 4)2 sin 6x |
|
|
|
в) |
y = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2 + x +1 |
||||||
23. |
а) |
y = 7x 4 + 3 |
− 7 |
x4 |
|
+ |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
(x + 4)(x + 2) |
|
||||||
|
б) |
y = |
(3x + 6)3 ctg4x |
|
|
в) |
y = |
|||||||||||||||
|
|
|
4x2 −8x +1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24. |
а) |
y = 6 x5 + 4 |
|
− |
4 |
− 5x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 |
|
||||||
|
б) |
y = sin 3 4x cos |
2 x |
|
|
|
|
в) |
y = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)(5x − 3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
а) |
y = |
2x |
2 |
x − |
4 |
+ |
1 |
x |
4 |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
(x − 2)(2 − 6x) |
|
|||||||
|
б) |
y = e2x cos 6x |
|
|
|
|
|
|
в) |
y = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 8)(x + 5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
26. |
а) |
y = 9x5 + |
4 |
|
− |
7 |
|
+ 7 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
x 4 |
|
|
|
|
|
|
(x +1)2 |
|
||||||||
|
б) |
y = (x4 + 3x2 ) sin 3x |
|
|
в) |
y = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3x +1)(x − 4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
27. |
а) |
y =8x − |
|
4 |
+ |
7 |
|
− 7 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
3 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
4x + 7 |
|
|||||
|
б) y =(3x − 4)2 tg3x |
|
|
|
|
|
в) |
y = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6x + 8)(6x +1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
28. |
а) |
y = 3x2 − |
4 |
+ x6 x5 |
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
(2x + 5)(x − 4) |
|||||
|
б) |
y = tg |
|
x cos 8x |
|
|
|
|
|
|
в) |
y = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 + 6x − 7 |
|
|||||
29. |
а) |
y = 5x3 + |
6 |
− 3 x8 |
+ |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y =(2x +1)3 e4x+1 |
|
|
|
|
|
в) |
y = |
3x2 + 6x + 5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 − 7x + 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
30. |
а) |
y = |
1 |
x |
6 |
− |
1 |
+ 2 |
6 |
x |
5 |
+ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y = sin 2 x − (4x +1) cos 6x |
в) |
y = |
x − 3x2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 3)(4x −1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5. Издержки, связанные с выпуском x единиц продукции,
определяются |
функцией |
C(x) = ln(ax2 − bx + c). |
Найти |
изменение |
|||||||||||
издержек при изменении объема выпуска x |
на |
величину |
x |
||||||||||||
непосредственно и с помощью дифференциала |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вар. |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
|
8 |
9 |
|
10 |
|
а |
2 |
4 |
|
3 |
5 |
|
2 |
2 |
6 |
|
3 |
4 |
|
4 |
|
b |
5 |
2 |
|
4 |
3 |
|
6 |
4 |
1 |
|
2 |
5 |
|
6 |
|
c |
24 |
11 |
|
22 |
13 |
|
20 |
15 |
21 |
|
13 |
19 |
|
17 |
|
x |
8 |
6 |
|
12 |
16 |
|
13 |
11 |
12 |
|
14 |
15 |
|
10 |
|
x |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
-1 |
-1 |
-2 |
|
-2 |
1 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вар. |
11 |
12 |
|
13 |
14 |
|
15 |
16 |
17 |
|
18 |
19 |
|
20 |
|
а |
7 |
2 |
|
2 |
5 |
|
5 |
4 |
3 |
|
2 |
1 |
|
6 |
|
b |
3 |
2 |
|
1 |
8 |
|
7 |
6 |
5 |
|
4 |
3 |
|
2 |
|
c |
25 |
19 |
|
27 |
21 |
|
32 |
10 |
26 |
|
34 |
12 |
|
24 |
|
x |
14 |
20 |
|
9 |
10 |
|
8 |
13 |
14 |
|
15 |
11 |
|
20 |
|
x |
2 |
-2 |
|
1 |
1 |
|
2 |
-1 |
-1 |
|
-2 |
1 |
|
-1 |
|
14
Вар. |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
а |
5 |
4 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
7 |
6 |
3 |
b |
1 |
7 |
3 |
5 |
8 |
6 |
10 |
9 |
4 |
5 |
c |
12 |
38 |
14 |
29 |
31 |
42 |
27 |
16 |
19 |
42 |
x |
7 |
5 |
10 |
18 |
9 |
10 |
16 |
7 |
14 |
25 |
x |
2 |
-2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
-1 |
-1 |
-2 |
-2 |
Задание 6. Исследовать функцию на экстремум, точки перегиба и построить ее график.
1. |
y = x3 −1,5x 2 − 6x −1 |
|
2. |
y = x 4 − 8x3 +16x2 + 3 |
|||||||||||||||||||||||
3. |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4. |
y = x ln 2 x |
|
|
|
||||||
|
y = |
|
x |
|
|
+ |
|
|
x |
|
− 2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. |
y = (x + 2)3 − 3x +1 |
|
|
|
6. |
y = (x + 2)3 − 27x + 3 |
|||||||||||||||||||||
7. |
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
8. |
y = (x − 4)3 − 27x + 30 |
|||||||||||
|
y = |
|
x |
|
|
− |
2x |
|
|
+ 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. |
y = x3 − 5x2 + 3x − 2 |
|
|
10. |
y = x3 − 5x 2 + 3x − 5 |
||||||||||||||||||||||
11. |
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
12. |
y = 2x3 − 3x2 −12x + 2 |
|||||||||||
|
y = |
|
x |
|
|
− |
2x |
|
|
+ 4x |
|
+ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13. |
y = (x − 2)3 −12x −1 |
|
|
14. |
y = x3 + x2 − x + 6 |
||||||||||||||||||||||
15. |
y = (x + |
1) |
3 |
− 3x + 4 |
|
|
|
16. |
y = |
x |
2 |
− 2x + 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17. |
y = (x + 2)3 − 27x − 4 |
|
|
18. |
y = 4x3 −15x2 −18x + 2 |
||||||||||||||||||||||
19. |
y = (x + 3)3 − 3x −14 |
|
|
20. |
y = x4 − 8x3 +16x2 + 2 |
||||||||||||||||||||||
21. |
y = |
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
y = x |
3 |
− 2x |
2 |
+ x − 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
23. |
y = 3x4 − 5x3 + 2 |
|
|
|
24. |
y = 2x3 + 3x2 −12x − 6 |
|||||||||||||||||||||
25. |
y = (x −1)3 −12x +15 |
|
|
26. |
y = x3 −1,5x2 − 6x + 4 |
||||||||||||||||||||||
27. |
y = 3x3 − 6x + 7 |
|
|
|
28. |
y = (x2 − 2x) ln x −1,5x2 + 4x |
|||||||||||||||||||||
29. |
y = (x − 2)3 − 3x −14 |
|
|
30. |
y = x3 + 6x2 + 9x −12 |
||||||||||||||||||||||
15