3)

y =

ln5 x

.

tg3x

Решение.

1) y = 6 / x4 −3/ x +3x3 − x ,

′

y′=

(

6/ x4

′

−(3/ x)′+

(

3x3

′

−

(

x

)

=6

(

x−4

′

−3

(

x−1 ′+3

(

x3

′

1

− x2

=

)

)

)

)

)

=6 (−4)x−4−1 −3 (−1)x−1−1 +3 3x3−1 −

1 x

12−1 = −24 / x3 +3/ x2 + 9x2 −1/(2 x) .

2)

y = e2x sin3 (7x +3),

2

y′=(e2x )

′ sin3 (7x +3)+ e2x (sin3 (7x +3))′= e2x (2x) ′ sin3 (7x +3)+

+ e2x 3sin2 (7x +3)(sin (7x +3))′= 2e2x sin3 (7x +3)+ e2x

3sin2 (7x +3)

cos(7x +3)(

7x +3)′= 2e2x

sin3 (7x +3)+ 21e2x

sin2 (7x +3)cos(7x +3).

3)

y =

ln5 x

,

tg3x

y′= (ln5 x)' tg3x −(tg3x)' ln5 x

=

5 ln4 x (ln x)' tg3x

−

tg2 3x

tg2 3x

1

(3x)' ln5 x 5 ln4 x

1

tg3x −

3

ln5 x

cos2

3x

x

cos2

3x

−

=

=

tg2 3x

tg2 3x

=

ln4 x (5sin3x cos3x −3x ln x)

=

ln4 x (5sin 6x −6x ln x)

.

x tg2 3x cos2 3x

2x sin2 3x

Занятие 5. Исследование функции и построение графиков. Теоретические сведения.

1. Возрастание, убывание функции. Экстремумы функции.

Определение. Функция		y = f (x) называется возрастающей на
области D ,	если x1 > x2	(x1, x2 D) выполняется неравенство:
f (x1 )> f (x2 )	. (Рис. 5.1.)

53

Определение.		Функция	y = f (x) называется	убывающей	на
области D ,	если	x1 > x2	(x1, x2 D) выполняется неравенство:
f (x1 )< f (x2 ). (Рис. 5.2.)
y			y
f (x 2 )		y = f (x)
f (x1 )			f (x1 )	y = f (x)
			f (x 2 )
0	x 1	x 2 x	0	x 1 x 2	x
Рис. 5.1.			Рис. 5.2.

Теорема (достаточное условие возрастания (убывания)

функции). Если функция y = f (x) дифференцируема на интервале (a;b) и f ′(x)> 0 ( f ′(x)< 0 ), то функция y = f (x) возрастает (убывает) на интервале (a;b) .

Интервалы, на которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонности функции.

Определение. Точка x0 называется точкой локального максимума функции y = f (x) , если для любой точки x из некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство: f (x0 ) ≥ f (x) .

Определение. Точка x0 называется точкой локального минимума функции y = f (x) , если для любой точки x из некоторой окрестности

точки x0	выполняется неравенство: f (x0 ) ≤ f (x) .
y		Значение функции в точке локального
	max	максимума	(минимума)		называется
		максимумом		(минимумом)	функции.
			и
		Максимум		минимум	функции
		называется	экстремумом		функции.
min		(Рис. 5.3.)
0		x
	Рис. 5.3.

2. Необходимое и достаточное условия существования

экстремума функции.

Теорема (необходимое условие существования экстремума).

Если дифференцируемая функция y = f (x) имеет экстремум в точке x0 , то f ′(x0 ) = 0 .

54

Замечание. Обратная теорема неверна, то есть если f ′(x0 ) = 0 , то это не значит, что точка x0 - точка экстремума.

Точки, в которых производная обращается в нуль или не существует, называются критическими.

Теорема (достаточное условие существования экстремума).

Если при переходе через критическую точку x0 производная дифференцируемой функции y = f (x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка x0 - точка локального максимума; если производная меняет свой знак с минуса на плюс, то точка x0 - точка локального

минимума.

Правило исследования функции на экстремум.

1.Найти точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, то есть найти критические точки.

2.Среди критических точек выбрать те, которые принадлежат области определения функции.

3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных точек.

3.Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Определение. График функции y = f (x) называется выпуклым

вниз (или вогнутым) на интервале (a;b), если на этом интервале

график расположен выше касательной к графику функции, проведенной в любой точке интервала (a;b).

Определение. График функции y = f (x) называется выпуклым вверх (или выпуклым) на интервале (a;b), если на этом интервале

график расположен ниже касательной к графику функции, проведенной в любой точке интервала (a;b).

y y

0	x	0	(a;b)	x
Теорема. Если функция	y = f (x)	на интервале		дважды
′′				(a;b), то
дифференцируема и f (x) > 0 для любого x из интервала
график функции на интервале (a;b)		вогнутый; если	′′
			f (x) < 0 для

любого x из интервала (a;b), то график функции на интервале (a;b) выпуклый.

55

Определение. Точка графика дифференцируемой функции называется точкой перегиба функции y = f (x) , если в ней характер

выпуклости меняется на противоположный.

y

M 0

0

x

Теорема. Если для функции y = f (x) вторая производная в некоторой точке x0 обращается в нуль или не существует, и при переходе через эту точку меняет свой знак на противоположный, то точка M0 (x0; f (x0 )) является точкой перегиба графика функции y = f (x) .

4. Асимптоты графика функции.

Определение. Асимптотой графика функции y = f (x)

называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика этой функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Определение. Прямая x = x0 называется вертикальной

асимптотой графика функции	y = f (x) , если хотя бы один из
односторонних пределов в точке x0		равен бесконечности.
y	y	y

x			0
0	0	x	x

Замечание. Вертикальные асимптоты существуют в точках

разрыва функции.
Определение. Прямая y = kx +b		называется наклонной
асимптотой графика	функции y = f (x)	при x стремящемся к
бесконечности, если	f (x) = kx +b +α(x) ,	где α(x) →0 . Если
		x→±∞

k = 0, то асимптота y =b называется горизонтальной.

56

Теорема. Для того, чтобы					график функции y = f (x)	имел
наклонную асимптоту				y = kx +b	необходимо и достаточно,	чтобы
существовали конечные пределы:
k = lim	f (x)	;	b = lim	( f (x) −kx).
x→±∞	x		x→±∞

Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то график функции наклонной асимптоты не имеет.

						Аудиторные задания.
1.	Найти точки экстремума функций:						ex
а) y = x3 + 2x2 −7x + 4 ;						г) y =		.
			x3				x
б)	y =				;
		1+ x2
в)	y = xln2 x ;
2.	Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций:
а) y = 2x3 −3x2 +15;						в) y = 2x2 +ln x ;
б) y = x3 −6x2 ;						г) y = xex .
3.	Найти асимптоты графиков функций:
а)	y =		3 −4x		;	г) y =	3x5
			2 +5x						;
							2 + x4
б)	y =	1− x2					2x3 ln x
		1+ x2 ;				д) y =	1+ x2 .
в)	y =	1+ x2		;
		1− x2

Индивидуальные задания.

1.Найти экстремумы функции.

2.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

3.Найти асимптоты кривой.

Вариант 1

Вариант 2

1.

y =

x2

;

1.

y =

3 − x2

;

x −

2

x + 2

2.

2.

y = e

−x2

;

y = x −ln x ;

2

3.

y =

x2

.

3.

y =

(x −1)2 .

x −

1

(x +1)

57

Вариант 3				Вариант 4
1.	y = x −2ln x ;			1.	y = x2e−x ;
2.	y = x3 −6x2 + x ;			2.	y = x4 + 2x3 −12x2 −5x + 2 ;
3.	y = x2 +	1	.	3.	y = x + 27 .
		2
		x			x3

Решение типового варианта.

1.Исследовать на экстремум функцию y = x(x −1)3 .

2.Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции y = x(x −1)3 .

3.Найти асимптоты функции y = x21−1 .

Решение.

1. Найдем производную функции:

y′=(x(x −1)3 )′ =(x −1)3 + x 3(x −1)2 =(x −1)2 (x −1+3x)= (x −1)2 (4x −1).

Найдем критические точки, то есть точки в которых производная обращается в нуль или не существует:

y′= 0 : (x −1)2 (4x −1)= 0 x =1, x = 14 .

Областью определения функции является вся числовая прямая, значит обе критические точки принадлежат области определения. Методом интервалов исследуем знак первой производной слева и справа от каждой из критических точек.

	–						+		+		y′
				1					1		x
			4
Следовательно, для		−∞;	1				′		, значит, функция убывает
	x		4				y (x) < 0
на этом промежутке;	для				1			-	′	,	значит, функция
		x					;+∞		y (x) > 0
			4

возрастает на этом промежутке. По достаточному условию

	существования экстремума в точке x = 1 функция имеет локальный
	4
	минимум, так как при переходе через эту точку производная меняет
		1		1	1	3	27
	свой знак с минуса на плюс. При этом ymin = y		=			−1 = −		.
		4		4			256
					4
	Точка x =1 не является точкой экстремума.

58

2. Выше была найдена первая производная функции: y′=(x −1)2 (4x −1). Найдем вторую производную:

y′′=((x −1)2 (4x −1))′ = 2(x −1)(4x −1)+ 4(x −1)2 = (x −1)(8x − 2 + 4x − 4)= =(x −1)(12x −6).

Найдем точки, в которых вторая производная обращается в нуль:

y′′= 0 :(x −1)(12x −6)= 0 x1 =1, x2 = 1

.

Методом

интервалов

исследуем знак второй производной2

слева и справа от каждой из

полученных точек.

+

–

+

y′′

1

1

x

2

Следовательно,

1

y′′(x) > 0 ,

и

график

для x −∞;

(1;+∞)

2

функции вогнутый,

а для

1

′′

, и график

функции

x

;1

y (x) < 0

2

= 1

выпуклый. Таким образом,

при переходе через точки

x

=1, x

1

2

2

1 ;−

1

меняется характер выпуклости. Следовательно, точки M1

и

2

16

M2 (1;0) являются точками перегиба графика данной функции.

3. Найдем вертикальные асимптоты. Точками разрыва функции

являются точки в которых знаменатель обращается в нуль, то есть x1 =1 и x2 = −1. Вычислим односторонние пределы в точках разрыва

функции. Для точки x1 =1 имеем:

lim y =

lim

1

=

1

= −∞; lim y =

lim

1

=

1

= +∞.

−1

+0

x→1−0

x→1−0 x2 −1

−0

x→1+0

x→1+0 x2

Для точки x2 = −1:

lim y = lim

1

1

y =

1

1

=

= +∞;

lim

lim

=

= −∞.

x→−1−0

x→−1−0 x2 −1

+0

x =1

x→−1+0

x→−1+0 x2 −1

−0

Следовательно,

прямые

и x = −1

являются вертикальными

асимптотами.

y = kx +b ,

если

она

существует.

Найдем

наклонную

асимптоту

Вычислим пределы:

59

k = lim

f (x)

= lim

1

= 0;

x

(

2

)

x→±∞

x→±∞

−1

x x

( f (x) −kx)=

1

1

b = lim

lim

−0 x

=

lim

= 0 .

2

−1

2

−1

x→±∞

x→±∞ x

x→±∞ x

Следовательно,

прямая

y = 0

является горизонтальной

асимптотой.

y

−1	0	1	x
	−1

60